函数隐性零点的解决策略 论文

函数隐性零点的解决策略摘要：最近几年以来，高考、平时模拟压轴题中，往往一类函数的零点不能直接求出，我们只能根据零点的存在性定理或者函数的图像，大致判断该零点所在的区间，这类零点我们称之为隐性零点.学生对之没有充分的认知，很难驾驭它.下面笔者从具体事例，对其基本特征，进一步梳理、归纳和概括.关键词：零点的范围；整体代换；转化一、函数的隐性零点在平时模拟中扮演压轴角色例1（淮南一中创新班周练1第14题）设函数f(x)=ax,其中a³0.ex(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)对任意xÎ),f(x)£xa的取值范围.解：（1）略.x(2)记g(x)=ax-x-1，则g'(x)=-(axa)-exex ex记h(x)(axa)-ex，则h'(x)a-ex恒成立，故h(x)£h(0)-2①0a2时，h(x)£h(0)-2£0恒成立，即g'(x)£0恒成立所以g(x)在[0,)上单调递减，故g(x)£g(0)，0a2②a时，h(0)-2，1-e1所以h(x)在上有唯一零点由-2,-1Îe

(0,1)使得)\Î，则g(x)在(0,)上单调递增\

g(x0)>g(0)，不合题意.综上所述：实数a的取值范围[0,2]例2（淮南一中创新班周练3第14题）已知f(x)ln(x2)，g(x)ex1．（1）讨论f(x)的单调性；（2）当b0时，对x2,解：（1）略.

g(x)³ g(x)³ ax成立，求实数 的最大值.(2)当b时，f(x)a，g(x)ex1，对"xÎ2,)，

g(x)³f(x)x成立，\a£(x2ex-)-n(x2(x-2)令g(x)(x2ex-)-n(x2(x-2)，只需a£g(x)

ex-1,æ ö

ç x÷j x=ex-1

j¢x

è ø=ex+ 1 Þ又 x2，Þ

\x.令 ()

x

() 2(x

， \j

(x)在2,)单调递增，又j1-1，j=e=

(0)=1，\$唯一2Î2,)使0j(0)0，即(02e 0Þ0n(02)0.g(x)0Þ

x；Þ-2<x.\

g(x)在2,)单调 递 减 ， 在

(0,¥)单 调 递 增 ，() ( ) (

) ( ) ( )0\gx0

=gxmin

=

e -1

-ln

=e -20n(02û-1\

a£-1，即a£g(x) 1.in通过上面两例，我们无法求出零点时，可以先逐步分析零点所在所存在的范围和满in二、函数的隐性零点在全国卷压轴题中也经常出现例3（2016全国卷Ⅱ第21题）（1）讨论函数f(x)=x-2ex的单调性，并证明当x0时，(x-2exx20；xaÎg(x)=

ex-ax-ax2

(x>0)有最小值h(a)，求函数h(a)的值域.解：（1）略.¢

x

f(x)

Q"aÎ

（2）

g(x)= 3x

(f(x)+a)，由（1）知， 单调递增， ，f(0)1+a，f(2)³0，\$唯一的Î2)使f(x0).Þ

x,Þ

0<x.\

g(x)在,0)单调递减在(0,¥)单调递增.0xe0+0-2e0(x0xx() ( )

e0-a(x

x2

e0 ( ),gx =gx =

0 = 0

= 0<x£20 0x2

x2 x0 0 0x令 h(x)=ex<x£2)，

ex(x-ex2

ex(x= 2<x£2)，\

h(x)在x

(x(x22]单调递增，\1=h(0)<h(x)£h(2)=e2，故h(a)的值域为ç

e2ù, 2 4例4（2016全国卷Ⅱ第21题）已知函数f(x)=ex-ln(x

è24û（1）设x是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（2）当m£2时，证明：f(x).解：（1）略.（2）当m£2时，ln(x+m)£ln(xm)，只需证m时，f(x)成立即可.当m时，

f=ex-1 在x在2,)单调递增，又

f1-1，=e=f

1，2\$唯一Î0)使

f.fÞ

x,fÞ-2<x,\

f(x)在2,)单 调 递 减 ， 在

(0,¥)上 单 调 递 增 ，f(x)

=f(x

)e0-n(x2)= 1，00 x00\f(x)³

f(x)min，\

m£2时，f(x)成立.x0，而应借助f(0)0者f(0)a等进行整体代换，根据所求问题导向，进而解决.一般情况下，我们发现隐性零点，到解决隐性零点需要遵循三点：①第一个步骤确定隐性零点的范围是