2023-2024学年山东省青岛重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省青岛重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线2x−my+1=0在y轴上的截距为14，则该直线的斜率为(

)A.−12 B.−2 C.2 2.已知椭圆x23+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，若过F1且斜率不为0的直线交椭圆于A.2 B.23 C.4 3.已知点P(2,0)，点Q在圆x2+y2=1上运动，则线段PQ的中点A.(x−1)2+y2=1 B.x4.点P(2,−1)为圆(x−1)2+y2=25的弦ABA.x+y−1=0 B.2x+y−3=0 C.x−y−3=0 D.2x−y−5=05.若圆(x−3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x−3y−2=0A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6]6.已知圆C：x2+y2=1，直线l：x=2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线A.(12,0) B.(0,2) C.(2,1)7.我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(−1,0)和B(2,1)，且该平面内的点P满足|PA|=2|PB|，若点P的轨迹关于直线mx+ny−2=0(m,n>0)对称，则2mA.10 B.20 C.30 D.408.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若从椭圆右焦点F2A.12 B.22 C.9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2−8x+15=0，若直线y=kx−2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则A.23 B.43 C.2 10.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，若椭圆A.(13,23) B.(二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）11.圆O1：x2+y2−2x=0和圆O2：x2+yA.公共弦AB所在直线方程为x−y=0

B.线段AB中垂线方程为x+y−1=0

C.公共弦AB的长为22

D.P为圆O1上一动点，则P到直线12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点PA.椭圆C的圆心率为12

B.△PF2F1的周长为4

C.若∠F2PF113.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则(

)

A.椭圆的长轴长为42 B.线段AB长度的取值范围是[4,2+22]

C.△ABF面积的最小值是414.已知曲线C：x2+y2=2|x|+2|y|，则曲线A.关于x轴对称 B.曲线C上的点到原点距离最大值为2

C.关于原点对称 D.所围成图形的面积为8+8π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）15.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点为(0,−4)，则16.已知点A(2,3)，B(−5,2)，若直线l：kx−y+k+6=0与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围为______．17.若直线y=x+b与曲线x=1−y2恰有一个公共点，则实数b18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆C在第一象限存在点M，使得|MF1|=|F1四、解答题（本大题共4小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题12.0分)

已知圆C的圆心为C(1,2)，半径为1，点A(4,1)．

(Ⅰ)写出圆C的标准方程，并判断点A与圆C的位置关系；

(Ⅱ)若一条光线从点A射出，经x轴反射后，反射光线经过圆心C，求入射光线所在直线的方程．20.(本小题12.0分)

已知圆C的圆心在直线x−2y=0上，且与y轴相切于点(0,1)．

(Ⅰ)求圆C的方程；

(Ⅱ)若圆C与直线l：x−y+m=0交于A，B两点，_____，求m的值．

从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB=120°；条件②：|AB|=2321.(本小题12.0分)

已知椭圆C的两个焦点分别为F1(0,−3),F2(0,3)，且椭圆C过点M(32,1)．

22.(本小题14.0分)

已知动点M(x,y)与点F(1,0)的距离和它到直线x=4的距离之比是12，点M的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程；

(2)若点A，B，D，E在C上，且AB=2DE，AD与BE交于点P，点P在椭圆x212+答案和解析1.【答案】D

【解析】解：令x=0，得y=1m，由1m=14，得m=4，

故该直线的斜率为2m=12．

故选：D．2.【答案】D

【解析】解：在椭圆x23+y2=1中，a=3，

所以△ABF2的周长为|AB|+|AF3.【答案】C

【解析】解：由题意，P(2,0)，

在圆x2+y2=1中，点Q在圆上，线段PQ的中点为M，

设M(x,y)，则Q(2x−2,2y)，

∴(2x−2)2+(2y)2=1，即：4(x−1)2+4y2=14.【答案】C

【解析】【分析】本题给出圆的方程，求圆以某点为中点的弦所在直线方程，着重考查了直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．

