江苏省淮安市马坝高级中学2021-2022学年高一下学期第二次学情调研数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省淮安市马坝高级中学2021-2022学年高一下学期第二次学情调研数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知中，为的中点，为的中点，则（

）A． B．C． D．2．水平放置的的斜二测直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（）A． B． C．2 D．83．复数的虚部为（

）A．2 B．-2 C．-3 D．4．如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，截得.若，则二面角的平面角的大小为（

）A． B． C． D．5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形6．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为A． B． C． D．7．设，则（

）A． B． C． D．8．如图，在矩形中，平面，且，点在边上.若要使，则这样的点有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个评卷人得分二、多选题9．在四面体中，分别为和的重心，则下列平面中与平行的（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面10．在平面直角坐标系中，点为原点，已知，，，以下说法中正确的是（

）A． B．C． D．11．如图，为正方形的边上异于点的一个动点，将沿翻折成，使得平面平面，则下列说法中正确的有（

）A．在平面内存在直线与平行B．在平面内存在直线与垂直C．在平面内存在直线与平面平行D．存在点，使得直线平面12．已知，是锐角，，，则（

）A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______________.14．在中，分别是角所对的边，若，则__________.15．如图，四面体中，，平面平面，，，则_______.16．如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，是侧面内一点，若平面平面，则线段长度的取值范围是____.评卷人得分四、解答题17．已知.（1）求的值；（2）求的值.18．如图，在三棱锥中，底面,为的中点,.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．19．如图，在平行四边形中，点在上，且，点是的中点.（1）设，，用，表示，；（2）已知，求证：.20．如图，在四棱锥中，为正三角形，.(1)求证：平面；(2)若分别为的中点，求证：平面平面.21．已知、、分别为三个内角、、的对边，且，，．（1）求及的面积；（2）若为边上一点，且，______，求的正弦值．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．22．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【解析】【分析】先将化为,再将化为,再将化为即可解.【详解】由题意得：.故选：A.【点睛】考查平面向量的几何概念和基本运算，知识点较为基础，题目较为简单.2．B【解析】【分析】依题意由的面积为，解得，所以，，根据勾股定理即可求．【详解】依题意，因为的面积为，所以，解得，所以，，又因为，由勾股定理得：．故选B．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题.利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x轴平行的线段仍然与轴平行且相等；二是与y轴平行的线段仍然与轴平行且长度减半.3．C【解析】【分析】先给分子和分母同乘以，化简后可得其虚部.【详解】因为，所以的虚部为-3.【点睛】此题考查的是复数的运算和复数的有关概念，属于基础题.4．C【解析】【分析】过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，则即为二面角的平面角，设，通过解三角形即可求出答案．【详解】解：过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，则即为二面角的平面角，如下图所示：设，∵，∴，，又∵，∴为等边三角形，则，∴，∴，故选：C．5．A【解析】【详解】∵cos2=，2cos2﹣1=cosA，∴cosA=，即，∴△ABC是直角三角形．故选A．6．C【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．7．A【解析】由x的范围，和三角函数线得，将化简，得答案.【详解】因为，由三角函数线的图像可知，则故选：A【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和二倍角的正弦公式化简，还考查了判断三角函数值的大小，属于简单题.8．B【解析】【分析】连接，设，由得，解方程可得答案.【详解】若，连接，平面，所以，，设，则，所以，，，由得，整理得，解得，则这样的点有1个.故选：B.9．AB【解析】【分析】通过重心的性质可得，再利用线面平行的判定即可得解.【详解】连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD中点E，由，得，因为平面，平面，平面，平面.因此平面，且平面.故选：AB.10．BC【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算可判断AB选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断

