华南理工大学信号与系统实验,电信学院

实验二利用DFT分析离散信号频谱实验目的应用离散傅里叶变换(DFT)，分析离散信号x[k]。深刻理解利用DFT分析离散信号频谱的原理，掌握改善分析过程中产生的误差的方法。二、实验内容1.利用FFT分析信号的频谱；(1)确定DFT计算的参数；程序：N=32,w0=3*pi/8,k=0:31;x=cos(w0*k);X=fft(x,N);subplot(2,2,1);stem(k-N/2,abs(fftshift(X)));ylabel('Magnitude');xlabel('Frequency(rad)');subplot(2,1,2);stem(k-N/2,angle(fftshift(X)));ylabel('phase');xlabel('frequency(red)');结果：分析：序列的周期N=32，基频W0=3*pi/8。频谱图表现为在w=-3,3处的脉冲。(2)进行理论值与计算值比较，讨论信号频谱分析过程中误差原因及改善方法。答:在利用DFT分析离散信号的频谱时，会出现的误差可以分为三类。分别是混叠现象，泄露现象，栅栏现象。克服或改善的方法分别是：混叠现象：对于离散信号，可以根据实际情况对其进行低通滤波，使之成为带限信号。工程中的信号一般都不是带限信号，连续信号在抽样前通常都进过一个低通滤波器（即抗混叠滤波器）进行低通滤波，以减少混叠误差，提高频谱分析精度。泄漏现象：在选择矩形窗口的长度时，适当增加窗的长度，可以提高频谱分辨率，但是不能减小旁瓣引起的频谱泄露，因此可以选择旁瓣幅度很小甚至为零的非矩形窗对信号进行加窗处理，就可以降低频谱泄露。栅栏现象：改善栅栏现象最常用的方法是在离散序列之后补零，得到一个比原有序列更长的序列，这样就可以增加频谱图中的很多细节，降低栅栏现象。2.利用FFT分析信号的频谱；(1)确定DFT计算的参数；程序：k=0:30;x=0.5.^k;subplot(3,1,1);stem(k,x);ylabel('x');xlabel('k')subplot(3,1,2);plot(k-15,abs(fftshift(fft(x))));ylabel('Magnitude');xlabel('Frequency');subplot(3,1,3);plot(k-15,angle(fftshift(fft(x))));ylabel('phase');xlabel('frequency');结果：分析:信号无限长，因此需要对其进行截短。该序列单调衰减，当k>=30时，序列已几乎衰减为0，因此只取序列在区间[0，30]上的数值进行分析。(2)进行理论值与计算值比较，讨论信号频谱分析过程中误差原因及改善方法。答:在利用DFT分析离散信号的频谱时，会出现的误差可以分为三类。分别是混叠现象，泄露现象，栅栏现象。克服或改善的方法分别是：混叠现象：对于离散信号，可以根据实际情况对其进行低通滤波，使之成为带限信号。工程中的信号一般都不是带限信号，连续信号在抽样前通常都进过一个低通滤波器（即抗混叠滤波器）进行低通滤波，以减少混叠误差，提高频谱分析精度。泄漏现象：在选择矩形窗口的长度时，适当增加窗的长度，可以提高频谱分辨率，但是不能减小旁瓣引起的频谱泄露，因此可以选择旁瓣幅度很小甚至为零的非矩形窗对信号进行加窗处理，就可以降低频谱泄露。栅栏现象：改善栅栏现象最常用的方法是在离散序列之后补零，得到一个比原有序列更长的序列，这样就可以增加频谱图中的很多细节，降低栅栏现象。3.有限长脉冲序列，利用FFT分析其频谱，并绘出其幅度谱与相位谱。程序：k=0:5,N=6x=[2,3,3,1,0,5];X=fft(x,N);subplot(2,1,1);plot(k-N/2,abs(fftshift(X)));ylabel('Magnitude');xlabel('Frequency');subplot(2,1,2);plot(k-N/2,angle(fftshift(X)));ylabel('phase');xlabel('Frequency');结果：4.