由垂径定理得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式即可得到直线AB的方程．【解答】

解：∵AB是圆(x−1)2+y2=25的弦，圆心为C(1,0)，

又AB的中点是P(2,−1)，

所以AB⊥CP，

因此，AB的斜率k=−1kCP=−10+11−25.【答案】A

【解析】解：依题意可知圆心坐标为(3,−5)，到直线的距离是5，

与直线4x−3y−2=0距离是1的直线有两个4x−3y−7=0和4x−3y+3=0，

圆心到4x−3y−7=0距离为|12+15−7|16+9=4到4x−3y+3=0距离是|12+15+3|16+9=6．

如果圆与4x−3y+3=0相交，那么圆也肯定与4x−3y−7=0相交，

交点个数多于两个，于是圆上点到4x−3y−2=0的距离等于1的点不止两个，

所以圆与4x−3y+3=0不相交，

如果圆与4x−3y−7=0的距离小于等于1，那么圆与4x−3y−7=0和4x−3y+3=0交点个数和至多为1个，

所以圆只能与4x−3y−7=0相交，与4x−3y+3=0相离，

所以4<r<6．

故选：A．

先根据圆的方程求得圆心坐标和圆心到已知直线的距离，进而可推断出与直线4x−3y−2=0距离是1的两个直线方程，分别求得圆心到这两直线的距离，分析如果与4x−3y+3=0相交那么圆也肯定与4x−3y−7=0相交交点个数多于两个，则到直线4x−3y−2=0的距离等于1的点不止2个，进而推断出圆与4x−3y+3=0不相交；同时如果圆与4x−3y−7=0的距离小于等于1那么圆与4x−3y−7=0和4x−3y+3=0交点个数和至多为1个也不符合题意，最后综合可知圆只能与4x−3y−7=0相交，与6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及两圆公共弦的方程的性质，属于中档题．

根据题意，设P(2,t)，求出以线段PC为直径的圆N的方程，与圆C的方程联立，可得两圆公共弦AB的方程，分析可得答案．【解答】

解：根据题意，因为P为直线l：x=2上的动点，设P(2,t)，

圆C：x2+y2=1，其圆心C的坐标为(0,0)，半径为1，PA、PB为圆C的切线，

则以线段PC为直径的圆N的方程为x2+y2−2x−ty=0，

则有x2+y2=1x2+y2−2x−ty=07.【答案】B

【解析】解：设点P的坐标为(x,y)，

因为|PA|=2|PB|，

则|PA|2=2|PB|2，

即(x+1)2+y2=2[(x−2)2+(y−1)2]，

所以点P的轨迹方程为(x−5)2+(y−2)2=20，

因为P点的轨迹关于直线mx+ny−2=0(m>0,n>0)对称，

所以圆心(5,2)在此直线上，

即5m+2n=2，

所以2m+58.【答案】D

【解析】解：连接AF1，BF1，由题意可知A，D，F1三点共线，B，C，F1三点共线，

在△ABF1中，因为AB⊥AD，且cos∠ABC=35，可得cos∠ABF1=35，sin∠ABF1=45，

tan∠ABF1=43=|AF1||AB|，

设|AF1|=4k，|AB|=3k，可得|BF1|=5k，

由椭圆的定义可知|BF2|=2a−|BF1|=2a−5k，|AF2|=|AB|−|BF2|=3k−(2a−5k)=8k−2a，

又因为|AF1|+|AF2|=2a，即4k+8k−2a=2a，解得k=a3，9.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，数型结合思想，是基础题．

设圆心C(4,0)到直线y=kx−2的距离为d，由题意得d=|4k−2|1+k2≤2，从而可以得到k的最大值．

【解答】

解：∵圆C的方程为x2+y2−8x+15=0，整理得：(x−4)2+y2=1，

即圆C是以(4,0)为圆心，1为半径的圆．

设圆心C(4,0)到直线y=kx−2的距离为d，

直线y=kx−2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，

10.【答案】D

【解析】解：

①当点P与短轴的顶点重合时，

△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，

此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；

②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，

以F2P作为等腰三角形的底边为例，

∵F1F2=F1P，

∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上

因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，

存在2个满足条件的等腰△F1F2P，

在△F1F2P1中，F1F2+PF1>PF2，即2c+2c>2a−2c，

由此得知3c>a.所以离心率e>13．

当e=12时，△11.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，考查垂径定理以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．

两圆的方程作差即可求出公共弦所在的直线方程，即可判断选项A；由两圆圆心坐标，求出线段AB的中垂线的方程，即可判断选项B；求出圆心O1到直线AB的距离d，d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公共弦长，即可判断选项【解答】

解：圆O1：x2+y2−2x=0，圆心O1(1,0)，半径r1=1，

圆O2：x2+y2+2x−4y=0，圆心O2(−1,2)，半径r2=5，

∵圆O1和圆O2的交点为A，B，∴圆O1与圆O2公共弦AB所在的直线方程为x−y=0，故A正确；

∵O1O2所在直线斜率为−1，

∴线段AB的中垂线的方程为y−0=−(x−1)，即x+y−1=0，故B正确；

圆心O12.【答案】ACD

【解析】解：对A，由题意a+c=3，a−c=1，故a=2，c=1，离心率为ca=12，故A正确；

对B，△PF2F1的周长为2a+2c=6，故B错误；

对C，若∠F2PF1=90°，则|F2F1|2=|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2−2|PF1|⋅|PF2|，

