2021年天津市南开中学高考数学模拟试卷（三模）附答案解析

2021年天津市南开中学高考数学模拟试卷（三模）

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）

1.己知集合4={x|x€Z|x2一%一240},B=则4nB=()

A.{-1,0,1}B.[0,1}

C.{-1,0,1,2}D.{x|-1<%<2]

2.8.下列命题为真命题的是

A.已知G,b&R,则“匕，《一是“G>0且的充分不必要条件

ab

B.已知数歹媵4分为等比数列，则“%〈%〈%”是的既不充分也不必要条件

C.已知两个平面3,B，若两条异面直线闭，方满足桁二G,不U,且?W//P,W〃3,则

a//P

D.3x0e（-®,O）,使3必<4%成立

3.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x20时，值域为[—2,3],则y=/（x）（xeR）的值域为（）

A.[-2,2]B.[-2,3]C.[—3,2]D.[—3,3]

4.如图反映了全国从2013年到2017年快递业务量及其增长速度的变化

情况，以下结论正确的是（）

A.快递业务量逐年减少，增长速度呈现上升趋势

B.快递业务量逐年减少，增长速度呈现下降趋势

C.快递业务量逐年增加，增长速度呈现上升趋势

D.快递业务量逐年增加，增长速度呈现下降趋势

5.设。=叵|,b=（叵]尸，c=R],则（）

A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

6.如图，三棱锥P-ABC中，P8J_平面48C,BC1CA,S.PB=BC=

2CA=2,则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（）

A.37r

B.97r

C.127r

D.36TT

7.已知抛物线/=2py和9—y2=1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的

切点）与抛物线的准线交于Q,尸（0,今，若四|PQ|=H|P用，则抛物线的方程是（）

8.函数y=-3sinx+4（%6[一兀,〃]）的一个单调递增区间为（）

A.[-]苧B.[0,n]C.'布D.

9.在△ABC中，若（4荏一而）_1.谓，则的最大值为（）

A.1B.|C-D.在

2552

二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）

10.若复数2=午。•是虚数单位），则复数2等于

11.已知（2-X）S=劭+%%++…+。5逆，则；：：：：：：：=.（用分数表示）

12.已知点P（x,y）在（x+2）2+y2=3上，求？的最小值.

13.甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为|,且各局胜负相互独立.设甲赢

的局数为6，则P（f=2）=,F（f）=,.

14.对于问题：“已知两个正数x,y满足x+y=2,求:+；的最小值”，给出如下一种解法：

••・x+y=2,.-.|+i=|(x+y)(i+i)=i(5+^+^)>

,*'%>0,y>0,*,•~4—N2号哆=4,二"；泞（5+4），

xy

y_4x

当且仅当工一y,即:时,：+；取最小值（

（无+y=2

参考上述解法，已知4B，C是ZMBC的三个内角，则打六的最小值为—

15.已知函数f(x)=仁jl°nV若方程/⑺=数一l(a>0)有且只有两个不相等的实数根,

则实数a的取值范围是.

三、解答题(本大题共5小题，共75.0分)

16.在,妙初1中，角凰邀寓所对的边分别为：外患归，函数负:燧=鬟麻器域碱X：-礴共赢，微制图娥

在密二网处取得最大值.

修

(1)求角4的大小.

(2)若渐=节且电血撅罟幽耻©=遐,求盛建渣的面积.

17.如图，四边形力BCD是正方形，P4L平面4BC0,EB//PA,AB=

PA=4,EB=2,F为PD的中点.

(1)求证：AF1PC；

(2)求证：BD//nPEC；

(3)求锐角二面角。-PC-E的余弦值.

22

18.已知片分别为椭圆Gv：彳+rg=1的上、下焦点，片是抛物线C：./=4y的焦点，点M是C,

与C在第二象限的交点，且|MF、|=

(1)求椭圆(；的方程；

(2)与圆./+(I，+1)：=1相切的直线/:+/),〃w0交椭C,于48,若椭圆C,上一点P满足

()A+()H-A()/^求实数4的取值范围.

19.设数列｛5｝是等差数列，数列｛九｝的前律项和又满足Sn=2(bn-1),且。2=瓦一1，=打一1.

(1)求数列｛%｝和｛bn｝的通项公式；

(2)设“=an-bn,求数列｛cn｝的前ri项和；

(3)证明：当n?2时，后+后+忌+…+忌＞阮

20.已知/(%)=ax—Inx,aER.

(1)若/(%)在％=1处有极值，求f(x)的单调递增区间；

(2)当Q=l,时，求/(%)的值域.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：/I={xGZ|-1<x<2}={-1,0,1,2},B={-1,0,1},

XnB={-1,0,1).

故选：A.

可求出集合力，然后进行交集的运算即可.

