专题06 三角函数与解三角形（选填题9种考法）（原卷版）

专题06三角函数与解三角形（选填题9种考法）考法一三角函数的定义【例1-1】（2023·广东梅州·统考一模）在平面直角坐标系中，点绕着原点顺时针旋转得到点，点的横坐标为___________.【例1-2】（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点，则______．【例1-3】（2023·上海黄浦·统考一模）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为______.【例1-4】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知为角终边上一点，则（

）A． B． C． D．【例1-5】（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，则（

）A． B．C． D．考法二同角三角函数【例2-1】（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【例2-2】（2021·全国·统考高考真题）若，则（

）A． B． C． D．【例2-3】（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【例2-4】（2023·湖南·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．考法三诱导公式及恒等变化【例3-1】（2021·全国·统考高考真题）（

）A． B． C． D．【例3-2】（2023·甘肃兰州·校考一模）等于（

）A． B． C． D．1【例3-3】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）（多选）设为第一象限角,,则（

）A．B．C．D．【例3-4】（2023·福建南平）若是第二象限角，，则___________.【例3-5】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）若锐角、满足，，则_________．【例3-6】（2023·广东梅州·统考一模）已知，则考法四三角函数的性质【例4-1】（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（

）A． B． C． D．【例4-2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）函数（，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【例4-3】（2023·贵州贵阳·统考一模）函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（

）①的图象关于直线对称②的图象关于点对称③将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象④若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是A．①④ B．②④ C．③④ D．②③【例4-4】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数.若，且在区间上单调，则（

）A． B．或4 C．4 D．或【例4-5】（2023·辽宁·校联考模拟预测）（多选）已知函数，则（

）A．是奇函数 B．当时，C．的最大值是1 D．的图象关于直线对称【例4-6】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）（多选）已知函数，其中、.则下列说法中正确的有（

）.A．的最小值为B．的最大值为C．方程在上有三个解D．在上单调递减考法五正余弦定理【例5-1】（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（

）A．1 B． C． D．3【例5-2】（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（

）A． B． C． D．【例5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（

）A． B． C． D．【例5-4】（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．【例5-5】（2023·河南·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积等于______．【例5-6】（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．【例5-7】（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.考法六实际应用题【例6-1】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了周代，使用圭表有了规范，杆子（表）规定为八尺长．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日子内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差一尺”（1尺＝10寸）．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日子内，甲地日影长是乙地日影子长的两倍，记甲地中直线AB与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（

）A．15千里 B．14千里 C．13千里 D．12千里【例6-2】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，AB的长约为，则该月牙泉模型的面积约为（

）A． B．C． D．【例6-3】（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【例6-4】（2023·河南·校联考模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（

）A． B． C． D．考法七三角函数与导数的综合【例7-1】（2023·河南·校联考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（

）A． B． C． D．【例7-2】（2023·陕西榆林·统考一模）已知，函数在上恰有3个极大值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例7-3】（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例7-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数在上恰有三个零点，则（

）A．的最小值为 B．在上只有一个极小值点C．在上恰有两个极大值点 D．在上单调递增考法八扇形的弧长与面积【例8-1】（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（

）A． B． C． D．【例8-2】（2023·吉林·统考二模）（多选）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（

）A．经过1后，扇形AOB的面积为B．经过2后，劣弧的长为C．经过6后，质点B的坐标为D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相即考法九三角函数与其他知识的综合运用【例9-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知，，，若，则（

）A． B． C． D．【例9-2】（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若分别是与的等差中项和等比中项，则的值为（

）A． B． C． D．【例9-3】（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．1．（2023·安徽宿州·统考一模）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知角，且，则（

）A． B． C． D．3．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．4．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（

）A． B． C． D．5．（2023·陕西西安·统考一模）下列是函数图像的对称轴的是（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．7．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度8（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增9．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．10．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和211．（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．12．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．313（2021·北京·统考高考真题）函数是A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为14．（2021·全国·统考高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A． B．C． D．15．（2022·全国·统考高考真题）若，则（

）A． B．C． D．16．（2021·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．17．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（

）A． B． C． D．18．（2023·山东潍坊·统考一模）已知角在第四象限内，，则（

）A． B． C． D．19．（2023·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（

）A． B． C． D．20．（2023·陕西西安·统考一模）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍21．（2023·全国·模拟预测）若且，则的最小值为（

）A． B． C． D．22．（2023·四川南充·校考模拟预测）若锐角满足，则（

）A． B．C． D．23．（2023·陕西榆林·统考一模）已知，则（

）A． B．3 C． D．24．（2023·陕西渭南·统考一模）若，，则（

）A． B． C． D．25．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在区间上单调递减B．在区间上有极小值C．设在区间上的最大值为M，最小值为m，则D．在区间内有且只有一个零点26．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（

）A． B． C． D．27．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数（，）的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（

）A． B．C． D．28．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数在上单调递增，且，则（

）A． B． C． D．29．（2023·湖南·模拟预测）将函数图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若对于满足的，，都有，则的值为（

）A． B． C． D．30．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）函数在上有唯一的极大值，则（

）A． B． C． D．31（2023·陕西榆林·校考模拟预测）将函数的图像分别向左､向右各平移个单位长度后，所得的两个图像的对称轴重合，则的最小值为（

）A．3 B． C．6 D．32．（2023·吉林·统考二模）近日，吉林市丰满区东山顶上新建了一处打卡地朱雀云顶观景塔，引来广大市民参观,某同学在与塔底水平的A处利用无人机在距离地面21的C处观测塔顶的俯角为，在无人机正下方距离地面1的B处观测塔顶仰角为，则该塔的高度为（

）A．15 B．16 C． D．33．（2022·全国·统考高考真题）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线34．（2021·全国·统考高考真题）（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．35．（2023·广东梅州·统考一模）（多选）函数（，）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．B．函数的图像关于直线对称C．函数在单调递减D．函数是偶函数36．（2023·山东菏泽·统考一模）（多选）已知函数，下列命题正确的有（

）A．在区间上有3个零点B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度C．的周期为，最大值为1D．的值域为37．（2023·山东威海·统考一模）（多选）已知函数的部分图像如图所示，则（

）A． B．C．在上单调递增 D．若为偶函数，则38．（2023·安徽宿州·统考一模）（多选）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数图象的一条对称轴方程是C．函数在区间上单调递增D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象39．（2023·全国·模拟预测）（多选）下列是函数图象的对称轴方程的是（

）A． B．C． D．40．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．函数的最小正周期为B．函数的单调递增区间为C．函数在区间上取得最大值时D．函数的图象关于点对称41．（2023·安徽蚌埠·统考二模）（多选）已知函数，将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为奇函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（

）A．函数的图像关于点中心对称B．函数在区间上单调递减C．不等式的解集为D．方程在上有2个解42（2023·全国·模拟预测）（多选）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”.若，则角可取的值用密位制表示可能是（

）A．10—50 B．2—50 C．13—50 D．42—5043．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）（多选）已知函数（）的最小正周期满足，且是的一个对称中心，则（

）A． B．的值域是C．是的一条对称轴 D．是的一个零点44．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法中正确的有（

）A．函数的图象关于点对称B．函数图象的一条对称轴是C．若，则函数的最小值为D．若，，则的最小值为45．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．46．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．47．（2022·浙江·