乒乓球赛问题

数学承诺书我们仔细阅读了大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 参赛队员（打印并签名）：序号姓名（打印）所在学院签名（亲手）1刘源化学与化工学院2徐静静数学与统计学院3祝进数学与统计学院日期：2015年9月卫日评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：大学生数学建模竞赛评阅专用页评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：评阅记录（供竞赛组委会评阅时使用）：评阅结果：获奖等级：乒乓球赛问题摘要：一场比赛的胜利不仅仅与个人的技能有关，比赛中的战术策略也起着至关重要的作用，本文主要对常见五局三胜制赛球类竞赛中的战术策略进行研究。针对问题一，我们通过比较两队获胜的数学期望来得出结论，即A队在五场比赛中平均获胜的数学期望为E(A)二23/9；B队在五场比赛中平均获胜的数学期望为E(B)二22/9，由E(A)>E(B)，得出A队的实力比B队略强。针对问题二，首先根据概率论的相关知识计算出在五局三胜制中A队以«的次序出i场，B队以0.的次序出场A队最后获胜的概率(B队最后失败的概率)，通过对各种结果概率的分析，得出A、B两队的稳妥方案即A队最稳妥策略为«3，B队最稳妥的策略为01。针对问题三，解决A队要以何种顺序出场的问题，首先对A队选择哪种策略赋予权重即A队选择哪种策略可能性的大小，然后建立线性规划模型，通过LINGO求解得到最优的阈值k=0.535及a、a、a权重值分别为0.379,0.192，0.428，得出策略a是A1 2 3 3队出场的最佳选择。针对问题四，我们通过考虑实际比赛中有可能存在不同的赛制，例如七局四胜制和十一局六胜制，即模型的推广性和适用性，认为题目中给的数据对于推导其他赛制比较方便，但如果采用打满五局的数据来预测五局三胜制的比赛结果具有较大的误差，需要对数据进行处理，并且由于事件的发生具有偶然性，可能造成预测结果的准确度不高。关键字：数学期望线性规划LINGO一、问题重述现有A、B两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，A、B两队分别派3名选手上场，并且分别有3种选手的出场顺序(分别记为a,a,a和B，p，p)。根据过去的比123123赛记录，可以预测出如果A队以a的次序出场，B队以0,的次序出场，则打满5局A队可胜a局，由此得矩阵R=\i)如下： ’ijij‘214、R=034<531丿针对这一生活中常见的球类竞赛需要我们小组建立模型主要解决以下问题：根据矩阵R能看出哪一队的实力较强？如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？比赛为五战三胜制，但矩阵R中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点。二、问题分析在进行问题分析之前，我们需要明确问题中给出的矩阵R元素a(i=1,2,3.j=1,2,3)所表示的具体含义。由题意可知矩阵R中的兀素a是根据过去的ij ij比赛记录而预测得出的，表示A队以a(i=1,2,3)的次序出场而B队以p(j=1,2,3)的次序ij出场，A队在五局比赛中平均获胜的局数的估计值而不是绝对值。针对问题一，要比较A、B两队实力的强弱，我们通过比较两队获胜的数学期望值的大小来得出结论即首先假设A队选择a(i=1,2,3)出场次序的概率是等可能的，B队选i择p(j=1,2,3)出场次序的概率也是等可能的，然后计算出A队选择a(i=1,2,3)出场次序ji获胜的数学期望E(a厂继而得出A的获胜的期望为£E(a)/3。同理B队选择