CD选项.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，，D错.故选：BC.11．BC【解析】【分析】对于选项A、D，可采用反证法假设成立，得出结论与已知矛盾；对于选项B，采用线面垂直的性质可判断出结论正确；对于选项C利用线面平行的性质可判断出结论正确.【详解】对于选项A，若在平面内存在直线与平行，又因为面PBM，则平面，而与面相交，故矛盾，A错误；对于选项B，设，过O做AC的垂面α，因为面α与面有公共点O，所以平面平面，且，则，面，故B正确；对于选项C，如图延长交于点连接，作平面，平面，平面，所以平面，故存在，C正确；对于选项D，若平面，则又，所以平面所以，可知点在以为直径的圆上又该圆与无交点，所以不存在，D错误.故选：BC.12．AC【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式，求出，再利用角变换，利用两角差的余弦公式求得答案.【详解】由是锐角，，则，又，是锐角，则，得，又，则，则得或.故选：AC【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式，角变换技巧，两角差的余弦公式，属于中档题.13．【解析】【分析】利用复数的几何意义，由求解.【详解】因为向量，对应的复数分别是，，所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及平面向量的减法运算，属于基础题.14．【解析】【分析】由正弦定理及已知求出b，C，再利用三角形面积公式求解即可.【详解】解：∵，∴由正弦定理得：，，∵∴.故答案为.15．13【解析】【分析】取的中点，连接，可证平面，则为直角三角形，利用勾股定理可计算的长.【详解】取的中点，连接.因为，，所以，所以.因为，是的中点，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.在中，.【点睛】在垂直关系的证明中，如果给定的图形是对称的（如等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等），则可以取中点从而得到垂直关系，这些垂直关系可以为题设中面面垂直、线面垂直的判定定理和性质定理的应用提供便利.16．【解析】【分析】依题意可得只需EP∥BC1即可，取CC1中点为F，故P在线段EF上（不含端点）．求得AE，AF，即可得线段AP长度的取值范围．【详解】依题意可得BC1⊥平面A1B1CD，故只需即可，取CC1中点为F，故P在线段EF上（不含端点）．AE=,AF=,∴线段AP长度的取值范围是故答案为【点睛】本题考查面面垂直的判定定理的应用，考查推理转化能力，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．17．（1）；（2）1【解析】【详解】试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以，得到关于的式子，代入，即可得到答案．试题解析：（Ⅰ）（Ⅱ）原式．考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用18．（1）证明过程详见解析；（2）点到平面的距离为.【解析】【详解】试题分析：本题以三棱锥为几何背景考查线面垂直的判断和点到面的距离的求法，可以运用传统几何法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问,先利用线面垂直平面，得到线线垂直，由等腰三角形，得，由上述两个条件得平面；第二问，利用第一问可得面面，利用面面垂直的性质，得到的距离即为到面的距离，在直角三角形中，用等面积法表示.法二：第二问，等体积法求点面距离，，即，得.试题解析：（1）因为平面，平面，所以又因为在中，，为的中点，所以又平面，平面，且，所以平面（2）法一：因为平面且平面所以平面平面，又因为平面平面，所以点到的距离即为点到平面的距离，在直角三角形中，由得所以点到平面的距离为.法二：设点到平面的距离为，据即，得所以点到平面的距离为.考点：1.线面垂直的判定定理；2.面面垂直的性质；3.等体积法求点面距离.19．（1），；（2）证明过程见解析．【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理以及三角形法则即可求解；（2）利用向量垂直的性质化简即可证明．【详解】（1）因为，则，所以，；（2）证明：因为，所以，即，即，所以．20．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）连结EO,证明，原题即得证；（2）证明平面，平面，原题即得证.(1)证明：连结EO,因为因为因为.又因为平面,所以平面.(2)证明：因为平面,平面所以平面.因为,又,所以,又平面,平面,所以平面.又平面,,所以平面平面.21．（1），；（2）选①，；选②，.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的二次方程，可解出的值，进而可求得的面积；（2）选①，在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，进而可求得的正弦值；选②，利用正弦定理求得的值，由同角三角函数的基本关系可求得，再利用两角和的正弦公式可求得的值.【详解】（1）由余弦定理得，整理得，，解得，；（2）选①，如下图所示：在中，由正弦定理得，可得，在中，，则，所以，；选②，在中，由正弦定理得，可得，由于为