几何制图-1-资料

下一节上一节3.1点3.2直线3.3平面3.4直线与平面、平面与平面的相对位置任何物体的表面都可以看成是由点、线和面所组成，任何复杂的空间几何问题都可以抽象成点、线、面的相互关系问题。因此，要正确、迅速地画出物体的投影和分析空间几何问题,须掌握点、线、面的表示方法和投影性质。第一页第二页，共73页。下一节上一节3.1点

过空间点A的投射线与投影面P的交点a称为点A在投影面P上的投影。

仅有点的一个投影不能确定点的空间位置。点的投影a可以是过a的投射线上任一点（如A、A1、A2等）的投影。正投影法采用多面正投影来确定点的空间位置。点A在V/H两投影面体系中的投影:根据正投影的原理，已知点A的水平投影及正面投影则可确定点A的空间位置。因此，点的两面投影即可完全确定点的空间位置。第二页第三页，共73页。3.1点一、点的三面投影及投影规律1.点的三面投影下一节上一节第三页第四页，共73页。3.1点一、点的三面投影及投影规律2.点的投影规律投射线Aa和Aa′构成平面Aaaxa′，因Aa

H面，Aa′

V面则Aaaxa′

H面，又

V面因三平面互相垂直，其交线必互相垂直，故a′ax

OX，aax

OX投影面展开后，得a′a

OX，又因Aaaxa′是一矩形，故aax=Aa′=点A至V面的距离a′ax=Aa=点A至H面的距离同理可得：a′a″

OZa′az=Aa″=点A至W面的距离a″az=Aa′=点A至V面的距离下一节上一节第四页第五页，共73页。3.1点一、点的三面投影及投影规律2.点的投影规律综上所述，点的三面投影规律是：(1)点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴；点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴；点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。即：a′a

OX；a′a″

OZ；aax=a″az(2)点的投影到投影轴的距离，等于该点到另一投影面的距离。即：a′ax=a″ayW=Aa(点A至H面的距离)；aax=a″az=Aa′(点A至V面的距离)；a′az=aayH=Aa″(点A至W面的距离)。下一节上一节第五页第六页，共73页。3.1点一、点的三面投影及投影规律2.点的投影规律下一节上一节第六页第七页，共73页。3.1点一、点的三面投影及投影规律3.点的投影与直角坐标的关系

互相垂直的三个投影轴构成一个空间直角坐标系，空间点A的位置可以用坐标值A（x,y,z）表示。点的投影与坐标之间的关系为：a′az=aayH=Aa″=x；aax=a″az=Aa′=y；a′ax=a″ayW=Aa=z。下一节上一节第七页第八页，共73页。3.1点一、点的三面投影及投影规律3.点的投影与直角坐标的关系下一节上一节第八页第九页，共73页。3.1点一、点的三面投影及投影规律4.点的直观图下一节上一节第九页第十页，共73页。3.1点一、点的三面投影及投影规律5.特殊位置点和其他分角内的点特殊位置点的投影在特殊情况下，点可能处于投影面上或投影轴上。点在某投影面上时，该面投影与空间点本身重合，其余投影在相应的投影轴上，如图中点E、点F；点在某投影轴上时，其两面投影都与空间点本身重合，另一投影在坐标原点，如图中的点G。其他分角内的点点位于其他分角时，当投影面展开时，V面不动，H面前半部分向下，后半部分向上旋转至V面重合，故点在不同分角时，其投影与OX轴的相对位置也不同。下一节上一节第十页第十一页，共73页。3.1点二、点的相对位置两点的相对位置指的是空间两点的上下、前后、左右位置关系。x、y、z坐标分别反映了点的左右、前后、上下位置。比较两点的坐标，可以看出两点的相对位置：x大者在左，y大者在前，z大者在上。图中点A在点B的左、后、上方。设A、B两点是长方体上的两个对角点。那么，该长方体的长、宽、高就分别等于xA-xB、yB-yA、zA-zB。只要保持坐标差数值不变，改变长方体与投影面的距离并不影响长方体的尺寸。所以,画物体的投影图时可以不画投影轴。1.两点的相对位置下一节上一节第十一页第十二页，共73页。3.1点二、点的相对位置当两点处于同一投射线上时，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影必然重合，这两点称为对该投影面的重影点。图中点A、B是对H面的重影点，它们的H面投影a、b重合成一点，为重合投影；点B、C是对W面的重影点，b″、c″重合成一点，为重合投影。为区分重影点的可见性，将点的不可见投影加括号表示。如图中点A、B的水平投影重合，从正面投影可以看出点A比点B高，所以a可见，b不可见，用“(b)”表示；点B、C的侧面投影重合，从水平投影可知，点B在点C的左面，所以c″不可见，用“(c″)”表示。２.重影点及其可见性下一节上一节第十二页第十三页，共73页。3.1点三、点的辅助投影在求解空间几何问题时，为了有利于作图，可设置一个与某一基本投影面垂直的新投影面，用来替换另一基本投影面，借以辅助解题。这种新投影面称为辅助投影面，在此面上得到的新投影称为辅助投影。这种以新投影面替换旧投影面的方法，又称为变换投影面法或换面法。下一节上一节第十三页第十四页，共73页。3.1点三、点的辅助投影由此可以得出根据点的原有投影求辅助投影的规律：(1)辅助投影与不变投影的连线垂直于辅助投影轴；(2)辅助投影至辅助投影轴的距离等于旧投影至旧投影轴的距离。下一节上一节第十四页第十五页，共73页。3.1点三、点的辅助投影点的二次辅助投影下一节上一节第十五页第十六页，共73页。下一节上一节3.2直线一、直线的投影