某周期序列由3个频率组成：，利用FFT分析其频谱。如何选取FFT的点数N？此3个频率分别对应FFT计算结果X[m]中的哪些点？若选取的N不合适，FFT计算出的频谱X[m]会出现什么情况？答：选取x[k]的基波周期为点数N。程序：N=32,k=0:31;w0=7*pi/16,w1=9*pi/16,w2=pi/2;x=cos(w0*k)+cos(w1*k)+cos(w2*k);X=fft(x,N);subplot(2,1,1);stem(k-N/2,abs(fftshift(X)));ylabel('Magnitude');xlabel('Frequency');subplot(2,1,2);stem(k-N/2,angle(fftshift(X)));ylabel('phase');xlabel('Frequency');结果：分析：Cos(7*pi*k/16)对应X[m]中w=-7,7的点，cos(pi*k/2)对应w=-8,8的点，cos(9*pi*k/16)对应w=-9,9的点。若取N=56，包络形状不变，出现杂频，如图所示:三.实验思考题1.既然可直接由DTFT定义计算序列DTFT，为何利用DFT分析序列的频谱？答:一个N点离散时间序列的傅里叶变换（DTFT）所得的频谱是以2π为周期延拓的连续函数。由采样定理，时域进行采样，则频域周期延拓，同样在频域进行采样，则时域也会周期延拓。DFT就基于这个理论，在频域进行采样，从而将信号的频谱离散化。所以，一个N点离散时间信号可以用一个频域内一个N点序列来唯一确定，这就是DFT表达式所揭示的内容。序列补零加长后，相当于频域的抽样点增多，反映在图形上即加零越多，频域抽样点越多，DFT越逼近DTFT。如果只是要在图形上显示DTFT，可以通过取足够多的点DFT来实现。2.若序列持续时间无限长，且无解析表达式，如何利用DFT分析其频谱？答:因为只要是有限长的离散序列都可以通过DFT对其进行频谱分析。故对于持续时间无限的序列，因首先得到能表征信号特征的离散序列，在对该离散序列进行DFT变换分析即可。这就涉及到模拟信号的数字化过程，具体方法是：（1）采样，根据信号的采样定理对该持续时间无限的序列进行采样。（2）量化，将采样得到的序列进行量化得到原模拟信号对应的离散序列，让后采用DFT对该序列进行频谱分析即可.3.在利用DFT分析离散信号频谱时，会出现哪些误差？如何克服或改善？答:在利用DFT分析离散信号的频谱时，会出现的误差可以分为三类。分别是混叠现象，泄露现象，栅栏现象。克服或改善的方法分别是：混叠现象：对于离散信号，可以根据实际情况对其进行低通滤波，使之成为带限信号。工程中的信号一般都不是带限信号，连续信号在抽样前通常都进过一个低通滤波器（即抗混叠滤波器）进行低通滤波，以减少混叠误差，提高频谱分析精度。泄漏现象：在选择矩形窗口的长度时，适当增加窗的长度，可以提高频谱分辨率，但是不能减小旁瓣引起的频谱泄露，因此可以选择旁瓣幅度很小甚至为零的非矩形窗对信号进行加窗处理，就可以降低频谱泄露。栅栏现象：改善栅栏现象最常用的方法是在离散序列之后补零，得到一个比原有序列更长的序列，这样就可以增加频谱图中的很多细节，降低栅栏现象。4.在利用DFT分析离散信号频谱时，如何选择窗函数？答:在用DFT分析离散信号频谱时，选择窗函数一般首选矩形窗，因为对信号进行加窗处理的目的是去截断信号，故一般情况下选择矩形窗就可以了。但是在对频谱分析精度要求高的情况下，就要合理选择非矩形窗，选择旁瓣幅值小甚至为零的非矩形窗以满足要求，提高频谱分析精度。5.序列补零和增加序列长度都可以提高频谱分辨率吗？两者有何本