2021年上海市宝山区中考数学三模试卷（附详解）

2021年上海市宝山区中考数学三模试卷

1.下列计算正确的是（）

A.（2a）2=2a2B.a64-a3=a3

C.a3-a2=a6D.3a2+2a3=5as

2.下列方程有实数根的是（）

A.—x-l=0B.=-2

C.x2—x+1=0D.2x2+x-l=0

3.如果函数y=3x+m的图象一定经过第二象限，那么，”的取值范围是（）

A.Tn>0B.m>0C.m<0D.772<0

4.如图，反映的是某中学九（1）班学生外出乘车、步行、骑车人

数的扇形分布图，其中乘车的学生有20人，骑车的学生有12

人，那么下列说法正确的是（）

A.九（1）班外出的学生共有42人

B.九（1）班外出步行的学生有8人

C.在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82。

D.如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约

有140人

5.一个正多边形绕它的中心旋转45。后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多

边形（）

A,是轴对称图形，但不是中心对称图形

B.是中心对称图形，但不是轴对称图形

C.既是轴对称图形，又是中心对称图形

D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

6.下列命题中正确的是（）

A.对角线相等的梯形是等腰梯形

B.有两个角相等的梯形是等腰梯形

C.一组对边平行的四边形一定是梯形

D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形

7.计算：92=•

8.在实数范围内分解因式：a3-9a2=.

化简：--.

9.XX+1

10.函数y=\4-2%的定义域是.

11.已知：反比例函数y=§的图象经过点4（2,-3）,那么k=.

12.将一次函数y=：x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位，那么平移后所得图象的

函数解析式为.

13.一布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么

从这个布袋里摸出一个黄球的概率为.

14.如果一组数a,2,4,0,5的中位数是4,那么a可以是（只需写出一个满

足要求的数）.

15.已知：在平行四边形A8CZ）中，设荏=落AD=b，那么石？=（用向量方、

加的式子表示）.

16.在四边形A8CQ中，8。是对角线，4ABD="DB,要使四边形ABCD是平行四

边形只须添加一个条件，这个条件可以是（只需写出一种情况）.

17.某中学组织九年级学生春游，有，〃名师生租用45座的大客车若干辆，共有2个空

座位，那么租用大客车的辆数是（用机的代数式表示）.

18.在Rt△ABC中，4c=90。，AC=3,以点4为圆心，1为半径作。4,将04绕着

点C顺时针旋转，设旋转角为a（0<a<90。），若与直线BC相切，则Na的余

弦值为.

19.先化简，再求值：（击+专）+筌热，其中x=2+B.

3x2—y2—y+3=0①

20.解方程组:

2x—y=1@

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21.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD=5,对角线BD平分/ABC,cosC=1

(1)求边BC的长;

(2)过点A作AE1BD,垂足为点E,求cotN/ME的值.

22.某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全

部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租.设每间

客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间.求：

(l)y关于x的函数关系式；

(2)如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？

23.如图，已知在△力BC中，NBAC=90。，AB=AC,点。在边BC上，以为边作

正方形AOEF,联结CF,CE.

(1)求证：FC1BC；

(2)如果BD=AC,求证：CD=CE.

24.如图，在直角坐标平面尤。)，内，点4在x轴的正半轴上，点8在第一象限内，且

N04B=90。，^BOA=30°,OB=4.二次函数y=-x2+bx的图象经过点A,顶点

为点C.

(1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；

(2)设这个二次函数图象的对称轴/与。8相交于点。，与x轴相交于点E,求器的

值；

(3)设P是这个二次函数图象的对称轴/上一点，如果△P04的面积与4OCE的面积

相等，求点尸的坐标.

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25.已知：如图，△力BC为等边三角形，AB=4V3.AH1BC,垂足为点“，点。在

线段HC上，且"0=2,点尸为射线A”上任意一点，以点P为圆心，线段PQ的

长为半径作OP,设4P=

(1)当x=3时，求OP的半径长；

(2)如图1,如果。P与线段4B相交于E、F两点，且EF=y,求)，关于x的函数

解析式，并写出它的定义域；

(3)如果△PHD与44BH相似，求x的值(直接写出答案即可).

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A、（2a）2=4a2,故本选项错误.

B、a6a3=a3,故本选项正确.

C、a3-a2=a5,故本选项错误.

D、3a2与2a3,不能合并同类项故本选项错误.

故选：B.

根据同底数塞的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不

变；同底数幕的乘法，底数不变指数相加；幕的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计

算后利用排除法求解.