直线的投影一般仍是直线，因此只要作出直线上两点的投影，并将其同面投影相连，就得到直线的投影。特殊情况下，直线平行于投射方向时，投影积聚为一点。第十六页第十七页，共73页。3.2直线一、直线的投影1.各种位置直线在三投影面体系中，根据直线与三个投影面之间的相对位置，直线可以分为以下三类：

一般位置直线——与三个投影面都倾斜的直线，如直线BB1和CC1。

投影面平行线——平行于一个投影面的直线，如直线BC和B1C1。

投影面垂直线——垂直于一个投影面的直线，如直线AB、B1B2和CD。

后两类直线也称为特殊位置直线。上一节下一节第十七页第十八页，共73页。3.2直线一、直线的投影2.一般位置直线直线与其投影之间的夹角称为直线对该投影面的倾角。AB与ab的夹角为直线AB对H面的倾角，用

表示；AB与a′b′的夹角为直线AB对V面的倾角，用

表示；AB与a″b″的夹角为直线AB对W面的倾角，用

表示。从图中可看出：ab=ABcos

，a′b′=ABcos

，a″b″=ABcos

，即一般位置直线的三个投影都小于线段AB的实长。一般位置直线由于直线上任意两点的x、y、z坐标都不相等，所以三个投影都是不平行于投影轴的倾斜线段。上一节下一节第十八页第十九页，共73页。3.2直线一、直线的投影3.投影面平行线投影面平行线平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面。平行于H面的直线称为水平线，平行于V面的直线称为正平线，平行于W面的直线称为侧平线。投影特性：(1)在其平行的投影面上的投影反映实长；投影与投影轴的夹角反映直线对另外两个投影面的夹角。(2)另两面投影分别平行于相应的投影轴。1)ab∥OXa″b″∥OZ2)a′b′=AB3)反映

