初中数学七年级下册 期末试卷（含答案）

第1页（共1页）七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）49的算术平方根是（）A．7 B．±7 C．﹣7 D．2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣3）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（3分）下列各式中，正确的是（）A．＝﹣4 B．＝2 C．﹣＝4 D．±＝44．（3分）估算的值在（）A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间5．（3分）下面实数中，是无理数的是（）A．0.5 B． C． D．6．（3分）如图，直线AB经过点O，若OC⊥OD，∠1＝32°，则∠2的大小是（）A．78° B．68° C．58° D．32°7．（3分）如图，能判定AD∥BC的条件是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠48．（3分）下面的调查中，适合采用全面调查方式的是（）A．调查某班学生的体重 B．检测某城市的空气质量 C．调查春节联欢会的收视率 D．调查某批次汽车的抗撞击能力9．（3分）已知a＜b，则下列选项错误的是（）A．a+2＜b+2 B．a﹣1＜b﹣1 C．＜ D．﹣3a＜﹣3b10．（3分）下列命题中，为真命题的是（）A．两个锐角之和一定为钝角 B．相等的两个角是对顶角 C．同位角相等 D．垂线段最短11．（3分）若＞5，则a取值的最小整数值是（）A．4 B．5 C．6 D．712．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a的值是（）A．﹣2 B．2 C． D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）﹣π的相反数为，的绝对值是．14．（3分）＝．15．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOC＝20°，则∠BOD的大小为（度）．16．（3分）为了解学生的爱心捐款情况，随机调查了50名学生的捐款金额，绘制了扇形统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）捐款10元对应扇形图中的m的值为；（Ⅱ）在扇形统计图中，捐款20元对应扇形图的圆心角的大小为（度）．17．（3分）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“将”的位置的坐标为（0，0），棋子“象”的位置的坐标为（2，0），则“炮”的位置的坐标为．18．（3分）如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD＝（度）；（Ⅰ）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD＝（度）；（Ⅱ）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD＝（度）；（Ⅲ）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是（度）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（10分）解方程组：（Ⅰ）；（Ⅱ）．20．（12分）解不等式（组）：（Ⅰ）解不等式2x≤3x﹣2，并把它的解集在数轴上表示出来．（Ⅱ）解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．解不等式①，得；解不等式②，得；把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：原不等式组的解集为．21．（6分）完成下面的计算，并在括号内标注理由．如图，直线a、b被直线c、d所截，∠1＝75°，∠2＝75°，∠3＝60°．求∠4的度数．解：∵∠1＝75°，∠2＝75°，∴∠1＝∠2．∴∥（）．∴+＝（）．∵∠3＝60°，∴∠4＝°．22．（8分）体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，绘制出频数分布表和部分频数分布直方图，如图所示．请根据以下信息，解答下列问题：次数x频数60≤x＜80280≤x＜1004100≤x＜12020120≤x＜14012140≤x＜1608160≤x＜1803180≤x＜2001（Ⅰ）补全直方图；（Ⅱ）全班有学生名，频数分布表的组距是，组数是；（Ⅲ）求跳绳次数x在100≤x＜140范围内的学生有多少？占全班学生的百分之几？23．（10分）已知：如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．求证：∠A＝∠B．24．（10分）小明的新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费6500元．已知彩色地砖的单价是100元/块，单色地砖的单价是50元/块．（Ⅰ）两种型号的地砖各采购了多少块？（Ⅱ）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共40块，且采购地砖的费用不超过3000元，那么彩色地砖最多能采购多少块？25．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0，3）．（Ⅰ）如图①，三角形AOB的面积为；（Ⅱ）如图①，在x轴上是否存在点C，使三角形ABC的面积等于6．若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）如图②，将线段AB向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到线段A1B1，求三角形OA1B1的面积．

七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）49的算术平方根是（）A．7 B．±7 C．﹣7 D．【分析】依据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：72＝49，∴49的算术平方根是7．故选：A．【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣3）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标的符号特征，可得答案．【解答】解：点P（﹣3，﹣3）在第三象限，故选：C．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．3．（3分）下列各式中，正确的是（）A．＝﹣4 B．＝2 C．﹣＝4 D．±＝4【分析】根据平方根、立方根的意义，逐个进行计算，得出判断即可．【解答】解：＝4，因此选项A不正确；＝2，因此选项B正确；﹣＝﹣4，因此选项C不正确；±＝±4，因此选项D不正确；故选：B．【点评】考查平方根、立方根的意义和计算方法，掌握平方根、立方根的意义是正确计算的前提．4．