高等数学 课件 王文静 第5章定积分及其应用

定积分的概念及其性质1、定积分的概念设函数

在区间

内有界。任取分点将区间

分成

个小区间，

记

个小区间的长度为令在每个小区间内任取一点则乘积的和式为

，若不论区间采取何种分法，也不论在

中如何取法,只要当时，定义定积分的概念及其性质1、定积分的概念极限存在，则称函数在区间上是可积的。并称次限值为函数在

上的定积分。记作2、定积分存在的两个充分条件定理1设函数在区间上的连续,则在区间

上可积。

定理2设函数

在区间

上有界,且只有有限个第一类间断点，则

在区间上可积。定积分的概念及其性质3、定积分的几何意义(1)、若则(2)、若则定积分的概念及其性质3、定积分的几何意义(3)、若函数在区间上有正有负，则定积分的概念及性质3、定积分的几何意义利用定积分的几何意义，计算：例3解：(1)、如图oxy1(1,3)1S（1）定积分的概念及性质3、定积分的几何意义解：(2)、oxy11S（2）如图定积分的概念及性质

法则1常数因子可以提到积分号外.即法则2两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即

法则3对任意的点c,若函数在区间

上均可积，则有(积分区间的可加性)4、定积分的计算法则定积分的概念及性质5、定积分的性质

性质1(保号性)若函数

与在区间上总满足条件则有例1比较下列各题中两个积分值的大小与与定积分的计算法则与性质5、定积分的性质与解：与定积分的概念及性质5、定积分的性质推论1则推论2若函数在区间

上可积，且若函数在区间

上可积，则

性质2(估值定理)若函数

在区间上的最大值与最小值分别为

与

，则定积分的概念及性质5、定积分的性质试估计定积分值的范围。解：令在区间上是增函数例2定积分的概念及性质5、定积分的性质

性质3(微分中值定理)一点使得若函数在区间

上连续，则至少存在注意定积分的概念及性质定积分的基本定理1、变上限定积分定义定义设函数在区间上连续，对于任意的在区间

上也连续，故函数在区间

上也可积，则定积分的值依赖于上限,该定积分是定义在上的

函数,称为变上限定积分.为了区别起见我们把积分变量用字母表示,

积分上限函数(变上限定积分)即：yxoabx定积分的基本定理2、变上限定积分函数的重要性质若函数

在区间

上连续，则变上限积分函数在区间上具有导数，且它的导数是3、

原函数存在定理若函数

在区间上连续，则积分上限的函数

就是在区间上的一个原函数.定积分的基本定理5、变上限定积分求导例题求下列函数的导数例1解：定积分的基本定理6、牛顿—莱布尼茨公式若函数在区间

上连续，是在上的一个原函数，则例1：计算下列定积分解：定积分的基本定理定积分的基本定理案例应用定积分的计算方法1、换元积分法若函数在区间

上连续，在上连续可微，且满足则有定积分换元公式：例1：计算定积分定理定积分的计算解：令，则当时，则当时，，有：原式令，则当时，则当时，，有：原式定积分的计算2、分部积分法设函数

为上连续可微函数，则有定积分分布积分公式：求下列函数的定积分例2上述公式还可以写为：定理定积分的计算解：令有定积分的计算3、奇偶函数的定积分的简化计算定理若函数在区间上连续，则为奇函数为偶函数求下列函数的定积分例3定积分的计算解：(1)因为函数是奇函数，且积分区间对称，有广义积分1、无穷区间上的广义积分设函数在区间

上连续，对任意的，将极限称为在上的广义积分，若极限存在，则称广义积分收敛；定义前面介绍的定积分的区间都是有限区间，且被积函数在积分区间上都是有界。但实际问题中还会遇到无穷区间上的积分或者被积函数是无界的积分问题，这类积分称为广义积分，也把前面介绍的定积分称为常义积分。记为，即若极限不存在，则称广义积分发散。广义积分1、无穷区间上的广义积分类似地，设函数在区间

上的广义积分定义为：设函数在区间

上的广义积分定义为：上述三种广义积分统称为无穷区间上的广义积分，简称为无穷积分。第四节广义积分2、无穷积分的计算若F(x)是f(x)的一个原函数，并记则上述三种无穷积分利用牛顿—莱布尼茨公式可表示为广义积分2、无穷积分的计算例1

求解解总需求量为：例2

某产品的需求函数，计算当价格从10变化到，总的需求量为多少？若，且，广义积分3、无穷函数的广义积分设函数在区间

上连续，且.称为在上的广义积分，若极限存在，则称收敛；定义记为若极限不存在，则称发散。取

，将极限，类似地，广义积分为：若，广义积分为：无界函数的广义积分又称为瑕积分.广义积分4、瑕积分的计算例3计算瑕积分解经判断：，所以只在上连续，那么广义积分4、瑕积分的计算例4讨论瑕积分的敛散性。解可知，是被积函数的无穷间断点，则有：瑕积分是发散的。定积分的简单应用1、直角坐标系中平面图形的面积（1）由一条曲线直线及轴围成的面积。定积分的简单应用1、直角坐标系中平面图形的面积和直线围成的.（2）平面图形是由两条曲线oxyAabAoxyba记面积为：（上—下）定积分的简单应用1、直角坐标系中平面图形的面积（3）由一条曲线直线及轴围成面积：(4)由曲线及直线围成的面积为：（右—左）定积分的简单应用1、直角坐标系中平面图形的面积例1求出抛物线与直线

所围成的平面图形的面积.解作草图，如图，求抛物线与直线的交点，即解方程组得交点A(2,-2)和B(8,4).xAB-24yy=x-4y2

=2x(8,4)(2,-2)定积分的简单应用2、旋转体的体积这条直线叫做旋转轴.

旋转体就是由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体圆柱圆锥圆台定积分的简单应用2、旋转体的体积（1）由连续曲线直线所围成的图形，所成旋转体的体积。xyo绕轴旋转一周，定积分的简单应用2、旋转体的体积（2）由连续曲线直线