、

角的真实大小上一节下一节第十九页第二十页，共73页。3.2直线一、直线的投影3.投影面平行线1)a′b′∥OXa″b″∥OYW2)ab＝AB3)反映

、

角的真实大小1)a′b′∥OZab∥OYH2)a″b″＝AB3)反映

、

角的真实大小上一节下一节第二十页第二十一页，共73页。3.2直线一、直线的投影4.投影面垂直线

投影面垂直线垂直于一个投影面，平行于另两个投影面，它是投影面平行线的特殊情况。投影面垂直线中，垂直于H面的称为铅垂线，垂直于V面的称为正垂线，垂直于W面的称为侧垂线。投影面垂直线的投影特性为：(1)在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。(2)另外两面投影反映实长，且平行于相应的投影轴。1)正面投影积聚成一点2)ab∥OYHa″b″∥OYW3)ab＝ABa″b″＝AB上一节下一节第二十一页第二十二页，共73页。3.2直线一、直线的投影4.投影面垂直线1)水平投影积聚成一点2)a′b′∥OZa″b″∥OZ3)a′b′＝ABa″b″＝AB侧面投影积聚成一点a′b′∥OXab∥OX3)ab＝ABa′b′＝AB上一节下一节第二十二页第二十三页，共73页。3.2直线二、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角在一般位置直线投影中，三个投影均不能反映直线的实长以及它与投影面的夹角。用直角三角形法可以求解一般位置线段的实长和倾角。上一节下一节第二十三页第二十四页，共73页。3.2直线二、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角上一节下一节第二十四页第二十五页，共73页。3.2直线三、直线的辅助投影直线的辅助投影可以由直线上两点的辅助投影来确定，求直线的辅助投影通常有三个基本作图问题。上一节下一节第二十五页第二十六页，共73页。3.2直线三、直线的辅助投影直线的辅助投影可以由直线上两点的辅助投影来确定，求直线的辅助投影通常有三个基本作图问题。上一节下一节第二十六页第二十七页，共73页。3.2直线四、直线上的点点C在直线AB上，则c在ab上，c′在a′b′上，c″在a″b″上，而且AC﹕CB=ac﹕cb=a′c′﹕c′b′=a″c″﹕c″b″。由此可得出以下结论：１.点在直线上，点的投影必在直线的同面投影上，且一对投影的连线必垂直于相应的投影轴；２.一点若把线段分成两段，则两段长度之比等于其投影长度之比。上一节下一节第二十七页第二十八页，共73页。3.2直线四、直线上的点上一节下一节第二十八页第二十九页，共73页。3.2直线四、直线上的点例3.4

已知直线AB及点K的一对投影，判断点K是否在AB上。分析

根据点在直线上的投影性质，若点K在AB上，则a′k′:k′b′=ak:kb，所以可以采用定比法来判断。另外k″应在a″b″上，所以还可求出第三投影来进行判断。上一节下一节第二十九页第三十页，共73页。3.2直线五、两直线的相对位置１.两直线平行两直线平行，投射线形成的平面ABba//CDdc，它们与H面的交线互相平行，即ab//cd。同理可证明a′b′//c′d′，a″b″//c″d″。由此可得出以下结论：两直线平行，其所有的同面投影必互相平行；反之，若两直线的所有同面投影都互相平行，则此两直线必互相平行。当两直线是一般位置时，只要有两对投影互相平行就可判定两直线平行,如ab//cd，a′b′//c′d′，则必定a″b″//c″d″，因此AB//CD。上一节下一节第三十页第三十一页，共73页。3.2直线五、两直线的相对位置１.两直线平行若两直线同时平行于某个投影面，则一般还要看它们在该投影面上的投影是否平行才能判断，如两侧平线的投影判断。上一节下一节第三十一页第三十二页，共73页。3.2直线五、两直线的相对位置

2.两直线相交两直线相交，交点为两直线的共有点。如图中点K为AB与CD的共有点，其投影必定在AB与CD同面投影的交点上，且符合点的投影规律，即:kk′

OX、k′k″

OZ、kkx=k″kz。由此可知：两直线相交，其所有的同面投影必定相交，且同面投影交点的连线垂直于相应的投影轴。当两直线都是一般位置时，只要它们有两对同面投影相交，且交点连线垂直于投影轴，就可确定两条直线相交。上一节下一节第三十二页第三十三页，共73页。3.2直线五、两直线的相对位置

2.两直线相交若两直线中一条直线平行于某投影面，一般需要根据所平行的投影面的投影来判断是否相交。上一节根据两投影，用检查点K是否在AB上来判断是否相交根据所平行的投影面上的投影判断是否相交下一节第三十三页第三十四页，共73页。3.2直线五、两直线的相对位置