本题考查同底数基的除法，合并同类项，同底数幕的乘法，幕的乘方很容易混淆，一定

要记准法则才能做题.

2.【答案】D

【解析】解：人分式方程卫=0,

X-1

去分母得：X2+2=0

x2>0,

二原方程无解；

B、•••Vx-1>0

二无理方程无解；

C、X2—x+1=0中炉—4ac=1—4=—3<0

x2-x+1=0无实数根；

D、•：2x2+x-1=0中炉—4ac=1+8=9>0,

此方程有实数根，

故选。.

根据分式方程和无理方程的解法如果能求得方程的解说明方程有实数解，一元二次方程

有实数根只需得到其根的判别式为非负数.

本题考查了根的判别式，当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时方程有两

个相等的实数根；当△<（）时，方程无实数根.

3.【答案】3

【解析】解：根据题意得：m>0,

故选4.

图象一定经过第二象限，则函数一定与y轴的正半轴相交，因而m>0.

本题主要考查了一次函数的性质，结合坐标系以及函数的图象理解函数的性质是关键.

4.【答案】B

【解析】解：由扇形图知乘车的人数是20人，占总人数的50%,所以九(1)班有20+

50%=40人，

所以骑车的占12+40=30%,步行人数=40-12-20=8人，

所占的圆心角度数为360。x20%=72°,

如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有150人.

故选：B.

先求出九(1)班的总人数，再求出步行的人数，进而求出步行人数所占的圆心角度数，

最后即可作出判断.

本题主要考查扇形统计图及用样本估计总体等知识.统计的思想就是用样本的信息来估

计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体的知识.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题综合考查了旋转对称图形的概念，中心对称图形和轴对称图形的定义.根据定义，

得一个正〃边形只要旋转些的倍数角即可.奇数边的正多边形只是轴对称图形，偶数

n

边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.

先根据旋转对称图形的定义得出这个正多边形是正八边形、再根据轴对称图形和中心对

称图形的定义即可解答.

【解答】

解：•••一个正多边形绕着它的中心旋转45。后，能与原正多边形重合，

360°+45°=8,

•••这个正多边形是正八边形.

正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.

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故选c.

6.【答案】A

【解析】解：人对角线相等的梯形是等腰梯形，由全等三角形的判定与性质可证明出

是等腰梯形，故本选项正确；

8、有两个角相等的梯形是等腰梯形，根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中

有两个角相等为90度，但不是等腰梯形，故本选项错误；

C、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为没说明另一组对边的关系，有可能

也平行，那么就有可能是平行四边形，故本选项错误；

。、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不

能说一定是等腰梯形.

故本选项错误；

故选人

根据等腰梯形的判定定理对各个选项逐一分析即可.

此题主要考查学生对等腰梯形的判定这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于基

础题，学生应熟练掌握才行.

7.【答案】3

【解析】解：根据题意：9I=A/9=3.

故答案为：3.

91=79.即是求9的算术平方根.

本题考查算术平方根的知识，属于基础题，注意掌握算术平方根伤是非负数，是常考

的i个知识点.

8.【答案】a2(a-9)

【解析】解:a3—9a2=a2(a—9).

故答案为:a2(a—9).

按照因式分解的定义，提取公因式即可求解.

本题考查的是实数范围内分解因式，通常按照因式分解的定义，提取公因式即可.

9.【答案】为

【解析】解：原式萧一高

A1兄TAJX,I兀TXJ

_x+1-x

x(x+l)

1

x(x+l)

_1

=X2+Xt

根据分式加减的运算法则，将分式通分、化简即可.

本题考查了分式的加减运算.解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式.

10.【答案】XS2

【解析】解：根据题意得：4—2x20,

解得x<2.

故答案为x42.

根据二次根式的意义，被开方数是非负数可：4-2x20,求解即可.

本题考查了函数自变量取值范围的求法.要使得本题函数式子有意义，必须满足被开方

数非负.

11.【答案】一6

【解析】解：根据题意，得

k

-3Q=

解得，k=—6.

故答案为-6.

根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点4(2,-3)代入反比例函数y=：,然后解关于

k的方程即可.

本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式.解题时，借用了反比例函数图象上点

的坐标特征(经过函数的某点一定在函数的图象上)这一知识点.

12.【答案】y=\x-2

【解析】解：将一次函数y=：x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位所得函数解析式

为：y—~x+3—5,

即y=—2.

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故答案为：y=1x-2.

根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

13.【答案W

【解析】解：••・布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，

二P（摸到黄球）=—］

4+b+o5

故答案为：

由于每个球被摸到的机会是均等的，故可用概率公式解答.