（3分）估算的值在（）A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间【分析】根据4＜5＜9，所以，即可解答．【解答】解：∵4＜5＜9，∴，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算，也考查了算术平方根．5．（3分）下面实数中，是无理数的是（）A．0.5 B． C． D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A.0.5是有限小数，属于有理数；B.是分数，属于有理数；C.，是整数，属于有理数；D.是无理数．故选：D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．6．（3分）如图，直线AB经过点O，若OC⊥OD，∠1＝32°，则∠2的大小是（）A．78° B．68° C．58° D．32°【分析】根据垂直的定义解答即可．【解答】解：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∵∠1＝32°，∴∠2＝90°﹣32°＝58°，故选：C．【点评】此题考查垂线，关键是根据垂直的定义得出∠COD＝90°解答．7．（3分）如图，能判定AD∥BC的条件是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4【分析】根据平行线的判定方法进行分析即可．【解答】解：A、∠1＝∠2不能判定AD∥BC，故此选项错误；B、∠2＝∠3能判定AD∥BC，故此选项正确；C、∠1＝∠4可判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故此选项错误；D、∠3＝∠4不能判定AD∥BC，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行．8．（3分）下面的调查中，适合采用全面调查方式的是（）A．调查某班学生的体重 B．检测某城市的空气质量 C．调查春节联欢会的收视率 D．调查某批次汽车的抗撞击能力【分析】适合普查（全面调查）的方式一般有以下特点：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．【解答】解：A、调查某班学生的体重，适合全面调查；B、检测某城市的空气质量，适合抽样调查；C、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查；D、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查；故选：A．【点评】本题考查的是全面调查与抽样调查适用的条件，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．9．（3分）已知a＜b，则下列选项错误的是（）A．a+2＜b+2 B．a﹣1＜b﹣1 C．＜ D．﹣3a＜﹣3b【分析】根据不等式的性质，可得答案．【解答】解：A、不等式a＜b两边都加2，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意；B、不等式a＜b两边都减去1，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意；C、不等式a＜b两边都除以3，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意；D、不等式a＜b两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质，能够正确利用不等式的性质是解题的关键．10．（3分）下列命题中，为真命题的是（）A．两个锐角之和一定为钝角 B．相等的两个角是对顶角 C．同位角相等 D．垂线段最短【分析】根据钝角的概念、对顶角的概念、平行线的性质、垂线段最短判断．【解答】解：A、40°+40°＝80°，80°是锐角，∴两个锐角之和一定为钝角是假命题；B、相等的两个角不一定是对顶角，本选项说法是假命题；C、两直线平行，同位角相等，本选项说法是假命题；D、垂线段最短，是真命题；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．11．（3分）若＞5，则a取值的最小整数值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】先求出不等式的解集，再求出解集的最小整数值即可．【解答】解：＞5解得：a＞，∴最小的整数为4，故选：A．【点评】本题考查的是一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式的解法，属于中考常考题型．12．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a的值是（）A．﹣2 B．2 C． D．4【分析】把x与y的值代入方程组求出所求即可．【解答】解：把代入方程组得：，①+②得：3a＝4，解得：a＝，则a的值是．故选：C．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）﹣π的相反数为π，的绝对值是．【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．绝对值的求法：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．据此解答即可．【解答】解：﹣π的相反数是π；的绝对值是．故答案为：π，．【点评】此题考查了相反数、绝对值的性质，要求掌握相反数、绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．14．（3分）＝﹣3．【分析】根据立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴＝﹣3．【点评】此题主要考查了立方根的定义，注意：一个数的立方根只有一个．15．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOC＝20°，则∠BOD的大小为20（度）．【分析】根据对顶角相等解答即可．【解答】解：∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝20°，∴∠BOD＝∠AOC＝20°，故答案为：20．【点评】此题考查对顶角，关键是根据对顶角相等解答．16．（3分）为了解学生的爱心捐款情况，随机调查了50名学生的捐款金额，绘制了扇形统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）捐款10元对应扇形图中的m的值为30；（Ⅱ）在扇形统计图中，捐款20元对应扇形图的圆心角的大小为72（度）．【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据，可以计算出m%的值，从而可以得到m的值；（Ⅱ）根据扇形统计图中20元所占的百分比为20%，可以求得相应的圆心角的度数．【解答】解：（Ⅰ）m%＝1﹣24%﹣20%﹣16%﹣10%＝30%，故答案为：30；（Ⅱ）360°×20%＝72°，即在扇形统计图中，捐款20元对应扇形图的圆心角的大小为72°，故答案为：72．