高考数学复习全套课件-第七章-第二节-两条直线位置关系、对称问题

1.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所

成的角和点到直线的距离公式．2.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．第一页第二页，共55页。第二页第三页，共55页。1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0相交

垂直

k1≠k2k1k2＝－1A1B2－A2B1≠0A2＋B1B2＝0第三页第四页，共55页。斜截式一般式平行

重合

k1＝k2且b1≠b2k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1－B2＝A2－A1＝0第四页第五页，共55页。[思考探究1]两条直线l1、l2垂直的充要条件是斜率之积为－1吗？提示：当两条直线的斜率都存在时，其斜率之积为－1；当两条直线的斜率不都存在时，则两条直线垂直，推不出其斜率之积为－1.第五页第六页，共55页。2．两条直线的到角与夹角第六页第七页，共55页。3．距离公式第七页第八页，共55页。提示：点P(x0，y0)到直线x＝a和y＝b的距离分别是|x0－a|和|y0－b|.[思考探究2]如何求点P(x0，y0)到直线x＝a和y＝b的距离？第八页第九页，共55页。1．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则

a等于 (

)A．2

B．1C．0D．－1解析：由题知(a＋2)a＝－1⇒a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝0，∴a＝－1.也可以代入检验．答案：D第九页第十页，共55页。2．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则

a等于 (

)解析：由题意知＝1，又a>0，∴a＝－1.答案：CA．B．2-C．-1D．+1第十页第十一页，共55页。3．直线y＝3与直线x＋y－3＝0的夹角是(

) 解析：设直线y＝3的斜率为k1，直线x＋y－3＝0的斜率为k2，夹角为α，则tanα＝＝1.∴α＝.答案：AA．B．C．D．第十一页第十二页，共55页。答案：－4．直线l1的倾斜角为60°，直线l2⊥l1，则直线l2的斜率k2＝

________.解析：由斜率定义，直线l1的斜率k1＝tan60°＝∵l2⊥l1，∴k1k2＝－1，∴k2＝第十二页第十三页，共55页。5．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则

|AB|的值为________．解析：答案：kAB==b-a=1,∴|AB|=第十三页第十四页，共55页。第十四页第十五页，共55页。1.两条直线平行的判定方法(1)若两条直线斜率都存在时，要使直线平行只需斜率相等，

且在y轴上的截距不相等．(2)若两条直线斜率都不存在，则两条直线平行或重合．(3)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1、B1不全为0)，

直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，

则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)．第十五页第十六页，共55页。2．两条直线垂直的判定方法(1)若两条直线的斜率都存在，则它们垂直的条件是斜率

之积为－1.(2)若一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，则这

两条直线垂直．(3)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，

直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.第十六页第十七页，共55页。(2009·上海高考)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(

)A．1或3 B．1或5C．3或5 D．1或2第十七页第十八页，共55页。[思路点拨]第十八页第十九页，共55页。[课堂笔记]

k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0显然平行；k＝4时，l1：x＋1＝0，l2：2x－2y＋3＝0，显然不平行；k≠3，k≠4时，要使l1∥l2，应有⇒k＝5.综上所述k＝3或5.[答案]

C第十九页第二十页，共55页。本例中，若l1⊥l2，则k的值又是什么？解：法一：由例题知，若l1⊥l2，则·(k－3)＝－1，解得k＝法二：∵l1⊥l2，∴2(k－3)(k－3)－2(4－k)＝0.解得k＝第二十页第二十一页，共55页。1.求两直线A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，A2x＋B2y＋C2＝

0(A＋B≠0)的交点就是解方程组21212222第二十一页第二十二页，共55页。2．过两直线A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，A2x＋B2y＋C2＝

0(A＋B≠0)的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋

λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(但不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)．3．注意两直线形成的角中，到角与夹角的区别与联系，