此题考查了概率公式，要明确：如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件A的基

本事件有。个，不构成事件4的事件有匕个，则出现事件A的概率为：P（A）=捻.

14.【答案】4（所填答案满足a24即可）

【解析】解：•.・这组数据有5个数，且中位数是4,

1•.4必须在5个数从小到大排列的正中间，

即这组数据的重新排列是0,2,4,a,5或0,2,4,5,a,

a>4或a>5,

故答案是4（答案不唯一）.

由于一共5个数，4一定排在第3个才能是中位数，所以a可以在第4个或第5个，从

而确定。的取值即可.

本题考查了中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最

中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.

15.［答案］—b—a

【解析】解：•.•四边形A8CZ）是平行四边形,

.-.AD//BC,AD=BC,

BC-AD-b>

1■•AB=a<

.1.BA=—a,CB=—b>

CA=CB+BA=-b—a-

故答案为：—b—五.

由在平行四边形ABC。中，可得近=而=3,即可得瓦？=一市CB=-b，又由方=

CB+BA，即可求得答案.

此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质.此题难度不大，注意数形结合思想的

应用.

16.【答案】AB=CD或AD//BC

【解析】解：：Z-ABD=乙CDB,：.AB//CD,

要使四边形ABC。是平行四边形，可添AB=CD,

根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可使四边形ABC。是平行四边形；

或添40〃BC,根据由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可使四边形A8C。是

平行四边形.

本题考查平行四边形的判定，是基础题.

利用平行四边形的判定即可寻找出添加的条件和所得的结论.

17.【答案】若

45

【解析】解：共有2个空座位，那么一共可以坐(m+2)人，

••・租用大客车的辆数是若，

45

故答案为：嚏.

45

让汽车上一共可坐的人数除以每辆汽车可坐的人数即为租用大客车的辆数.

考查列代数式；得到租用大客车的辆数的等量关系是解决本题的关键.

18.【答案】I

【解析】解：设将。A绕着点C顺时针旋转，点A至点4时，。力'与

直线8C相切相切于点。，连接4D,

则NADC=90。，A'D=1,

由旋转的性质可知，CA'=CA=3,

•••cos/.CA'D———

AfC3

r

-AC//ADf

a=Z.CA'D，

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.1.4a的余弦值为右

故答案为：

根据切线的性质得到NADC=90。，根据旋转变换的性质得到C4=C4=3,根据余弦

的定义计算，得到答案.

本题考查的是切线的性质、旋转变换的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直

于经过切点的半径是解题的关键.

3%+2。(4+2)

19.【答案】解:原式=

(%+2)(%-2)3X+2

x

X-2

当”=2+遍时，原式=浅=等=等.

【解析】首先对括号内的分式进行通分，计算分式的加减，然后把除法转化成乘法，然

后计算分式的乘法即可化简，然后代入数值进行计算即可求解.

本题考查了分式的混合运算，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的

先因式分解；除法要统一为乘法运算.

20.【答案】解：由②得y=2%-1.③（1分）

把代入得3——（2x—1）2—（2%—1）+3=0.

整理后，得/一2%-3=0.（2分）

解得%1=-1,x2=3.（2分）

把%1=-1代入③，得力=-3.（2分）

把%2=3代入③，得=5.（2分）

所以，原方程组的解是后;二;{;二:（1分）

【解析】先由②得到关于y,并代入①，从而求得.

本题考查了高次方程的运算，从②得到关于y并代入①，解方程从而得到两组解.

21.【答案】解：（1）过点。作DH1BC,垂足为

点、H.

在Rt△CDH中,由NCHD=90°,CD=5,cosC=

4

得CH=CD-cosC=5x(=4.(1分)

•・•对角线8。平分乙4BC,

:.乙48D=NC8D（1分）

-AD//BC,

:.Z.ADB=Z-DBC.

・•・乙ABD=即得4。=AB=5.（2分）

于是，由等腰梯形A8CO,可知8。=4。+2。"=13.（1分）

（2）-AE1BD,DH1BC,

:.乙BHD=Z-AED=90°.

vZ.ADB=乙DBC,

・・・Z,DAE=4分）

在Rt△COH中，DH=y/CD2-CH2=V52-42=3.（1分）

在Rt△BDH中，BH=BC-CH=13-4=9.（1分）

・•・cot/BOH=霏=：=:（1分）

COIZ.DAE=cotz.BDH=j（1分）

【解析】（1）过点。作DH_LBC,垂足为点H.在山△CDH中，由cosC=£可求得C”，

再根据对角线和平行线，得乙4BD=乙4DB.则力D=AB=5.即可求出BC-,

（2）在Rt/iCDH中，可求得。H,进而得出BH,将角NZME转化成NBDH,即可得出答

案.

