第2节 置换的奇偶性课件

§2置换的奇偶性重点1、置换的乘积和逆置换的计算方法2、置换逆序数的计算方法3、置换逆序数的性质（前三个结论）一、置换的乘法和逆置换：元素个数有限的集合。置换：有限集上的一一变换（双射）。设有限集p是S上的一个置换，记第2节置换的奇偶性集合上所有置换构成的集合记为元置换群。今后称为n容易发现例如，其中它的6个元素（即置换分别为）前3个由第1个轮换得到，后3个由前3个对换得到。假设p和q是S上的两个置换，则由上节例1知p与q第2节置换的奇偶性的复合qp仍然是S上的置换（双射）。由于于是可记另外，显示了置换乘法得计算过程对任意的置换p,第2节置换的奇偶性例1设有两个置换解求第2节置换的奇偶性二、置换的逆序数计算方法如果置换p只把i与j交换而保持其他数字不变，即则称这样的置换为对换，记为(i,j)。显然，即置换p的像是数字的一个排列。如果时则称是排列置换和排列中对换记号前后不一致，我们用(i,j)表对换，(ij)表逆序对第2节置换的奇偶性的一个逆序对（相对于自然排列123…n而言的）。记为N(p)。排列包含的逆序对的总个数称为该排列（或置换p)的逆序数，定义2.1称为置换p的符号，记为sgn(p)。如果N(p)是偶数，则称p是偶置换；否则称为奇置换。例2设有两个置换确定两个置换的符号。第2节置换的奇偶性解置换p=35412的逆序对(31),(32),(54),(51),(52),(41),(42)置换q=24153的逆序对(21),(41),(43),(53)由上面两个例子能总结出求一个置换（或排列）逆序数的方法吗？第2节置换的奇偶性注释1的定义容易发现对任意的置换后面比小的数的个数.后面比小的数的个数前面比大的数的个数前面比大的数的个数．由逆序数和逆序对后面比小的数的个数或前面比大的数的个数第2节置换的奇偶性的逆序数.

例3．求n级置换解用第一种方法置换和排列是相互唯一确定的。因此，一个置换的逆序和你叙述也可称为排列的逆序和逆序数。类似地可以定义偶排列和奇排列的概念。第2节置换的奇偶性第2节置换的奇偶性第2节置换的奇偶性则三、置换的逆序数性质右乘对换q，相当于把p的相应位置元素对换设有两个置换置换p可表示一些对换的乘积。先把排列p(1)p(2)…p(n)通过对换化成自然排列，然后再转化置换的对换乘积第2节置换的奇偶性引理2.1置换p与一个对换乘积后符号改变。一个置换右乘一个对换就相当于对排列证明进行一次对换。由于置换p与排列的逆序数相同，于是证明一次对换改变排列的奇偶性即可。情形1相邻对换对换a与b显然，除a和b外其它逆序对在两个排列中相同。设排列为当时，经对换后排列的逆序增加1个,当时，经对换后排列的逆序减少1个,第2节置换的奇偶性因此，作一次相邻对换，排列改变奇偶性。次相邻对换次相邻对换对换使排列奇偶性发生改变。情形2一般情形设排列为检查对换a与b。一次相邻对换改变排列奇偶性，于是2m+1次相邻次相邻对换第2节置换的奇偶性命题2.2（1）任意一个置换可表示成一些对换的积。（1）证明（2）一个置换表示成一些对换的乘积时，对换个数的奇偶性与置换的奇偶性相同。考虑排列设对换中的p(1)和p(i)得到新的排列设其中的左边第一个数为1。对换中的p(2)和p(l)得到新的排列其中的左边第一个和第二个数分别为1和2。重复上述过程，最后可得到数列第2节置换的奇偶性对应上面排列对换的置换对换分别为则（2）由（1）知这表明p与s有相同的奇偶性。置换与一个对换乘积后符号改变第2节置换的奇偶性推论2.3对任意的置换p和q，证明有由命题2.2（1），假设其中由命题2.2（2）知于是第2节置换的奇偶性推论2.4证明

元对称群中奇偶置换个数相等。令

元对称群中欧置换的子集为奇置换的子集为对任意的由引理2.1知定义映射容易证明f和g都是单射(?)，从而第2节置换的奇偶性于是由推论2.5证明由推论2.2得每个置换p和它的逆置换有相同的奇偶性。得第2节置换的奇偶性作业：P87Ex1,2(4),4,5(2)例5

已知p