《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第一章 第3课 无穷小量与无穷大量、极限的运算法则

第课第课无穷小量与无穷大量、极限的运算法则3无穷小量与无穷大量、极限的运算法则无穷小量与无穷大量、极限的运算法则第课3PAGE8 PAGE8PAGE9 PAGE9无穷小量与无穷大量、极限的运算法则无穷小量与无穷大量、极限的运算法则第课3

课题无穷小量与无穷大量、极限的运算法则课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握无穷小量、无穷大量的概念。（2）理解无穷小与函数极限的关系、无穷大与无穷小的关系。（3）能够判断无穷小量和无穷大量。（4）能够运用极限的四则运算法则求极限。（5）理解复合函数的极限运算法则。思政育人目标：通过学习无穷小量与无穷大量、极限的运算法则，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：无穷小量、无穷大量的概念、极限的四则运算法则教学难点：无穷小量和无穷大量的判断、运用极限的四则运算法则求极限教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：第2节课：知识讲解（25min）（5min）→课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（30min）【教师】讲解无穷小量的相关知识，并通过例题讲解介绍其应用1．无穷小量的概念定义1在自变量的某一变化过程中，以0为极限的函数称为无穷小量，简称无穷小，常用，，等表示．例如，当时，是无穷小量；当时，是无穷小量；当时，是无穷小量．例1下列变量在自变量怎样的变化过程中为无穷小量：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）因为，所以当时，为无穷小量．（2）因为，所以当时，为无穷小量．（3）因为，所以当时，为无穷小量．（4）因为，所以当时，为无穷小量．2．无穷小与函数极限的关系定理1在自变量的同一变化过程中，函数以常数A为极限的充要条件是可以表示为常数A与一个无穷小量之和，即．3．无穷小量的性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量．性质2有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量．性质3有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量．推论常数与无穷小量的乘积仍是无穷小量．例2求．解因为，当时，是无穷小量．根据无穷小量的性质3，当时，是无穷小量，即．【学生】掌握无穷小量的概念和性质，理解无穷小与函数极限的关系【教师】讲解无穷大量的相关知识，并通过例题讲解介绍其应用1．无穷大量的概念定义2在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的函数称为无穷大量，简称无穷大，记作．例如，当时，无限增大，所以当时，是无穷大，即．2．无穷大与无穷小的关系定理2在同一变化过程中，无穷大量的倒数必是无穷小量；非零无穷小量的倒数必是无穷大量．例如，当时，是无穷大量，则是无穷小量；当时，是无穷小量，则是无穷大量．例3下列变量在自变量怎样的变化过程中为无穷大量：（1）； （2）．解（1）因为时，，即；时，，即，所以及时，都是无穷大量．（2）因为时，，即，所以时，是无穷大量．【学生】掌握无穷大量的概念，理解无穷大与无穷小的关系学习无穷小量的概念、无穷小与函数极限的关系、无穷小量的性质，无穷大量的概念、无穷大与无穷小的关系。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论

（5min）【教师】组织学生讨论以下问题1．给出无穷小量的定义．2．无穷小量的性质与极限的性质有什么联系与区别？【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（8min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（25min）【教师】讲解极限的四则运算法则，并通过例题讲解介绍其应用定理1若，，则：（1）；（2）；（3）．推论设存在，c为常数，n为正整数，则有：（1）；（2）．定理2设有数列和，若，，则（1）；（2）；（3）．例1求．解．结论一般地，多项式函数在处的极限就等于该函数在处的函数值，即例2求．解这里分母的极限不为零，故．结论一般地，当有理分式函数中分母的极限不为零时，有理分式在处的极限也等于其在处的函数值．例3求．解因为分母的极限，故不能直接用商的极限法则；而分子的极限，可考虑倒数的极限．．由无穷小量与无穷大量的倒数关系，得．结论一般地，在求分母的极限为零、分子的极限不为零的分式函数的极限时，可利用无穷小量与无穷大量的倒数关系来确定原式的极限．例4求．解因为分母的极限，故不能直接用商的极限法则；而分子的极限，因此可先因式分解，消去公因式，再求极限．．结论一般地，在求分子、分母的极限均为零的有理分式函数的极限时，先对分子、分母因式分解，约去趋向于零的公因式，然后再求极限．例5求．解因为当时，分子、分母的极限均为零，但它与上题不同，需借助于根式有理化，从而约去趋向于零的公因式（称为零因子）．．结论一般地，在求分子、分母的极限均为零的非有理分式函数的极限时，若分子或分母中含有根式，可先对根式有理化，约去零因子，然后再求极限．例6求．解当时，分子、分母都是无穷大，即极限不存在，故也不能直接用商的极限法则，但可以将分子、分母同除以它的最高次幂使其分子分母中各项均有极限，再利用极限四则运算法则计算．例7求．解将分子、分母同除以它的最高次幂，得．例8求．解由例7结果及无穷小量与无穷大量的倒数关系可得．结论一般地，当时，有以下结果：例9求．解当时，分子、分母都是无穷大，故不能直接用商的极限法则，但可以将分子、分母同除以，再利用极限四则运算法则计算．．例10求．解本题可先根式有理化，然后利用例9方法求得．．例11求．解因为和均不存在，所以不能直接用差的极限法则，可先通分化简，再求极限．结论一般地，在求两个有理分式差的极限时，若这两个有理分式都是无穷大量，可先将它们通分化简，再求极限.【学生】掌握极限的四则运算法则【教师】讲解复合函数的极限运算法则定理5设函数是由函数与复合而成的，在点的某个去心邻域上有定义，若，，且当时，，则．例12求．解函数是由与复合而成的．因为，，所以．【学生】理解复合函数的极限运算法则学习极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论

（5min）【教师】组织学生讨论以下问题若存在，存在，是否一定有存在？若不存在，不存在，是否一定有不存在？【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了无穷小量、无穷大量、极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则的相关知识及其应用。课后大家要多加练习，巩固认知。【学生