3.两直线交叉既不平行又不相交的两直线称为交叉直线，它们的投影既不符合平行两直线的投影特点，又不符合相交两直线的投影特点。交叉两直线的同面投影可能表现为互相平行，但不可能所有同面投影都平行；它们的同面投影可能表现为相交，但交点的连线不垂直于投影轴。交叉两直线同面投影的交点是重影点的投影。上一节直线AB上的点Ⅲ与直线CD上的点Ⅳ是对H面的重影点，它们的H面投影重合，因点Ⅲ比点Ⅳ高，故点3可见，点4不可见。点Ⅰ与点Ⅱ是对V面的重影点，因点Ⅰ在点Ⅱ的前面，故点1′可见，点2′不可见。下一节第三十四页第三十五页，共73页。3.2直线五、两直线的相对位置４.两直线垂直垂直两直线的投影一般不垂直；当垂直两直线都平行于某投影面时，则在该投影面上的投影必互相垂直；当垂直两直线之一平行于某投影面时，两直线在该投影面上的投影也必互相垂直；反之：若两直线的某投影互相垂直，且两直线之一平行于该投影面时，此两直线在空间必互相垂直。上一节图中AB

H面，AB与AC垂直相交，与DE垂直交叉，其H面投影互相垂直。下一节第三十五页第三十六页，共73页。3.2直线五、两直线的相对位置上一节下一节第三十六页第三十七页，共73页。3.2直线五、两直线的相对位置上一节例3.6

已知水平线AB，正平线CD，过点E作它们的公垂线。分析根据两直线垂直投影特性，公垂线EF必同时垂直AB和

CD，因此有ef

ab、e′f′

c′d′。作图过e作ef

ab；过e′作e′f′

c′d′。下一节第三十七页第三十八页，共73页。3.2直线五、两直线的相对位置上一节下一节第三十八页第三十九页，共73页。下一节3.3平面不在同一直线上的三点可以确定一个平面的空间位置。因此在画法几何中，可用不在同一直线上的三点及由三点变换成的其它几何元素的投影来表达一个平面。上一节工程中常见的平面是闭合的平面图形。一直线及线外一点平面图形二平行直线不在同一直线上的三点二相交直线第三十九页第四十页，共73页。3.3平面一、各种位置平面的投影

一般位置平面——倾斜于三个投影面的平面，如Ⅲ面。

投影面垂直面——垂直于一个投影面的平面，如Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ面。

投影面平行面——平行于一个投影面的平面，如I、V、Ⅶ面。1.一般位置平面因一般位置平面同时倾斜于三个投影面，故它的三个投影都是类似图形。下一节上一节第四十页第四十一页，共73页。3.3平面一、各种位置平面的投影

2.投影面垂直面

投影面垂直面垂直于一个投影面，同时倾斜于另两个投影面。垂直于H面的称为铅垂面，垂直于V面的称为正垂面，垂直于W面的称为侧垂面。铅垂面投影特点：铅垂面垂直于H面，倾斜于V面和W面，故其水平投影有积聚性，正面投影及侧面投影为类似图形；因P、V、W都垂直于H面，故P面的水平投影与OX、OY轴的夹角分别反映该平面对V面、W面的倾角

、

。对于特殊位置平面当仅需表示平面的位置时，可只用其积聚性投影表示，并标记为PH(或PV、PW)。铅垂面H面投影有积聚性，反映β、γ角；V面、W面投影为类似图形βγ下一节上一节第四十一页第四十二页，共73页。3.3平面一、各种位置平面的投影

2.投影面垂直面V面投影有积聚性，反映α、γ角；H面、W面投影为类似图形W面投影有积聚性，反映β、α角；V面、H面投影为类似图形正垂面侧垂面αγβα下一节上一节第四十二页第四十三页，共73页。3.3平面一、各种位置平面的投影

3.投影面平行面

投影面平行面平行于一个投影面，必同时垂直于另两个投影面，是投影面垂直面的特殊情况。平行于H面的称为水平面，平行于V面的称为正平面，平行于W面的称为侧平面。水平面投影特点：水平面平行于H面，垂直于V面和W面，即

=0

，

=

=90O，故平面的水平投影反映实形，正面投影及侧面投影都有积聚性，分别与OX、OY轴平行。水平面H面投影反映实形；V面、W面投影有积聚性，且分别平行于OX、OY轴。下一节上一节第四十三页第四十四页，共73页。3.3平面一、各种位置平面的投影