【点评】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，明确扇形统计图的特点，利用数形结合的思想解答．17．（3分）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“将”的位置的坐标为（0，0），棋子“象”的位置的坐标为（2，0），则“炮”的位置的坐标为（﹣3，3）．【分析】直接利用原点位置建立平面直角坐标系，进而得出“炮”的位置．【解答】解：如图所示：“炮”的位置的坐标为（﹣3，3）．故答案为：（﹣3，3）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．18．（3分）如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360（度）；（Ⅰ）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD＝540（度）；（Ⅱ）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD＝720（度）；（Ⅲ）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n（度）．【分析】过点E作EF∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；（Ⅰ）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（Ⅱ）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（Ⅲ）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．【解答】解：过E作EF∥AB（如图②）．∵原四边形是长方形，∴AB∥CD，又∵EF∥AB，∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．∵EF∥AB，∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CD∥EF，∴∠2+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，又∵∠1+∠2＝∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（Ⅰ）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD＝540°；（Ⅱ）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD＝720°；（Ⅲ）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．．故答案为：360；（Ⅰ）540；（Ⅱ）720°；（Ⅲ）180n．【点评】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（10分）解方程组：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）方程组利用代入消元法求出解即可；（Ⅱ）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（Ⅰ）把①代入②，得x＝1，把x＝1代入①，得y＝﹣1，所以这个方程组的解为；（Ⅱ），由②﹣①，得x＝2，把x＝2代入①，得y＝﹣1，所以这个方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．20．（12分）解不等式（组）：（Ⅰ）解不等式2x≤3x﹣2，并把它的解集在数轴上表示出来．（Ⅱ）解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．解不等式①，得x＜1；解不等式②，得x＜﹣1；把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：原不等式组的解集为x＜﹣1．【分析】（Ⅰ）移项、合并同类项、系数化为1即可求得不等式的解集；（Ⅱ）首先解每个不等式，然后利用数轴确定两个不等式的解集的公共部分，即是不等式组的解集．【解答】（Ⅰ）解：移项，得2x﹣3x≤﹣2，合并同类项，得﹣x≤﹣2，系数化为1，得x≥2．解集在数轴上表示如下：，（Ⅱ）解：解不等式①，得x＜1；解不等式②，得x＜﹣1；把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：，原不等式组的解集为x＜﹣1．故答案为：x＜1；x＜﹣1；x＜﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（6分）完成下面的计算，并在括号内标注理由．如图，直线a、b被直线c、d所截，∠1＝75°，∠2＝75°，∠3＝60°．求∠4的度数．解：∵∠1＝75°，∠2＝75°，∴∠1＝∠2．∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠3＝60°，∴∠4＝120°．【分析】由∠1＝75°，∠2＝75°得∠1＝∠2，证明直线a∥b，其性质得∠3+∠4＝180°，根据角的和差求得∠4＝120°．【解答】解：如图所示：∵∠1＝75°，∠2＝75°，∴∠1＝∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行），∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵∠3＝60°，∴∠4＝120°，故答案为：a，b，同位角相等，两直线平行；∠3，∠4，180°，两直线平行，同旁内角互补；120．【点评】本题综合考查了角的等量代换，平行线的判定与性质，角的和差等相关知识点，重点掌握平行线的判定与性质，易错点书写是平行线的判定与性质易混淆．22．（8分）体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，绘制出频数分布表和部分频数分布直方图，如图所示．请根据以下信息，解答下列问题：次数x频数60≤x＜80280≤x＜1004100≤x＜12020120≤x＜14012140≤x＜1608160≤x＜1803180≤x＜2001（Ⅰ）补全直方图；（Ⅱ）全班有学生50名，频数分布表的组距是20，组数是7；（Ⅲ）求跳绳次数x在100≤x＜140范围内的学生有多少？占全班学生的百分之几？【分析】（Ⅰ）根据频数统计表可知跳绳次数在80≤x＜100之间的频数是4，140≤x＜160之间的频数为8，从而可补全直方图；（Ⅱ）把所有的频数加起来得出全班学生数，再根据图表给出的数据即可得出频数分布表的组距和组数；（Ⅲ）把数x在100≤x＜140范围内的频数加起来得出次数x在100≤x＜140范围内的学生数，再除以总数即可得出占全班学生的百分比．【解答】解：（Ⅰ）在80≤x＜100有4人，140≤x＜160有8人，补全直方图如下：（Ⅱ）全班有学生2+4+20+12+8+3+1＝50（人），频数分布表的组距是20；组数是7；故答案为：50，20，7；（Ⅲ）根据题意得：20+12＝32（人），则跳绳次数x在100≤x＜140范围内的学生有32人；占全班学生人数的百分比是：×100%＝64%．