当斜率不存在时，不能用公式求解，而要考虑数形结

合来求．21212222第二十二页第二十三页，共55页。已知一条直线l被两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y＋8＝0所截得的线段长为，且已知直线l经过点P(2,3)，求直线l的方程．[思路点拨]第二十三页第二十四页，共55页。[课堂笔记]若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，此时l与直线l1，l2的交点分别为A(2，)，B(2，－)，且|AB|＝与已知相符，∴x＝2为所求直线．若直线l的斜率存在，设直线方程为：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.第二十四页第二十五页，共55页。∵两条平行直线l1，l2间的距离d＝＝3，直线l被l1，l2截得的线段长为，∴l与l1夹角α的正弦值sinα＝＝

，则cosα＝，∴tanα＝＝||，解得k＝∴当k＝时，l的方程为y－3＝(x－2)，即7x－24y＋58＝0.综上可知，所求直线l的方程为：x＝2或7x－24y＋58＝0.第二十五页第二十六页，共55页。1.中心对称(1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标

公式得(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两

点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点

坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，

再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．第二十六页第二十七页，共55页。2．轴对称(1)点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝

0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2

的直线垂直于对称轴l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．第二十七页第二十八页，共55页。(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两

种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线

与对称轴平行．第二十八页第二十九页，共55页。求直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程．[思路点拨]第二十九页第三十页，共55页。[课堂笔记]

设所求直线上一点为P(x，y)，则在直线l1上必存在一点P1(x0，y0)与点P关于直线l对称．由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2(

)在直线l上．第三十页第三十一页，共55页。代入直线l1：y＝2x＋3得x＋1＝2(y－1)＋3，整理得x－2y＝0.所以所求直线方程为x－2y＝0.第三十一页第三十二页，共55页。1.求点到直线的距离，一般先把直线方程化为一般式．2．求两条平行线间的距离有两种思路：(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意

一点到另一条直线的距离．(2)直接利用两条平行线间的距离公式d＝第三十二页第三十三页，共55页。[特别警示]

利用两条平行线间距离公式时，必须将两直线方程化为系数相同的一般式后才能套用公式计算．第三十三页第三十四页，共55页。已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是第三十四页第三十五页，共55页。(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是

；若能，求P点坐标；若不能，说明理由．第三十五页第三十六页，共55页。[思路点拨]第三十六页第三十七页，共55页。[课堂笔记]

(1)l2即2x－y－＝0，∴l1与l2的距离∵a＞0，∴a＝3.第三十七页第三十八页，共55页。(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，∴2x0－y0＋＝0，或2x0－y0＋＝0；若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，且即C=或C=第三十八页第三十九页，共55页。即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；由于P在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能．联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，第三十九页第四十页，共55页。解得应舍去．∴P即为同时满足三个条件的点．第四十页第四十一页，共55页。以选择题或填空题的形式考查两直线的位置关系、点到直线的距离问题，且难度较小，是高考对本节内容的常规考法，09年全国Ⅰ将两直线的位置关系、两点间的距离公式、直线的倾斜角问题综合命题，是一个新的考查方向.第四十一页第四十二页，共55页。[考题印证](2009·全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°

②30°

③45°

④60°

⑤75°其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)第四十二页第四十三页，共55页。【解析】求得两平行线间的距离为，则m与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m的倾斜角为75°或15°.【答案】

①⑤第四十三页第四十四页，共55页。[自主体验]设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线x·sinA＋ay＋c＝0与bx－y·sinB＋sinC＝0的位置关系是________．第四十四页第四十五页，共55页。解析：∵bsinA－asinB＝2RsinBsinA－2RsinAsinB＝0，∴两直线垂直．答案：垂直第四十五页第四十六页，共55页。第四十六页第四十七页，共55页。1．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的(

)A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件第四十七页第四十八页，共55页。解析：充分性：当a＝1时，直线x＋y＝0和直线x－y＝0垂直；必要性：若直线x＋y＝0和x－ay＝0垂直，由－1·＝－1，得a＝1.故为充要条件．答案：C第四十八页第四十九页，共55页。2．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是(

)A．(－a－1，－b－