本题考查了等腰梯形的性质、勾股定理以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握.

22.【答案】解：（1）设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，

根据题意，得：

y=200-4x—,

J10

2

y——~x4-200.

（2）设每间客房每天的定价增加x元

根据题意，M（180+X）（-|X+200）=38400.

整理后，f#x2-320%+6000=0.

解得匕=20,g=300.（2分）

第14页，共18页

当久=20时，x+180=200（元）.

当x=300时，x+180=480（元）.

答：这天的每间客房的价格是200元或480元.

【解析】（1）设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，根据某宾馆有客

房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每

间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租可列出函数式.

（2）38400是利润，根据价格和住房的关系可列方程求出解

本题考查理解题意的能力，关键知道涨价和住房的关系，表示出关系，根据利润做为等

量关系可列方程求解.

23.【答案】证明：（1），.•四边形AOEF是正方形，

•••AD=AF,乙FAD=90°=^BAC,

**•乙FAD-Z.DAC=Z.BAC-Z-DAC,

:.Z-FAC=Z.BAD1

在△48。和△ACF中

AB=AC

乙BAD=Z.CAF,

AD=AF

:.乙B=Z-FCA,

vZ.BAC=90°,

・•・乙B+Z.ACB=90°,

・•・乙ACB+乙ACF=90°,

・•・FC1BC.

（2）•.•△48。三

・・・BD=CF,

-BD=AC,

•t•AC=CF,

:.Z.CAF=Z.CFAf

•・•四边形AOE尸是正方形，

・•・AD=EF,/-DAF="FA=90°,

：•A.DAF-Z.CAF=Z-EFA-Z.CFA,

•.Z-DAC=4EFC,

在△/)4c和△EFC中

AD=EF

Z-DAC=乙EFC,

AC=FC

••.△DAC三△EFC(SAS),

-CD=CE.

【解析】本题考查了正方形的定义，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质的

应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力.

(1)根据正方形的性质得出=AF,4FAD=90°=4BAC,求出NFAC=ABAD,证出

^ABD^^ACF,推出NB=4FCA即可；

(2)根据△480三△4CF,推出BO=CF=4C,求出4。4c=4EFC,根据SAS推出A

DAC三AEFC即可.

24.【答案】解：(1)vZ.0AB=90°,Z.BOA=30°,OB=4,

OA=OB-cos30°=2V3.

.••力(2百,0).(1分)

•.•二次函数y=-x2+bx的图象经过点A,

：.-(2V3)2+2同=0.

解得b=2V3.

二二次函数的解析式为y=-x2+26北(2分)

顶点C的坐标是(6,3).(1分)

(2)•••乙OAB=90°,Z.BOA=30°,OB=4,

AB=2.(1分)

由OE是二次函数y=-X2+26丫的图象的对称轴，

可知IDE〃/IB,OE=AE.

••滞=需=押得DE=L(1分)

XvC(V3,3).•■CE=3.

即得CD=2.(1分)

(3)根据题意，可设P(g,n).

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VOE=^0A=V3,CE=3,

•••SA0CE=RE-CE=|g.（l分）

•••SXPOA=件•PE=。x2V3|n|=苧.

解得n=±|.（l分）

・・•点P的坐标为A（旧,|）、P2（V3,-1）.（2分）

【解析】（1）由N04B=90。，在直角三角形048中求得点4,代入函数式解得.

（2）直角三角形048中求得A8的长度，由抛物线的对称轴可知DE〃/IB,0E=4E.求

得DE,进而求得CD,从而求得.（3）利用三角形0CE和三角形P0A的面积相等即求

得.

本题考查了二次函数的综合运用，考查了直角三角形内的三角函数，抛物线过一点，即

代入求得；通过抛物线的对称轴来做题，方便快捷，这也考查了灵活的思维；通过面积

的求得，来求得点的做标，只是考查的手段，问题考查的思路.

25.【答案】解：⑴MABC为等边三角形，；.4B=AC=4g,ZB=60°.

又AB=4>/3>AH1BC,

•••AH=AB-sin/B=473x—=6.

2

即得PH=AH-AP=6-x=3.

在RtZiPHC中，HD=2,

利用勾股定理，得PD=y/PH2+DH2=V32+22=V13.

.•.当x=3时，OP的半径长为vn.

（2）过点P作PM_LEF,