《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第七章 第28课 定积分的应用（二）

28第28第课定积分的应用（二）定积分的应用（二）定积分的应用（二）第课28PAGE8 PAGE8PAGE7 PAGE7定积分的应用（二）定积分的应用（二）第课28

课题定积分的应用（二）——定积分在物理学上的应用、定积分在经济分析中的应用课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）了解定积分在物理学上的应用。（2）了解定积分在经济分析中的应用。思政育人目标：通过介绍定积分在物理领域和经济领域的应用，使学生体会到数学在实际问题中的应用，增加学生的学习兴趣；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。教学重难点教学重点：定积分在物理学上的应用、定积分在经济分析中的应用教学难点：定积分在实际问题中的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：第2节课：知识讲解（20min）（10min）→课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】讲解定积分在“变力沿直线所做的功”问题中的应用从物理学知道，当物体在恒力的作用下，沿力的方向做直线运动，将物体移动了距离时，力所做的功为．但在实际问题中，常常需要计算变力所做的功，下面我们通过举例来说明如何计算变力沿直线所做的功．例1设40N的力使弹簧从自然长度10cm拉长到15cm，问需要做多大的功才能克服弹性恢复力，将伸长的弹簧从15cm处再拉长3cm？解如图7-19所示，根据胡克定律，有．当弹簧从10cm拉长到15cm时，它伸长量为．因有，即，故得．于是可得到，则功元素为．于是，弹簧从15cm拉长到18cm，所做的功为．图7-19例2一圆柱形的贮水桶高为5m，底面半径为3m，桶内盛满了水．试问要把桶内的水全部吸出需做多少功？（水的密度取，重力加速度g取）解如图7-20所示，作轴，并取深度为积分变量，则它的变化区间为，相应于上任意小区间的一薄层水的高度为．因此，如果的单位为m，则这薄层水的重力为

，这薄层水被吸出桶外需做的功，即功元素为，于是所求的功为图7-20【教师】讲解定积分在“水压力”问题中的应用由物理学知识可知：在水深为h处点的压强为，这里是水的密度，如果有一面积为A的平板水平地放置在水深h处，那么平板一侧所受的水压力为．如果这个平板铅直放置在水中，那么由于水深不同，平板上各点处的压强p也不相等，所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算．例3一矩形闸门垂直立于水中，宽为10m，高为6m，问闸门上边界在水面下多少米时，它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍．解设所求高度为，建立如图7-21所示的坐标系，任取小区间，小区间上压力元素为．于是，由题意得，即解得．图7-21【教师】讲解定积分在“引力”问题中的应用由物理学知道，质量分别为，，相距r的两质点间的引力大小为．其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点连线方向．计算一根细棒对一个质点的引力时，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点引力的方向也是变化的，不能直接用上述公式来计算，而要结合微元法来计算．例4设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒，在其垂线上距棒单位处有一质量为m的质点M，试计算该棒对质点M的引力．解取如图7-22所示坐标系，使细棒位于y轴，质点M位于x轴，棒的中点为原点O，由对称性知，引力在垂直方向上的分量为零，所以只需求引力在水平方向的分量．取y为积分变量，它的变化区间为，在上取长为的一小段，其质量为，与M相距．于是在水平方向上，引力元素为，则引力在水平方向的分量为．图7-22【学生】掌握定积分在物理学上的应用学习定积分在物理学上的应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（20min）【教师】讲解定积分在经济分析中的应用在经济问题中，常常要涉及总产量、总收入、总成本等许多经济总量，这些总量可由其边际量通过积分方法求得．一般地，有以下几种常见的情况：（1）已知边际成本，固定成本，则总成本的函数为或产量由变到时，总成本的改变量为或；（2）已知边际收入，则总收入函数为或产量由变到时，总收入的改变量为或；（3）已知固定成本，边际利润，则总利润函数为或产量由变到时，总利润的改变量为或．例1设某产品的边际成本为，固定成本为50．求总成本函数．解法一．解法二，又因为，所以，故．例2已知某产品的销售量为时，收入变化率为．求（1）销售量为10时的总收入；（2）销售量从20到30时，总收入是多少？解（1），即销售量为10时，总收入为950；（2），即销售量从20到30时总收入为750．例3某企业每月生产某种产品个单位时，其边际成本函数为（单位：万元），固定成本为20万元，边际收益为（单位：万元）．求：（1）每月生产多少个单位产品时，利润最大？（2）当利润达到最大时，再多生产10个单位，利润将有什么变化？解（1）因为

．要使利润最大，应有，即，解得．又因，故唯一的驻点即为最大值点．所以每月生产10个单位产品时利润最大．（2）再多生产10个单位产品时，利润变化为，所以，再多生产10个单位时，利润将减少250万元．【学生】掌握定积分在经济分析中的应用学习定积分在经济分析中的应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论

（10min）【教师】组织学生讨论以下问题1．利用微元法计算实际应用问题时，应注意什么？2．研究一下微元法在其他领域的应用．【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了定积分在物理和经济分析上的应用。物理上的应用包括求变力沿直线所做的功、水压力和引力；经济分析上的应用主要介绍了通过边际量求相应的总产量、总收入、总成本等经济总量。课后大