【点评】本题主要考查的是频数分布表和频数分布直方图的应用，能够从统计图和统计表中获取有效信息是解题的关键．23．（10分）已知：如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．求证：∠A＝∠B．【分析】根据对顶角相等，邻补角互补解答即可．【解答】证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∵∠COA＝∠DOB，∴∠C＝∠D，∴AC∥DB，∴∠A＝∠B．【点评】此题考查对顶角，关键是根据对顶角相等，邻补角互补解答．24．（10分）小明的新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费6500元．已知彩色地砖的单价是100元/块，单色地砖的单价是50元/块．（Ⅰ）两种型号的地砖各采购了多少块？（Ⅱ）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共40块，且采购地砖的费用不超过3000元，那么彩色地砖最多能采购多少块？【分析】（Ⅰ）设彩色地砖采购x块，购买单色地砖y块，根据意列出二元一次方程组求出其解即可；（Ⅱ）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（40﹣a）块，根据采购地砖的费用不超过3000元建立不等式，求出其解即可．【解答】解：（Ⅰ）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，由题意得，解得．答：彩色地砖采购30块，单色地砖采购70块；（Ⅱ）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（40﹣a）块，由题意得100a+50（40﹣a）≤3000，解得：a≤20．∴彩色地砖最多能采购20块．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时认真分析单价×数量＝总价的关系建立方程及不等式是关键．25．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0，3）．（Ⅰ）如图①，三角形AOB的面积为；（Ⅱ）如图①，在x轴上是否存在点C，使三角形ABC的面积等于6．若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）如图②，将线段AB向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到线段A1B1，求三角形OA1B1的面积．【分析】（1）判断出OA，OB的长，利用三角形的面积公式求解即可．（2）设点C的坐标为（a，0），a≠0．分两种情形：①若点C在x轴的正半轴上，则a＞0．②若点C在x轴的负半轴上，则a＜0．分别构建方程求解即可．（3）由平移可知点A1（4，2）、B1（3，5），过点A1作x轴的垂线，垂足为C，过点B1作y轴的垂线，垂足为D，两条垂线相交于点E．利用分割法求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∴S△OAB＝•OA•OB＝．故答案为．（Ⅱ）存在．设点C的坐标为（a，0），a≠0．①若点C在x轴的正半轴上，则a＞0．三角形ABC的面积＝，解得，a＝5∴点C的坐标为（5，0）．②若点C在x轴的负半轴上，则a＜0．三角形ABC的面积＝，解得，a＝﹣3∴点C的坐标为（﹣3，0）．∴点C的坐标为（5，0）或（﹣3，0）．（Ⅲ）由平移可知点A1（4，2）、B1（3，5），过点A1作x轴的垂线，垂足为C，过点B1作y轴的垂线，垂足为D，两条垂线相交于点E．则OC＝4，OD＝5，A1C＝2，A1E＝3，B1D＝3，B1E＝1．∴三角形OA1B1的面积＝．【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

考点卡片1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．2．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．3．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．4．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．5．实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．6．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．7．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．8．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x＝ax＝b的形式表示．9．二元一次方程组的应用（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．10．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．11．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．12．解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．13．一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．14．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．15．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．16．点的坐标（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．（2）平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．（3）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．17．坐标确定位置平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．18．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．19．垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．20．平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．21．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．22．三角形综合题三角形综合题．23．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角