本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，一元二次不等式的解法，考查了计算能力,

属于基础题.

2.答案：C

解析：

选项N中，^^。-2="+"-+2=0+义=0=劭<0是4>0且6<0的必要不

ababab

充分条件，所以X错；

选项3中，由为<%(生得4勺或彳:产°,，可以推出出<。5；但若。4<。5,则该

匕>1Q<g<1

数列有可能是摆动的等比数列，如：1,-1,1,-1,1,-1……，此时推不出。1<%<生，

所以B错；选项。中，当x0<0时，|^-=(1)I4>(1)°=1«3X4>4XS所以。错.

故答案为C.

3.答案：D

解析：解：・•・/(X)是定义在R上的奇函数，y?-

.••作出图象关于原点对称作出其在y轴左侧的图象，如图.

由图可知：/(x)的值域是：2\

[-2,3]U[-3,2)=[-3,3].-----------———

故选：D.

先根据函数的奇偶性作出函数在y轴左侧的图象，欲求/(x)的值....’”3

域，分两类讨论：①x>0；②x<0.结合图象即可解决问题.[

本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力.易错的地

方是不会作出奇函数图象的另一半.

4.答案：D

解析：解：由条形图得到：

全国从2013年到2017年快递业务量逐年增加，

增长速度呈现下降趋势.

故选：D.

全国从2013年到2017年快递业务量逐年增加，增长速度呈现下降趋势.

本题考查条形图的应用，考查条形数的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查

函数与方程思想、数形结合思想，是基础题.

5.答案：D

解析：试题分析：由对数函数的性质可知，当底数0时，函数区是单调增函数，

二国且叵］,.,.凶，即凶.

考点：对数函数的单调性及应用.

6.答案：B

解析：解：PB_L平面力BC,AC1BC,

•••4C1平面PBC,P4是三棱锥P—4BC的外接球直径；

vRt^PBA^,AB=V22+l2=V5，PB=2,

・•.PA=3,可得外接球半径R=：P4=|,

二外接球的表面积S=4TTR2—97r.

故选：B.

PA是三棱锥P-力BC的外接球直径.利用勾股定理结合题中数据算出PA=3,得外接球半径R=I，

从而得到所求外接球的表面积.

本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面

积公式等知识，属于中档题.

7.答案：B

解析：解：如图过P作PE1抛物线的准线于E,根据抛物线2、*//

\x=2^>'/

的定义可知，PE=PF\TV

•••V2\PQ\=V3|PF|.在RtAPQE中，sin/PQE=tan/PQE=夜,

即直线PQ的斜率为遮，故设PQ的方程为：y=y[2x+m(m<0)

“22

由'号一y-消去、得3%2+4近771%+262+2=0.

y=V2x+m

则△1=8m2—24=0,解得m=—b，即PQ：y=V2x—V3

百得百得

由y-yf^x“2-2apx+2p=0>A2=8P2—8V3p=0>p=V3.

则抛物线的方程是M=2>/3y.

故选:B.

如图过P作PE1抛物线的准线于E,根据抛物线的定义可知，PE=PF

可得直线PQ的斜率为或，故设PQ的方程为：y=y/2x+m(m<0)

再依据直线PQ与抛物线、双曲线相切求得p.

本题考查了抛物线、双曲线的切线，充分利用圆锥曲线的定义及平面几何的知识是关键，属于中档

题.

8.答案：C

解析：解：函数y=-3s讥x+4的增区间，即丁=$讥%的减区间，为[2/OT+?2/OT+：],FCGZ.

结合xG[-re,n],可得y=sinx的减区间为停,兀],

故选：C.

由题意，本题即求丫=5勿%的减区间，结合正弦函数的单调性，得出结论.

本题主要考查正弦函数的单调性，属于中档题.

9.答案：B

解析：解：在△力BC中，(4南一前)1下,

....，，，♦

・・・(4AB—/C)-CB=0,

•••(4AB-AC)■(AB-AC)=0;

如图所示,

22

•••4AB-SAB-AC+AC=0,

即5荏.前=4荏2+前2；

.=4|变甘+|变产>2X2gg|呷|_4

•,一5丽X园―5|福x|河—5'

当且仅当2|荏|=|前|时,"=”成立;

此时sin4的最大值为-cos?/=

故选：B.

根据平面向量的线性运算与数量积的运算法则，结合基本不等式，求出cosA的最小值，即得sin力的

最大值.

本题考查了平面向量的线性运算与数量积的运算问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题.

10.答案：4+3i

解析：解：z=H"=-i(3+4i)=4-3i,

则复数3等于4+3i.

故答案为:4+3i.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

11.答案：一鬻

解析:

本题主要考查二项式定理的系数和的应用问题，这类问题的解决方法通常是将展开式中的x进行赋值,

一般常见的是把x赋值为-1,0,1等的问题较多一些.