iii=1p(j=1,2,3)出场次序获胜的数学期望E(p)和B队获胜的期望fE(p)，最后比较A队jj=j和B队获胜的数学期望大小，期望大的实力较强。针对问题二，要解决A、B两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么样的结果，首先需要知道A、B两队稳妥的方案是分别是哪种出场顺序，然后根据其中一队采取稳妥方案的前提下，另一对以哪一种出场顺序获胜的概率最大为依据列出比赛所出现的结果即首先根据概率论的相关知识计算出在五局三胜制中A队以a的次序出场，B队以p的ij次序出场A队最后获胜的概率(B队最后失败的概率)，得出A、B两队的稳妥方案，继而得出比赛会出现的结果。针对问题三，解决A队要以何种顺序出场的问题，首先对A队选择哪种策略赋予权重即A队选择哪种策略可能性的大小，然后建立优化模型求出权重值，根据权重值的大小得出A队出场策略的最佳选择。三、符号说明符号意义E(a)A队选择a(i=1,2,3)出场获胜的数学期望E(0)/B队选择0(j=1,2,3)出场获胜的数学期望/X(i=1,2,3)iA选择a(i=1,2,3)次序出场获胜的局数iY(j=1,2,3)/B队选择0(j=1,2,3)出场获胜的数学期望/C偏差矩阵Pj平均每局的获胜概率矩阵k稳妥阀值四、模型假设在问题一进行简单的实力比较时，假设A队选择a(i=1,2,3)出场次序的概率是i等可能的，B队选择P(j二1,2,3)出场的概率也是等可能的。在问题二计算I队每局获胜的平均概率时，假设A队获胜的局数这一事件符合古典概率模型。假设在比赛过程中两队队员成绩的发挥不受其他外界因素的影响。五、模型建立与求解5.1问题一模型的建立与求解TOC\o"1-5"\h\z根据假设A队选择a(i=1,2,3)出场次序的概率是等可能的即p(i二1,2,3)=1/3,B队

i ai选择0(j=1,2,3)出场次序的概率也是等可能的即pQ(j=1,2,3)=1/3，以及离散型变量数j 0学期望值的计算公式E(X)丄xp，计算出A队选择a(i=1,2,3)出场次序获胜的数学期

ii ii=1望E(a)，继而得到A队获胜的期望为工E(a)/3。同理可以求出B队选择0(j=1,2,3)出i i ji=1场次序获胜的数学期望E(0)和B队获胜的期望£E(0)/3。jj记A队选择a(i=1,2,3)次序出场获胜的局数记为事件X(i=1,2,3)，B选择

ii0(j=1,2,3)次序出场为事件Y(j=1,2,3)，结合矩阵R可以得出X(i=1,2,3)，Y(j=1,2,3)j j i j的概率分布列如下表1，表2所示：

表1A队选择Q(i=1,2,3)次序出场获胜的局数的概率分布列iX1214pQ11/31/31/3X2034p2Q21/31/31/3X3531P3Q31/31/31/3根据表1可以计算出A队选择q(i=1,2,3)次序出场获胜的局数的数学期望:iE(Q)=E(X)=2*1/3+1*1/3+4*1/3=7/311E(Q)=E(X)=0*1/3+3*1/3+4*1/3=7/322E(Q)=E(X)=5*1/3+3*1/3+1*1/3=9/333A队获胜的数学期望为E(A)=fq/3=7/3+7/3+9/3=23/9;ii=1表2B队选择P(j=1,2,3)次序出场获胜的局数的概率分布列jY1350PP11/31/31/3Y2422P卩21/31/31/3Y3114P p 1/31/31/3根据表2可以计算出B队选择p(j=1,2,3)次序出场获胜的局数的数学期望：E(p)=E(Y)=3*1/3+5*1/3+0*1/3=8/311E(p)=E(Y)=4*1/3+2*1/3+2*1/3=8/322E(p)=E(Y)=1*1/3+1*1/3+4*1/3=6/333B队获胜的数学期望为E(B)=£p=8/3+8/3+6/3=22/9;ii=1因此可以得出E(A)>E(B)，故A的实力比较强。5.2问题二模型的建立与求解针对问题中“稳妥”的方案，我们定义“稳妥”为：当事情发生的可能性高于某一特定值时，认为此事较为稳妥。例如：对于一场比赛，具有风险偏好者认为有50%的可能性赢，就较为稳妥；而风险规避者认为有70%的可能性赢，才较为稳妥。