即(2c)13.【答案】ABD

【解析】解：由题知，椭圆中的几何量b=c=2，得a=22，则2a=42，A正确；

AB=OB+OA=2+OA，由椭圆性质可知2≤OA≤22，所以4≤AB≤2+22，B正确；

记∠AOF=θ，则S△ABF=S△AOF+S△OBF=12OA⋅OFsinθ+12OB⋅OFsin(π−θ)=OAsinθ+2sinθ=(OA+2)sinθ，

取θ=π6，则S△ABF=1+12OA≤1+12×22<4,C错误；

由椭圆定义知，14.【答案】AC

【解析】解：设(x,y)是曲线上任意一点，由于曲线方程为x2+y2=2|x|+2|y|，

所以(x,y)，(x,−y)，(−x,y)，(−x,−y)都满足曲线方程，

所以曲线C的图形满足关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称，故AC选项正确．

当x>0，y>0时，曲线方程为x2+y2=2x+2y，即(x−1)2+(y−1)2=2，

是圆心为(1,1)，半径为2的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示，

阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，

曲线上的点到原点距离最大值即为2+2=22，故C选项错误；

其面积为12×2×2+12×π×(2)15.【答案】132【解析】解：易知k≠0，方程2kx2+ky2=1变形为y21k+x212k=1，

因为焦点在y轴上，所以1k−12k=16，解得k=116.【答案】[π【解析】解：直线l：kx−y+k+6=0，即y−6=k(x+1)，

令x+1=0y−6=0，解得x=−1y=6，

故直线经过定点M(−1,6)，

∵点A(2,3)，B(−5,2)，M(−1,6)，

∴MA的斜率为6−3−1−2=−1，MB的斜率为6−2−1−(−5)=1，

由直线l与线段AB相交，

故直线l的斜率的取值范围为k≤−1或k≥1，

设直线的倾斜角为α，则k=tanα，

画出y=tanx，x∈[0,π)的图像如图所示，

tanπ4=1，tan3π4=−1，观察图像可知，当k≤−1或k≥1时，直线倾斜角的取值范围为17.【答案】−【解析】【分析】

曲线x=1−y2

表示以原点O(0,0)为圆心、半径等于1的半圆，数形结合求得当直线y=x+b与曲线x=1−y2恰有一个公共点，求出实数b的取值范围．

本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．

【解答】

解：曲线x=1−y2

即x2+y2=1 (x≥0)，表示以原点O(0,0)为圆心、半径等于1的半圆(位于y轴及y轴右侧的部分)，

如图：当直线经过点A(0,−1)时，求得b=−1；

当直线经过点C(0,1)时，求得b=1；

当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得|0−0+b|2=1，求得b=18.【答案】5【解析】解：由题意得|F1M|=|F1F2|=2c，

又由椭圆定义得|MF2|=2a−2c，

记∠MF1F2=θ，

则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，

则|AF2|=|AF1|=2a−2c，

所以|AM|=4c−2a，

故△MF1F219.【答案】解：(Ⅰ)圆C的标准方程为：(x−1)2+(y−2)2=1．

∵|AC|=(4−1)2+(1−2)2=10>1

∴点A在圆C的外部；

(Ⅱ)由题意可知入射光线所在的直线和反射光线所在的直线关于x轴对称，

∴圆心C(1,2)关于x轴的对称点【解析】(Ⅰ)直接由已知写出圆的标准方程，再由两点间的距离公式判断点A与圆C的位置关系；

(Ⅱ)由题意可知入射光线所在的直线和反射光线所在的直线关于x轴对称，可得圆心C(1,2)关于x轴的对称点C1(1,−2)在入射光线所在的直线上．再由A(4,1)，利用两点式即可求得入射光线所在直线的方程．20.【答案】解：(Ⅰ)设圆心坐标为C(a,b)，半径为r．

∵圆C的圆心在直线x−2y=0上，∴a=2b．

又圆C与y轴相切于点(0,1)，∴b=1，r=|a−0|．

∴圆C的圆心坐标为(2,1)，r=2．

则圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=4；

(Ⅱ)如果选择条件①，

∵∠ACB=120°，|CA|=|CB|=2，

∴圆心C到直线l的距离d=1．

则d=|2−1+m|1+1=1，解得m=2−1或−2−1．

如果