本题通过观察，不难发现所求式子中的分子是x的奇次方项，分母是x的偶次方项，故可以令x=-1,

aaa

得至！]劭-ar+a2-a3+a4-a5+a6-a7=32再利用令x=1,得至必。+ax+a2+3+4+s+

a6-a7=32,利用它们分别求得分子分母就可以求出结果.

解析:

解：令%=-1,得(2+I)5=a。—%+电—+04—=3、,

令1=1,得(2-1)5=Qo+%+02++%=1，

==

***Q]+g+-121,CLQ+0,2+122,

£4+03+05=_121

J

^a0+a2+a4122

故答案是一震.

12.答案：-百

解析：解：设％=?，则k的几何意义为圆上的点与原点的斜率,

则由图象可知当直线y=依与圆在第二象限相切时，直线斜率最小，此时k<0,

则圆心(—2,0)到直线的距离d=悬，

即好=3,解得k=—百，

故(的最小值-6.

故答案是：一.

利用号的几何意义，即可得到结论.

本题主要考查直线和圆的位置公式，以及直线的斜率的计算，根据点到直线的距离公式是解决本题

的关键.

13答案.”.史.U

2.口术•243，3，9

解析：解：•••甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为|,且各局胜负相互独立.设

甲赢的局数为f,

.•.一(5.9|),

•・"(6=2)=曲|)2(y=高，

E(f)=5x|吟

〜八_

D(f)=5x2-x-1=—10.

339

故答案为：篇果爱

由题意f〜B(5,|),由此能求出P(f=2),E&),D(f).

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审

题，注意二项分布的性质的合理运用.

.答案：-

14TC

解析：解：4+B+C=TT,即4+8+C=71,设A=a,B+C=0,则Q+/?=TT,g^=l,

参考上述解法，则;+白+尹C+》(Q+S)；其10+"第」(10+6)，

DTUpUfJJIIICXpII

当且仅当上名即3a=3时等号成立.

故答案为：—.

7T

参考上述解法，根据题意可知4+8+。=兀设4=08+。=0则。+夕=兀，4=1,将3+总

7TAB+C

即?+］乘以1化简整理，利用基本不等式即可求出最小值，注意等号成立的条件.

本小题主要考查类比推理、基本不等式求最值，解题的关健是等号成立的条件，中档题.

15.答案：专2)

解析：解：由题意作图如下，

a是直线y=ax-1的斜率,

由图可知，当过点(1,1)时，

有临界值：。=平=2,

当过点(3,1)时，

有临界值：a=岩=|,

3—Uo

故结合图象可得，

实数a的取值范围是［|,2).

故答案为：［|,2).

由题意作图，a是直线y=ax-1的斜率，从而化方程=ax-l(a>0)有且只有两个不相等的

实数根为函数/(%)与直线y=ax-1有且只有两个交点，利用数形结合求解.

本题考查了方程的根与函数图象的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于难题.

16.答案：(1)弟.=£；(2)%鲤

..5

解析：试题分析：(1)求角4的大小，由函数翼璘=既谢第礴癖:-您扑蝴》国侬卷礴，对函数踊:向

进行恒等变形，把函数阴『斓化为一个角的一个三角函数，即3猫端=向血落阳-/3利用在需=网

qvYgvy'<y工色

F*1

处取得最大值，把I一口I代入邮"斓=赢抵•.僦，利用4怎(0,㈤，即可求出角4的值；(2)若

B>'''’'

演=节且或血感罂蝴》信=更理，求感蜀雕?的面积，由(1)知w=%，可考虑利用取^=3融或趣

涮3,%

来求，因此只需求出be的值即可，由域=字且做霸普幽1谴：=名居，可利用正弦定理

上一=-^一=上一得碱辄点导向媪殿:=也嫉血④，求出题普优=滤的值，再利用余弦定理

蝴即通球此或siw.C满

域产=4庐小£产-簸就辂混就可求出be的值，从而可得僦朦窗的面积•

试题解析：（1）负质:=鲁播•稔湍或阿感］甘蝴时翱

=蠢瓠r疆陵?浇弊痛一晶越/

=赢像潮催1/!-豌蟠&端标题=赢d迤扁,-愚4分

W>•

费:璘在案='空处取得最大值，

3.S

:法照逑一，尸漏出㈣其中能图惠，即恁=?-然叫求医

⑫需瞿

f^ajr

屈（0,㈤二,感=:6分

（2）由正弦定理-="—=——得或担蜘1感=巴士端血图8分

»..4A.S'满

即口取5=.之曲

一愚皆优=爵，由余弦定理储=献“产-然就怎球就得

窜'?1s,

0=斛扑威jF-颦酝-为徽湛球通，即49=169-3bc,二,bc=40

.二L融;赢L亚=」徐领株:亚=珈412分

%翦鬟

考点：三角恒等变化，解三角形.

