利率期限结构的研究

利率期限结构的研究

优惠贷款的1美元价值必须考虑优惠贷款的截止日期结构。胡志强、萧毅海的《债券定价与即期利率、远期利率关系分析》一文(下称胡文)从即期利率与远期利率的关系中展开论述,对债券定价的机制进行了有益的探索。本文从利率期限结构的角度对利率产品的定价问题进行分析,对胡文中的一些论述进行补充,并进一步提出了我们的观点。一、胡文的价值论普通债券是发行人承诺在未来确定时刻支付确定现金流的金融产品。在债券市场上,普通债券主要分为贴现债券(零息票债券)和附息债券两大类。贴现债券仅在债券兑付日支付债券面值(本金)。发行时,贴现债券的价格一定低于债券面值而得其名。附息债券除在债券兑付日支付债券面值外,还在兑付日前支付若干次票面利息。如果附息债券以高于债券面值的价格发行,则称为溢价债券;如果发行价格等于债券面值时,则称为平价债券;如果发行价格低于债券面值,则称为折价债券。因此,胡文中的折价债券定义,既可指贴现债券,还可指折价发行的附息债券。笔者推测胡文中的折价债券是指贴现债券。假定贴现债券的债券面值为单位货币(下同),在时刻t(以年为时间单位,下同)观察到的贴现债券的价格B(t,T)可表示为:B(t,T)=e-R(t,T)(T-t)(t0≤t≤T)(1)式中,t0为当前时刻;T为贴现债券到期时刻;R(t,T)为以年连续复利计算(AnnualizedContinuousCompounding)的贴现债券的到期收益率。到期收益率实际上是投资的内部收益率。指数函数的应用说明投资是用连续复利计算的,这就是胡文所称的“投资是连续的且用复利计算的”。另外,连续复利与时间单位的时间跨度成比例,如年连续复利大约是月连续复利的12倍,因而年连续复利与连续复利有所区别,胡文中连续复利的提法可能是默认行业不严密推导的结论。依据附息债券与贴现债券产生的现金流的特征,附息债券可视为若干贴现债券的线性组合。在无套利机会的完全市场上,完全相同的现金流应该具有完全相同的市场价值。由于贴现债券的单一现金流支付特征,贴现债券的价格可以用来确定附息债券的价格。也就是说,贴现债券的定价是普通债券定价的基础。由于市场上存在到期期限不同的普通债券,为了实现普通债券定价,有必要研究贴现债券价格与期限的关系,即研究利率期限结构。为了揭示基于普通债券基础之上的利率衍生产品的定价机制,则要研究利率期限结构的动力学过程。二、urvdv的确定利率期限结构是指无违约风险(信用风险)的贴现债券(一般为国债,下同)到期收益率与贴现债券的剩余到期期限的关系。可以由贴现函数(DiscountFunction)、零息票收益曲线(Zero-couponYieldCurve)或远期瞬时利率曲线(InstantaneousForwardRateCurve)确定。贴现函数δ(t,s)是指未来时刻s(相对于时刻t而言,下同)支付单位货币的贴现债券在时刻t的价格B(t,s),满足δ(t,t)=1。零息票收益曲线rs(t,s)是指未来时刻s到期的贴现债券在时刻t的到期收益率R(t,s)。远期瞬时利率f(t,s)是指时刻t获得的未来任意时刻s的边际回报率(MarginalRateofReturn)。在固定时刻t,市场上横截面利率期限结构隐含于普通债券(一般为国债,下同)的市场交易之中(t=t0时,为当前横截面利率期限结构)。在不同时刻t,横截面利率期限结构发生演化。描述这种演化的模型为利率期限结构的动力学模型。1.在某一固定时刻t,假设市场上存在任意到期期限的贴现债券,贴现函数可由贴现债券的市场交易价格确定。