中考数学-三角形专题

三角形的有关概念【考点链接】三角形中的主要线段：1．___________________________________叫三角形的中位线．2．中位线的性质：____________________________________________．3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线)4.三角形的内角和为180，外角和为360，【典例精析】例1如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°．求∠DAC的度数．例2如图，已知D、E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE、AD，若S＝24cm,求△DEC的面积.例3如图，在等腰三角形中，，，为底边上一动点（不与点重合），，，垂足分别为，求的长．提示：面积法【中考演练】1．在△ABC中，若∠A＝∠C＝∠B，则∠A＝，∠B＝，这个三角形是.2．已知三角形的三边长分别为3、8、x，若x的值为偶数，则x的值有（）A.6个B.5个C.4个D.3个3．已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角度数为（）A.60°B.75°C.90°D.120°4．如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．5.如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠BDC的度数．﹡6.△ABC中，AD是高，AE、BF是角角平分线相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC，∠BOA的度数.等腰三角形与直角三角形【考点链接】一．等腰三角形的性质与判定：1.等腰三角形的两底角__________；2.等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；3.有两个角相等的三角形是_________．二．等边三角形的性质与判定：1.等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；2.三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．三．直角三角形的性质与判定：1.直角三角形两锐角________．2.直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．3.直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；4.勾股定理：_________________________________________．5.勾股定理的逆定理：_________________________________________________．【典例精析】例1如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

例2（06包头）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．（1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．【中考演练】1．已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为____________度．2．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____．AOBAOB东北有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是____________．4．如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．⑴若∠BAC=30°，求证：AD=BD；⑵若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．全等三角形【考点链接】1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.2.三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.3.全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.4.全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.【典例精析】例1已知：在梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE与DC的延长线交于点F.求证：AB=CF.例2（06重庆）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．【中考演练】1.如图，，，，，则等于（）A． B．C． D．2.如图，点在的平分线上，，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线）：OEAOEABDC（第1题）（第2题）（第3题）AABCDFE3.如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则__________度．4.如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF＝DC．CBODAE5.如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结CBODAE相似三角形【课前热身】1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．3．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．4．在△ABC与中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A=∠；（4）∠C=∠．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽的共有多少组（）A．1B．2C．3【考点链接】一、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．二、相似三角形的判定方法1.若DE∥BC（A型和X型）则______________．2.射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=______．3.两个角对应相等的两个三角形__________．4.两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．5.三边对应成比例的两个三角形___________．三、相似三角形的性质1.相似三角形的对应边_________，对应角________．2.相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．3.相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．【典例精析】例1如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【中考演练】1.如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为______________．2.在中,为直角,于点,,写出其中的一对相似三角形是_和_；并写出它的面积比_____.（第1题）（第2题）（第3题）3.如图，在△ABC中,若DE∥BC,＝,DE＝4cm,则BC的长为()A.8cmB.12cmC.11cmD.10cm4.如图，已知是矩形的边上一点，于，试证明．锐角三角函数【课前热身】1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AC的长是（） A．B．3C．D．2．RtABC中，∠C=，∠A∶∠B=1∶2，则sinA的值（）B(0,－4)A(3,0)0xyA．B．C．B(0,－4)A(3,0)0xy3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），点B（0，－4），则等于_______．4．=____________．【考点链接】αabc1．sinα，cosααabcsinα＝____，cosα＝_______，tanα＝______．2．特殊角三角函数值30°45°60°sinαcosαtanα__E_A_F_D_C_B_O_H_G【典例精析】例1计算:．例2图中有两个正方形，A，C两点在大正方形的对角线上，△HAC是等边三角形，若AB=2，求EF的长．【中考演练】1．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝()A．B．C． D．2．若，则下列结论正确的为（）A．0°<∠A<30°B．30°<∠A<45°C．45°<∠A<60°D．60°<∠A<90°3.(08连云港)在中，，，，则．FABCDE4.（07济宁）FABCDE5.已知．6．△ABC中，若（sinA－）2＋|－cosB|＝0，求∠C的大小．7.矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿BE将△BDE对折，点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．解直角三角形及其应用【考点链接】1．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．2．如图（3）方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．3．如图（4）坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．OAOABC（图2）（图3）（图4）【典例精析】例1(08十堰)海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东【中考演练】1．(07乌兰察布)升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面，则旗杆高度约为_______.（取，结果精确到）2．（06哈尔滨）如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号1.(·河北中考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=

