体几何空间点直线平面之间的位置关系理

第3节空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲展示]1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理.2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知识链条完善考点专项突破知识链条完善把散落的知识连起来知识梳理1.平面的基本性质及相关公(定)理互相平行m∥n相等或互补∠A=∠A′∠A+∠A′=π2.空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β交点个数000图形语言符号语言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l交点个数11无数个图形语言符号语言a,b是异面直线a⊂α交点个数0无数个3.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).锐角(或直角)【重要结论】1.公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.2.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.对点自测B解析:顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形,又因为空间四边形的两条对角线互相垂直,所以平行四边形的两邻边互相垂直,故顺次连接四边中点的四边形一定是矩形.1.空间四边形的两条对角线互相垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是()(A)空间四边形 (B)矩形(C)菱形 (D)正方形D解析:若三条线段共面,如果AB,BC,CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线.2.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(

)(A)AB∥CD(B)AB与CD异面(C)AB与CD相交(D)AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交C解析:连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,故∠D1B1C为所求角,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(

)(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:通过举实例说明,如三棱柱三个侧面所在平面满足两两相交,且三条交线互相平行,这三个平面将空间分为7部分.答案:74.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成

个部分.

解析:没有公共点的两直线平行或异面,故①错;如果与两异面直线中一条交于一点,则两直线相交,故命题②错;命题③,设两条异面直线为a,b,c∥a,若c∥b,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故c,b不可能平行,③正确;命题④正确,若c与两异面直线a,b都相交,a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面,这样a,b,c共确定两个平面.答案:①②5.下列命题中不正确的是

.(填序号)

①没有公共点的两条直线是异面直线;②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.考点专项突破在讲练中理解知识考点一平面的基本性质及应用【例1】如图所示,平面α∩平面β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,点C∉l,又AB∩l=R,设A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ是(

)(A)直线AC (B)直线BC(C)直线CR (D)以上均错解析:因为AB∩l=R,所以R∈l,R∈AB,又因为lβ,所以R∈β,又因为ABγ,所以R∈γ,所以R为平面β与γ的公共点,又C∈β,C∈γ,即C为平面β与γ的公共点,所以β∩γ=直线CR.故选C.确定两个平面的交线的关键是找出两个平面的两个公共点;若已知两平面的交线,则这两个平面的公共点必在交线上.反思归纳【跟踪训练1】

以下四个命题中,正确命题的个数是(

)①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①显然是正确的,可用反证法证明;②中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图显然b,c异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面.故只有①正确.故选B.考点二空间两条直线的位置关系【例2】(1)已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.其中所有正确的命题是(

)(A)①④ (B)②④ (C)① (D)④解析:(1)借助于长方体模型来解决本题,对于①,可以得到平面α,β互相垂直,如图(1)所示,故①正确;对于②,平面α,β可能垂直,如图(2)所示,故②不正确;对于③,平面α,β可能垂直,如图(3)所示,故③不正确;对于④,由m⊥α,α∥β可得m⊥β,因为n∥β,所以过n作平面γ,且γ∩β=g,如图(4)所示,所以n与交线g平行,因为m⊥g,所以m⊥n,故④正确.故选A.答案:(1)A(2)(2018·吴忠模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为

(注:把你认为正确的结论序号都填上).

解析:(2)因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故①错;取DD1中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE与AM相交,故②错;因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故③正确;同理④正确,故填③④.答案:(2)③④反思归纳(1)点、线、面之间的位置关系可以正方体或长方体为模型,以正方体或长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系,准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直.(2)异面直线的判定常用的是反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.【跟踪训练2】(1)若直线l1与l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()(A)l与l1,l2都不相交(B)l与l1,l2都相交(C)l至多与l1,l2中的一条相交(D)l至少与l1,l2中的一条相交解析:(1)可用反证法.假设l与l1,l2都不相交,因为l与l1都在平面α内,于是l∥l1,同理l∥l2,于是l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.故选D.(2)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则(

)(A)p是q的充分条件,但不是q的必要条件(B)p是q的必要条件,但不是q的充分条件(C)p是q的充分必要条件(D)p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件解析:(2)两直线异面,则两直线一定无交点,即两直线一定不相交;而两直线不相交,有可能是平行,不一定异面,故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件,故选A.反思归纳异面直线所成角的求解技巧求异面直线所成的角采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.其求解一般步骤为(1)平移:选择适当的点,线段的中点或端点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线;(2)证明:证明所作的角是异面直线所成的角;(3)寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之;(4)取舍:因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.备选例题【例1】(2018·清远模拟)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面的对数为

对.