那么通过持有1单位在未来时刻u到期的贴现债券的多头(空头)和持有δ(t,u)/δ(t,s)单位在未来时刻s到期的贴现债券的空头(多头)的组合投资方式,市场套利力量将保证未来时段(s,u)内的远期利率(年连续复利计息方式,下同):f(t‚s‚u)=-1u-sLn(δ(t‚u)δ(t‚s))(t0≤t≤s≤u)f(t‚s‚u)=−1u−sLn(δ(t‚u)δ(t‚s))(t0≤t≤s≤u)(2)显然,公式(1)是公式(2)中s=t时的特例。当未来时段(s,u)趋于无穷小极限时,远期利率的极限值为远期瞬时利率(年连续复利计息方式,下同):f(t‚s)=-1δ(t‚s)dδ(t‚s)ds(t0≤t≤s)f(t‚s)=−1δ(t‚s)dδ(t‚s)ds(t0≤t≤s)(3)公式(1),(2)和(3)联合推出,零息票收益率(年连续复利计息方式,下同)是远期瞬时利率的平均值:rs(t‚s)=1s-t∫stf(t‚ν)dνrs(t‚s)=1s−t∫stf(t‚ν)dν(4)对公式(4)进行微分,可获得零息票收益率与远期瞬时利率之间的理论关系:f(t,s)=rs(t,s)+(s-t)drs(t‚s)dsf(t,s)=rs(t,s)+(s−t)drs(t‚s)ds(5)零息票收益率与远期瞬时利率之间在时间轴上的数学关系,类似于平均成本与边际成本之间在产量轴上的数学关系。这对胡文中“瞬间远期利率F(t,T)与贴现曲线对数的导数联系密切”的论断作了进一步的说明。公式(3)和公式(4)说明,贴现函数,零息票收益曲线和远期瞬时利率曲线三者存在一一对应关系,均可用来表示时刻t的横截面利率期限结构。在一个无交易成本的完全市场,在满足无套利原则的前提下,市场上普通债券在时刻t的理论价格可由时刻t的横截面利率期限结构确定:∧Ρi=Κi∑j=1Cijδ(t‚tij)P∧i=∑j=1KiCijδ(t‚tij)(6)式中,Cij为债券i在未来时刻tij支付的第j次现金流;Ki为债券i的现金流支付次数。在现实世界,市场上贴现债券的到期期限一般较短(不超过1年)且在时间上不连续,市场无法直接提供横截面利率期限结构。理论和实践上一般采用数据拟合技术,利用市场上普通债券的交易数据来间接估计获得横截面利率期限结构。具体程序为:首先选择包含若干未知参数的合理函数来表述横截面利率期限结构的任意一种的表达形式;这样,国债的理论价格通过公式(6)表示为上述未知参数的函数;通过债券理论价格与市场交易价格的拟合,即下述目标函数的优化:g(θ)=(Ρ1-∧Ρ1‚⋯‚ΡΝ-∧ΡΝ)diag(w)(Ρ1-∧Ρ1‚⋯‚ΡΝ-∧ΡΝ)Τ(7)式中,N为用于估计的债券样本数;diag(w)为处理价格误差的异方差性而设置的权重对角矩阵。求解上述未知参数,实现间接估计横截面利率期限结构的目标。综上所述,市场上并不存在可直接观察的横截面利率期限结构,而只存在市场隐含的横截面利率期限结构。用市场上零息债券来直接获得的收益曲线的期限跨度显然是有限的(一般不超过1年),无法用于中长期普通债券的定价。胡文中的收益曲线的定义没有考虑到息票效应的影响,该文关于收益曲线和贴现曲线关系的判断只适用于零息票债券。由于息票效应的影响,附息债券的收益率的集合表示的收益曲线与贴现曲线不是一一对应的,不能用于债券的无套利定价,不能用来表示利率期限结构。另外,胡文中“连续且到期日相同风险相同的一组无风险零息债券价格的集合称为贴现曲线”的定义应理解为,连续到期的其他风险(如流动性风险,通胀风险等)相同的无违约风险零息票债券价格的集合。2.两组模型的基本假设对于普通债券,相对于任何当前时刻t,未来时刻s(s>t)发生的现金流是确定的,因而利用t时刻获得的横截面利率期限结构就可以实现普通债券的定价。