根据古典概率的计算公式P二N(N表示事件Z出现的次数，n表示试验总次数)即Zn事件Z发生概率，首先计算出在打满5局比赛时A队可胜a局的每局获胜的平均概率ijP亠(i=1,2,3.j=1,2,3)，这样可以得到一个矩阵：ij5(0.40.20.8\P

ijTOC\o"1-5"\h\z0.6 0.8P

ij0.6 0.2丿然后根据n重伯努利试验二项分布概率的计算公式即如果记X为n重伯努利试验中成功(记为事件A)的次数，则X的可能取值为0,1,...,n,记p为每次试验中A发生的概率，p=Ckpk(1-p)n-k(k=0,1,...,n.)。在本题中由平均每局的获胜概率，可求出Ax=k n队每场的获胜概率，根据五局三胜制的规则，A队取胜每一场可能会进行3局、4局或5局比赛。比赛三局：A队连赢三局，比赛结束。获胜的概率为：P=P3。1ij比赛四局：A队前三局中赢两局，第四局取胜。获胜的概率为：P=C2P2(1-P)P。2 3ijijij比赛五局：A队前四局中赢两局，第五局取胜。获胜的概率为：P=C2P2(1-P)2P。3 4ijijij因此，A队每场比赛获胜的概率为：P=P+P+P=P3+C2P2(1-P)P+C2P2(1-P)2P12 3ij3ij ijij4ij ijij即：P=P3(6P2—15P+10)

ijijij

在三种不同的策略下，得到A队平均每场的获胜概率矩阵为：'0.3170.0580.942、q= 0 0.683 0.942(1 0.683 0.058丿由矩阵可以看出：B队最稳妥的策略为竹，由于两队都采用最稳妥的方案即无论A选择哪种策略时B队仅有一种策略为稳妥的。1当A队选择策略a时，若B队恰好选择策2略P，那么A队的获胜概率为0此策略的风险极大，不符合稳妥的要求。所以A队应选择策略a或a，当A队选择a,B队选择策略卩时，A队的获胜概率为1,所以策略a1 3 3 1 3是A队的最佳选择。5.3问题三模型的建立与求解根据问题二中得到的A队平均每场的获胜概率矩阵q，设A队选择a、a、a三种ij 1 2 3策略的可能性分别为：x、y、z，稳妥的阈值为k(当获胜的概率高于k时，此事较为稳妥)通过建立线性规划模型，求解最大的稳妥阈值k。目标函数：maxk

VariatleVai口已ReducedCostK0・53517920.000000X0・37901450・000000Y0・19223610・000000Z0・42S74940・0000003约束条件：通过LINGO编程求解得到qx+qy约束条件：通过LINGO编程求解得到qx+qy+qz>k11 12 13qx+qy+qz>k21 22 23<qx+qy+qz>k31 32 33x+y+z二1x>0,y>0,z>0Globaloptimalsol口匸:ionfound・Objectivevalue:Totalsolveriterations:0・5351"92概率为混合的获胜概率即：策略«占37.9%,策略a占19.2%，策略a占42.9%,其中123策略a的比重最大，所以A队很大可能是选择策略a进行比赛。33六、模型的优缺点优点：根据题目中的预测数据，可以得出五局三胜制情况下的的获胜概率矩阵，同时可以得出七局四胜制，十一局六胜制情况下的获胜概率矩阵，这样就可以推广本文所建立的模型；而如果只给出五局三胜制情况下的获胜概率矩阵，对于其它赛制，模型的适用性就受到了限制，不适合进一步的推广。缺点：比赛为五局三胜制，但矩阵R中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样得到的数据处理结果和实际情况是不相符合的，因为在进行实际比赛时，我们可能只进行了三局，四局比赛，而题目中给的数据是预测打满