．AOAOBECD（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？2.（綦江中考）如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．（1）求证：；DABDABCEF（2）如果，求的值．3、（宁夏中考）如图，在△中，∠=90°，sin=，=15，求△的周长和tan的值．4、（肇庆中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，求sinA和tanA的值.5、（·芜湖中考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，，(1)求证：AC=BD；(2)若，BC=12，求AD的长．特殊角的三角函数值一、选择题1.（·钦州中考）sin30°的值为（）A． B． C． D．2.（长春中考）．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（）A． B． C． D．3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A．8米 B．米 C．米 D．米4.宿迁中考）已知为锐角，且，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5.（毕节中考）A（cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（）A．B．C．D．6.（襄樊中考）计算：等于（）（A） （B） （C） （D）三、解答题11.（·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°（崇左中考）计算：．（义乌中考）计算：要点三、解直角三角形在实际问题中的运用1.（庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定．如图（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB=45°，∠OAB=30°，OA=60cm，求点B到OA边的距离．（，结果精确到整数）2.（郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为米，测得仰角为，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取，，结果保留两位小数）3、（眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。4、（常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶，求山的高度（不计测角仪的高度，，结果保留整数）．5、（广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。(参考数据：)6.（广东中考）17．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路.现新第6题图BClDA修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD第6题图BClDA第19题图7.（安徽中考）19.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m，高度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长.第19题图12.（金华市中考）19.(本题6分)第19题图ABα梯子CC生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（第19题图ABα梯子CC（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）13、（盐城市中考）24．（本题满分10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：eq\r(,3)≈1.732）2013年中考数学总复习专题测试卷（八）（三角形）(试卷满分150分，考试时间120分钟)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，满分40分)每一个小题都给出代号为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个结论，其中只有一个是正确的，把正确结论的代号写在题后的括号内．每一小题：选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。1．满足下列条件的三角形，按角分类有三个属于同一类，则另一个是（）。A．∠A:∠B:∠C＝1:2:3B．∠A－∠B＝∠CC．∠A＝∠C＝40°D．∠A＝2∠B＝2∠C2．已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为（）。A．90°B．110°C．100°D．120°3．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（）。A．14B．15C．16D．174．锐角三角形的三个内角是∠A、∠B、∠C，如果，，，那么、、这三个角中（）。A．没有锐角B．有1个锐角C．有2个锐角D．有3个锐角5．如图1，已知AB∥CD，则（）。A．∠1＝∠2＋∠3 B．∠1＝2∠2＋∠3C．∠1＝2∠2－∠3 D．∠1＝180º－∠2－∠36．如图2，将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点．已知，，则折痕的长为（）。A． B． C． D．7．如图3，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且SABC=4cm2，则阴影面积等于（）。A．2cm2B．1cm2C．cm2D．cm2图1图2图38．有五根细木棒，长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，现任取其中的三根木棒，组成一个三角形，问有几种可能（）。A．1种B．2种C．3种D．4种9．能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段，是三角形的（）。A．中线B．高线C．边的中垂线D．角平分线10．已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形中（）。A．一定有一个内角为45B．一定有一个内角为60C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形二、填空题(本题共4小题，每小题5分，满分20分)11．在直角三角形中,两锐角的平分线相交成钝角的度数是_________。12．一个等腰三角形的底角为15°，腰长为4cm，那么，该三角形的面积等于_________。13．如图4,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=158°,则∠EDF=_________度。14．在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图4所示，地毯的长度至少需要_________m。13m13m5m5m图4图5三、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图6，已知ΔABC中，∠A=58°，分别求∠BOC的度数。（1）O为外心，（2）O为内心，（3）O为垂心。AADBEFC16．如图7，已知：AC=DF,BC=EF,AD=BE，你能判定BC∥EF吗？说说你的理由。四、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图8，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC,EF⊥AD交BC延长线于F。求证：∠FAC=∠B。18．如图9，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点A爬到顶点B，已知，则它走过的路程最短为多少？五、(本题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图10，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（－1，－1），B（－4，－3），C（－4，－1）．（1）作出△ABC关于原点O的中心对称图形；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A120．如图11，△ABC、△DEC均为等边三角形，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，求证：△CNM为等边三角形。六、(本题满分12分)21．如图12，大江的一侧有A、B两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别为3千米和1千米，设两条小路相距4千米，现在要在江边建立一个抽水站，把水送到A、B七、(本题满分12分)22．已知：如图13，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）。八、(本题满分14分)23．操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图14①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．图148、（2010•江西）如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG=60°．现沿直线E将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（） A、4 B、3 C、2 D、1（2010•江西）（两题任选其一作答）﹙Ⅰ﹚如图，从点C测得树的顶端的仰角为33°，BC=20米，则树高AB≈米﹙用计算器计算，结果精确到0.1米﹚（Ⅱ）计算：sin30°•cos30°﹣tan30°=．﹙结果保留根号﹚．（2010•江西）一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD=度．（2010•江西）图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米．（1）求x的取值范围；（2）若∠CPN=60°，求x的值；（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留）．（2011•江西，14，3）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=度．（2011•江西，15，3）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2=度．（2011•南昌）如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（） A、BD=DC，AB=AC B、∠ADB=∠ADC，BD=DC C、∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D、∠B=∠C，BD=DC（2011•南昌）如图，在△ABC中，点P是的△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=90度．（2011•南昌）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论：①AF丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是专题训练（全等、相似三角形）【经典例题】：如图，已知E、F是□ABCD的边BA、DC延长线上的点，且AE＝CF，线段EF分别交AD、BC于点M、N。请你在图中找出一对全等三角形并加以证明。解：我选择证明△＿＿＿＿≌△＿＿＿＿＿1、（8分）如图，点B、F、C、E在同一直线上，FB=CE,AC=DF,能否由上面的的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；