3.投影面平行面V面投影反映实形；H面、W面投影有积聚性，且分别平行于OX、OZ轴。W面投影反映实形；V面、H面投影有积聚性，且分别平行于OZ、OY轴。正平面侧平面下一节上一节第四十四页第四十五页，共73页。3.3平面二、平面上的点和直线1.在平面上取点和直线从初等几何可知，点和直线在平面上的必要和充分条件是：(1)如果点位于平面上的任一直线上，则此点在该平面上。(2)如果一直线通过平面上两已知点或通过平面上一已知点且平行于平面上一已知直线，则此直线在该平面上。如图点K在AC线上，点L在BC线上则这两点及直线KL都在平面ABC上；直线KM//AB，且K点在平面ABC上，故直线KM也在平面ABC上。下一节上一节第四十五页第四十六页，共73页。3.3平面二、平面上的点和直线2.在平面上取点和直线由此可知，在平面上取直线的方法有：(1)取平面上两已知点，然后连成直线；(2)过平面上一已知点引直线与平面上一已知直线平行。在平面上取点的方法有：(1)在平面的已知线上取点；(2)先在平面上取一直线，再在此直线上取点。这种方法称为辅助线法。例3.8求作平面ABC上直线MN的正面投影。分析直线MN既在平面ABC上，必与平面上已知直线相交或平行。作图延长mn交直线ab、cd于点1、2；由1、2求1’、2’；连接1’、2’；在1’、2’上求得n’、m’。下一节上一节第四十六页第四十七页，共73页。3.3平面二、平面上的点和直线2.在平面上取点和直线下一节上一节第四十七页第四十八页，共73页。3.3平面二、平面上的点和直线

2.平面上的投影面平行线平面上平行于H面、V面、W面的直线分别称为平面上的水平线、平面上的正平线及平面上的侧平线。平面上的投影面平行线同时具有投影面平行线及平面上直线的投影性质。平面上的水平线投影特点：(1)因平行于H面，故正面投影平行于X轴；(2)因直线是平面上的直线，故与同一平面上的水平线平行，与同一平面上的其它直线相交。AD平行于EF而与BC相交。平面上投影面平行线常用来作为辅助线。下一节上一节第四十八页第四十九页，共73页。3.3平面三、平面的辅助投影下一节上一节第四十九页第五十页，共73页。3.3平面三、平面的辅助投影下一节上一节第五十页第五十一页，共73页。3.3平面三、平面的辅助投影下一节上一节第五十一页第五十二页，共73页。3.3平面三、平面的辅助投影下一节上一节第五十二页第五十三页，共73页。3.3平面三、平面的辅助投影下一节上一节第五十三页第五十四页，共73页。下一节3.4直线与平面、平面与平面的相对位置一、平行问题上一节1．直线与平面平行由初等几何可知，若一直线与某平面上任一直线平行，则此直线与该平面平行。反之，若一直线与某平面平行，则此平面上必能作出与该直线平行的直线。直线AB平行于△CDE平面上一直线CF(ab∥cf，a

b

∥c

f

)，故AB与平面CDE平行。直线mn平行ab，而m

n

不平行a

b

，故MN不平行AB，这说明平面（AB×CD）上不可能有与MN平行的直线，因此MN与此平面不平行。第五十四页第五十五页，共73页。

直线与某投影面垂直面平行时,直线必有一个投影平行于该平面的积聚性投影。直线AB平行于铅垂面P,则ab∥PH。例3.12过点K作一正平线KL与平面ABCD平行。解过点K可以作无数条正平线，但其中只有一条与已知平面平行。为此，应先在已知平面上作正平线AE，再过点K作直线KL平行AE，即为所求。3.4直线与平面、平面与平面的相对位置一、平行问题1．直线与平面平行上一节下一节第五十五页第五十六页，共73页。例3.13