而对于利率衍生产品,相对于任何当前时刻t,未来时刻s(s>t)发生的现金流是不确定的,因而只有利用能描述不同时刻s(s>t)横截面利率期限结构演化的利率期限结构的动力学模型,才能实现利率衍生产品的无套利均衡定价。利率期限结构的动力学模型一般有均衡模型(EquilibriumModel)和套利模型(ArbitrageModel)两大类。均衡模型也被称为状态变量模型(StateVariableModel),即通过若干个状态变量的动力学过程来确定利率期限结构的动力学过程(原测度):dXt=μ(t,Xt)dt+[σ(t,Xt),dWt](8)式中,Xt为n维状态变量向量;μ(t,Xt)为n维漂移系数向量;σ(t,Xt)为n×n维扩散系数矩阵;dWt为n维布朗运动;[·,·]为内积运算。套利模型则建立在贴现债券的价格(利率期限结构)在“风险中性”测度Q下是鞅的假设基础之上:dlnB(t,Τ)=rtdt+[σ(t,Τ)‚d∧Wt](9)式中,d?∧Wt为“风险中性”测度Q下的n维布朗运动。rt为短期利率,一般用无违约风险的短期贴现债券的到期收益率表示。按状态变量数目的不同,均衡模型可分为单因子模型(Single-FactorModel)和多因子模型(Multi-FactorModel)两类。在不同期限的零息票收益率完全相关的假设下,单因子模型一般采用短期利率(Short-TermRate)为状态变量,并用其动力学过程来描述利率期限结构的动力学过程(原测度):drt=μ(t,rt)dt+σ(t,rt)dWt(10)在时刻t与时刻t+dt之间,短期利率是确定的,因而可视为事实上的无风险利率。这样,利率期限结构可表示为短期利率的函数:B(t,T)=B(t,T,rt)=B(t,T,r)(11)在“风险中性”测度Q下,利率期限结构与短期利率存在下述关系:B(t,Τ)=EQt[exp(-∫Τtrs?ds)](12)实证研究发现,单因子模型的基本假设与实际不符,单因子模型基本上不能反映市场上的利率期限结构。为了提升均衡模型的市场适用性,学术界采用短期利率,短期利率的波动率和短期利率的期望值等为状态变量,发展了利率期限结构的多因子模型。相对而言,多因子模型能够说明不同期限零息票收益率之间的相关关系,基本能够反映市场利率期限结构及其演化。然而,这类模型的闭合形式解不易获得。而且,由于参数数量较多,多因子模型的校准涉及非常复杂的优化算法。为了规避多因子模型因市场校准而导致的数值计算的复杂性,套利模型将当前横截面利率期限结构作为模型的初始输入。因此,套利模型与当前横截面利率期限结构保持协调,它比均衡模型更适合于或有要求权的定价。基于以上论述,本文在胡文研究的基础上进一步补充说明。第一,胡文中将即期利率无风险定义为无违约风险是指无任何风险的短期利率;第二,如果考虑固定时刻t横截面利率期限结构与不同时刻t利率期限结构动力学模型之间的关系,胡文中关于“不变的即期利率”与“随机条件下的即期利率”的分析中的方程(6)实际为该文方程(7)的一个特例;第三,胡文中“利用基础的金融理论可以得到债券价格B(t,T)与随机即期利率rt,t∈[t,T]之间的套利关系”的说法若放在利率期限结构动力学模型中,时间t的范围是[t0,∞];第四,胡文中关于“债券价格与即期利率的关系方程在市场上有两种用途”评价可以进一步说明。首先,如果存在一系列贴现债券的价格B(t,T),投资者可以利用套利模型对利率衍生产品进行定价。胡文中“即期利率的无套利模型”是套利模型在市场上的应用的说明。其次,如果一系列贴现债券的价格B(t,T)不易获得,则可采用均衡模型:设计若干状态变量的动力学过程来描述利率期限结构的动力学过程,用市场工具对利率期限结构的动力学模型进行校准,获得利率期限结构动力学模型的相关参数,即确定利率期限结构