17.答案：（1）证明：依题意，P41平面ABC。，

如图，以4为原点，分别以前、AB.Q的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

依题;意，可得4(0,0,0),B(0,4,0),C(4,4,0),£)(4,0,0),P(0,0,4),F(0,4,2),F(2,0,2).

••■AF=(2,0,2)，PC=(4,4,-4)，

：.AF-PC=8+0+(-8)=0)

.-.AF1PC；

(2)证明：取PC的中点M,连接EM.

•••M(2,2,2),'EM=(2,-2,0).'BD=(4,-4,0),

~BD=2丽，BD//EM.

vEMu平面PEC,BD<t平面PEC,

•••8D〃平面PEC；

(3)解：■.-AP=AD,F为PO的中点，

.-.AF1PD,

又AF_LPC,PDOPC=P,PD,PCu平面PCD,

AF_L平面PCD,

故/=(2,0,2)为平面PCD的一个法向量.

设平面PCE的法向量为元=(x,y,z),

PC=(4,4,-4)，PE=(0,4,-2).

.(n-PC=0B，|(4X+4y-4z=0

"ln.PE=0,即I"2z=0'

令y=l,得x=l,z=2,故有=(1,1,2).

/-77?—>.AF-n2+0+4V3

・•.cos<AF,…廨丽=印=三,

锐二面角D-PC-E的余弦值为它.

2

解析：本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行，直线与直线垂直的证明方法，考查空间

想象能力以及计算能力，属于中档题.

(1)以4为原点，分别以而、AB,而的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.求出相

关点的坐标，通过计算酢-PC=8+0+(-8)=0，证明AF1PC：

(2)取PC的中点M,连接EM.证明8D〃EM,然后证明B。〃平面PEC.

(3)求出行=(2,0,2)为平面PC。的一个法向量，用向量法求出平面PCE的法向量，利用空间向量求解

锐二面角。-PC-E的余弦值.

18.答案：解：(1)由题知尸式0,1),所以。2-炉=1,

又由抛物线定义可知MG=yu+1=|,得yM=1,

于是易知”（一半（），从而螭=（,

由椭圆定义知2a=MF1+MF2=4,得a=2,故炉=3,

从而椭圆的方程为工+二=

34

(2)设/(八M),8(x：,.r:,则由OA+OB=zOP知，

占+工=无5乂+y.=4%，且2k=i，①

34

又直线/:y=A（K+/）.hwO与圆x'+（j，+l）：=1相切，所以有=

由AwO,可得4=-w±1」工0)②

1-Z*

r=A(x+/).

又联立「、、…消去】'得(4+3&：*+6A八+347-12=0

4x+3y*=12.

6k"3*7-12

且恒成立，且$+毛=一

A>0+3r'”工-4+3公

“78A/〜-6A/84/

所以I；+v,=k(x.+.v.)*2kt=-------，所以得。(丁；~―7F-

-1--1-4+341虫4，)〃4-3A)

16*7s

代入①式得

(4+3公)/十万(4+31)，曰"=篝

-------：——,t*0,/#±1

又将②式代入得,“II■

(7)+=1

VV

易知*3.咱一+心，所以人畤呜,4）,

所以4的取值范围为｛A|-2<A<2,flZ*oJLz

解析：本题考查的是椭圆，抛物线的标准方程，直线与椭圆相交，与圆相切，向量的线性关系.

(1)由抛物线的标准方程可求出焦点片及点M坐标，再利用椭圆的定义求出a值从而求出椭圆的标准

方程；

(2)设出2(%i，%),B(x2,y2)P(x,y),由向量关系可把x,y用与+小，乃+%表示，联立直线与椭圆

的方程消元后，由韦达定理可把x,y用鼠t表示，再把点P的坐标代入椭圆方程可得匕34的一个

等量关系;再由直线，与圆相切，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得k,t的一个等量关系，从这两

个等量关系中消去K可把;I?表示成t的函数，由函数的值域可求出;I的取值范围.

19.答案：解：⑴••0=2(b-1),①

.•.当n22时，Sn_i=2(垢_1-1)，②

由①一②得：b=2(小一bn_i)(n22),即b=2勾_1522),

又n=1时，S]=2(4—1),得瓦=2,

n

•■bn=2(nGN*).

设数列｛册｝的公差为d,贝以=宣=2,

所以即=2n—3(n6N*).

(2)由(1)知％=(2n-3)-2n,设数列｛%｝的前n项和为〃，

则7；=-1x2+1x22+3x23+-+(2n-3)x2n,

27；=-1x22+1x23+3x24+-+(2n-5)x2n+(2n-3)x2n+1,

两式作差得一7；=-1x2+2x22+2x23+-+2