粗糙扰动模糊集的性质

粗糙扰动模糊集的性质

关于扰动模糊集与粗糊集相结合的概念模糊集和原始集促进了处理不确定性和未知问题的经典集合。虽然他们的重点不同，但在描述和处理知识的不确定性方面有很强的互补性。因此，如果将这两个理论结合起来，可以显示出更强大的功能。在应用中,人们在决策时,有时很难用区间内的一个数简单的表示,也就是说经典模糊目标信息系统在应用上也存在着局限性.事实上,人们对事物的属性都有一个相对稳定的共性的认识,同时又因为认识主体的自身差异,如区域、文化等而产生了不同,反映在决策中就表现为决策方案上的扰动模糊集.将扰动模糊集与粗糙集相结合的研究基本就是一个空白.因此,在本文中,我们就着眼于将粗糙集理论与扰动模糊集理论相结合,提出了粗糙扰动模糊集的概念.粗糙度是一种经常应用于模糊集中的重要量度.文中,Pawlak给出了普通集合的粗糙度,而Batnerjee则在文中,给出了普通模糊集的粗糙度.文提出了与Banerjee不同的模糊集粗糙度的概念.本文主要是沿用Banerjee关于普通模糊集粗糙度的概念,主要研究扰动模糊集的粗糙度.§1主要是回忆了一些扰动模糊集和粗糙集的基本定义.§2则将扰动模糊集理论与粗糙集理论相结合,提出了粗糙扰动模糊集的概念.并针对文与文中,粗糙集和粗糙模糊集中都未解决的两个集合的上近似的交和两个集合的交的上近似(两个集合的下近似的并和两个集合的并的下近似并)不相等的情形,通过引进了粗糙扰动模糊集水平上(下)边界区域的概念,找到了等式关系.§3则本着以粗糙集理论研究扰动模糊集的思想,提出了扰动模糊集粗糙度的概念,并研究了基本性质,而且由于边界水平上(下)区域的概念的引进,在扰动粗糙模糊集粗糙度关系研究中,得到了比文关于普通模糊集粗糙度的更好的结果.可为[3.2]上近似单位闭区间记为I=,论域记为U={x1,x2,…,,xn}.若xi(i≤k)为U的子集,且满足,则称{Xi|i≤k}为U的一个划分.设R是U上的等价关系,则(U,R)为近似空间,这里U/R={[xi]R|xi∈U}是由(U,R)生成的等价类,且满足[xi]R={xj|(xi,xj)∈R}.,称(X)为X的上近似,(X)为X的下近似.若,称X为可定义的;否则,称X为粗糙集.上述定义都符合文中的经典定义,只是记法有些改动,而下文的定义则遵循文中的定义.扰动模糊集上下边界区的概念定义1(U,R)为近似空间,[x]R是包含x的等价类,,记众所周知,在普通粗糙集中,同一等价类中的对象是不可区分的.例1表明了对粗糙扰动模糊集而言,同一等价类中的对象的隶属函数是相同的,也就是说,它们是不可区分的,这反映出粗糙扰动模糊集定义的合理性.定理1扰动模糊集关于近似空间(U,R)的上、下近似具有下列性质:其中,.由定理1我们看到两个扰动模糊集的交的上近似和两个扰动模糊集的上近似的交(两个扰动模糊集的并的下近似和两个扰动模糊集的下近似的并)不相等,这个缺陷普遍存在于粗糙集理论中,因此我们下面通过引进扰动模糊集水平上(下)边界区域的概念,来解决这个问题.定义2(U,R)为近似空间,,记α},则称为的α-水平下边界区域.定义3(U,R)为近似空间,,记β},则称为的β-水平上边界区域.定义4(U,R)为近似空间,,定义这样我们就证明了.扰动模糊集的性质在文中,Pawlαk给出了普通集合的粗糙度,这里|*|表示集合的模.由定义1知,扰动模糊集上、下近似仍然是一对扰动模糊集.截集是将模糊集转化为普通集合的最有效手段,因此,我们也如文中的方法一样,利用扰动模糊集的截集来研究扰动模糊集的粗糙度.定义5(U,R)为近似空间,,定义由定理1,定理2和截集的相关性质,得到下面的定理:定理3(U,R)为近似空间且,则定义6设(U,R)为近似空间,,则U上的扰动模糊集依参数α,β的粗糙度为:.注2(1).(2)若β固定,则随α的增加而增加;若α固定,则随β的增加而减少.(3)若扰动模糊集在(U,R)的每个等价类中的隶属函数都是恒等的且α=β,则,即,.性质1若扰动模糊集的隶属函数是恒等的,即,,则只有当β<γ<α时,或当β<γ且U(α,y),;否则,.综上所述,我们有.性质3若则.推论1时,若β≤(1/2,1/2),则;若α≤(1/2,1/2),则.证若β≤(1/2,1/2),则,根据性质2,;若α≤(1/2,1/2),则.定义7是粗相等的当且仅当.性质4若是粗相等的,则.在文中,Banerjee给出了一个关于模糊集交的粗糙度和模糊集并的粗糙度之间的不等式关系,我们可以证明这个不等式对于扰动模糊集粗糙度一样成立.进一步地,我们还可以得到如下的等式:定理4,则.证由定理3,得到.由扰动模糊集粗糙度的定义,有任意有限集合X,Y,有|X∪Y|=|X|+|Y|-|X∩Y|成立,于是得到根据的定义,知道,于是最后,我们讨论U上划分的粗细变化将如何影响扰动模糊集的粗糙度.定义8设S是U上的等价类,分别为在(U,R),(U,S)中关于参数α,β的粗糙度.定理5若,则证,因此(1),则.类似可证.(2),则,由(1),,即,,这样,我们就证明了类似可证.定理6若,则.定理6表明划分越细,粗糙度越小,精确度越高,这就证明了扰动模糊集粗糙度定义的正确性-------本文将粗糙集理论与扰动模糊集理论相结合,提出了粗糙扰动模糊集的概念,并利用粗糙集中粗糙度的理论研究了扰动模糊集.本文中引进的关于扰动模糊集水平上(下)区域的概念,很好的解决了粗糙集理论中普遍存在的两个集合的上近似的交和两个集合的交的上近似(两个集合的下近似的并和两个集合的并的下近似并)不相等的缺陷.本文中关于粗糙扰动模糊集水平上(下)区域的概念和相应结果对模糊集、直觉模糊集与区间值模糊集同样适用.另外,本文的粗糙度理论可应用于模式识别与数据挖掘之中.若α,β∈Ω不具备上述关系,则称为是不可比的,记作U(α,β).显然,在(Ω,≤)下,=(0,1)是Ω上的最小元,而是Ω上的最大元.映射称为扰动模糊集.U上的所有扰动模糊集记为其中,若;否则,分别称为扰动模糊集关于(U,R)的上、下近似.若,则为定义的;否则,称为粗糙扰动模糊集.例1(U,R)为近似空间,U/R={{x1,x2},{x3,X4,x5}}是U={x1,x2,x3,x4,x5}上的等价