包含点A作一平面平行于已知直线MN。解先过点A作直线AC与MN平行,再过点A任作一直线AB,则平面（AB×AC）即为所求。此题有无穷多解。作一般位置平面作铅垂面3.4直线与平面、平面与平面的相对位置一、平行问题1．直线与平面平行上一节下一节第五十六页第五十七页，共73页。由初等几何可知，若两平面内各有一对相交直线对应地平行，则此两平面互相平行。DI∥AB，EⅡ∥AC，故此两三角形平面互相平行。AB∥A1B1,BC∥B1C1,故平面（AB×BC）与平面（A1B1×B1C1）互相平行。3.4直线与平面、平面与平面的相对位置一、平行问题2．平面与平面平行上一节下一节第五十七页第五十八页，共73页。若两投影面垂直面互相平行,则其积聚性投影互相平行,例3.14过点K作平面与已知平面（AB∥CD）平行。解根据两平面平行的条件,过点K作两相交直线与已知平面内一对相交直线平行即可。为此,先在平面（AB∥CD）上作与AB相交的直线AE,再过点K作KL∥AB，KM∥AE，则平面（KL×KM）即为所求。3.4直线与平面、平面与平面的相对位置一、平行问题2．平面与平面平行上一节下一节第五十八页第五十九页，共73页。直线与平面相交，交点是直线与平面的共有点。直线与平面的正面投影有一段重叠，产生了遮挡问题。若交点在平面图形以内，则在投影重叠部分，直线总是以交点分界，一端可见，另一端不可见。直线AB与铅垂面P相交，铅垂面P的水平投影积聚成直线段p，交点K既在平面P上，其水平投影k必在线段p上；交点K又在直线AB上，故k亦必在ab上。因此ab与p之交点k必为交点K的水平投影。而点K的正面投影k′必在a′b′上。从水平投影可以看出，直线的AK段在平面之前，BK段在平面之后。所以a′k′可见，b′k′与p′重叠部分不可见，画成虚线。3.4直线与平面、平面与平面的相对位置二、相交问题1．直线与平面相交上一节下一节第五十九页第六十页，共73页。铅垂线MN与平面ABCD相交。因交点K在MN上，故k与mn重合；因点K又在平面ABCD上，故可利用平面上取点的方法，用辅助线（如CE）求出k′。直线MN正面投影的可见性，可以利用直线MN与平面上直线CD的重影点I、II来判断。从图中可以看出，MN线上的点I在前，BC线上的点II在后，故1′可见，m′k′段也可见。3.4直线与平面、平面与平面的相对位置二、相交问题1．直线与平面相交上一节下一节第六十页第六十一页，共73页。铅垂面ABCD与一般位置面EFG相交，只需求出两个共有点，就可得出交线。为此:求出EFG面上两直线EF、EG与ABCD面的交点K、L，直线KL即为两已知平面的交线。两平面正面投影的重叠部分，交线左方三角形平面在前，故e

k

l

见，a

b

被遮挡的一段应画成虚线；交线右方的四边形平面可见，三角形平面轮廓线被遮掩部分应画成虚线。为使图形明显起见，可在一个平面的投影的可见部分画上45o线。

两平面若不平行就相交，交线是一直线，是两平面的共有线。两平面的交线，可由两平面的两个共有点或一个共有点及一方向确定。当交线在平面图形的范围内时，P、Q两平面投影重叠部分，其可见性总是以交线为界，若交线的一侧为P面可见，则交线的另一侧必Q面可见。3.4直线与平面、平面与平面的相对位置二、相交问题2．平面与平面相交上一节下一节第六十一页第六十二页，共73页。两铅垂面相交，交线应是铅垂线，其水平投影是两平面积聚性投影的共有点k(l)，正面投影k

l

OX。一般位置平面ABCD与水平面P相交。交线KL既在平面P上，则必是水平线，且k

l

与p

重合；交线KL又在平面ABCD上，必是该平面上的水平线，因k

在c

d

上，且k

l

//b

c

，故k在cd上，且kl//bc。3.4直线与平面、平面与平面的相对位置二、相交问题2．平面与平面相交上一节下一节第六十二页第六十三页，共73页。当参加相交的两个元素都不垂直于投影面时，两个元素的投影都没有积聚性，此时交点、交线的投影都不能直接得出，通常可以利用两平面交线的作图原理求解，也称为辅助平面法。3.4直线与平面、平面与平面的相对位置二、相交问题上一节下一节第六十三页第六十四页，共73页。屋面交线实例空间分析和求解方法3.4直线与平面、平面与平面的相对位置二、相交问题上一节下一节第六十四页第六十五页，共73页。若平面垂直于某投影面,其垂线必平行于该投影面,且垂线在该投影面上的投影垂直于此平面的积聚性投影。平面P垂直于H面，则其垂线LK平行H面，l

k

∥OX，lk⊥PH，点K为垂足，lk反映点l至平面P的距离。平面Q垂直于V面，则其垂线MN平行V面，mn∥O