基于多分形特征的金融资产价格波动研究

基于多分形特征的金融资产价格波动研究

0金融市场多分形领域研究的意义和展望近年来，许多关于金融资产价格变化的研究表明，实际价格变化的收入分布模式除了具有偏差（sked）和“峰值虚尾”等非正式特征外，还具有重要的非线性特征（公私分）。金融市场多分形特征的发现对于金融学的研究与发展具有重大的理论和现实意义。分形理论之父Mandelbrot指出,多分形理论中蕴含了分形对象复杂波动特征的丰富信息,运用它可以精确分析金融资产价格不同波动规模(风险)的不同标度(scale)关系。因此,对于金融市场多分形领域的研究不应该只停留在实证检验的层面,而应该进一步挖掘多分形分析中产生的对市场价格波动研究有益的统计信息。基于这一认识,本文以两种不同类型金融市场(新兴资本市场和成熟资本市场)的股指价格序列为样本,由分析价格变化的多分形特征出发,充分提炼并深入探讨了多分形理论中所蕴含的有关价格波动的间接统计信息。1样本数据的描述和多段分析1.1市场数据来源本文采用的研究样本为上证综指和S&P500指数的每5分钟高频股价数据,数据时间区间都为2001年3月1日到2006年10月10日,每种指数约有1400个交易日。上海证券交易所每个交易日共有4个小时(240分钟)的连续竞价交易时间,采用每5分钟记录一个数据的方法,上证综指每天可以产生48个高频股价记录(不包括收盘价)。对于S&P500指数,这样的每天高频股价记录数量为80个1。1.2高频市场指数相关关系H¨older指数α和多分形谱(multifractalspectrum)f(α)是描述多分形对象特征的一套基本语言。以上证综指为例,采用“数盒子”(box-counting)方法计算股价序列的α和f(α)的一般过程如下:(1)假设交易日时间长度为标准化的1,则无重复均匀覆盖上证综指一天中48个高频股价记录的盒子长度分别可以取为:1、1/2、1/3、1/4、1/6、1/8、1/12、1/16、1/24、1/48。(2)当盒子长度为δ时,假设覆盖一天中的所有高频股价记录需要m个盒子,每个盒子内有n个记录,同时记一天当中的高频股价记录为I(t),第i个盒子中的第j个指数为I(ij),则定义在第i个盒子上的指数概率测度为:Ρi(δ)=n∑j=1Ι(ij)/k∑t=1Ι(t)(i=1,2,⋯,m,k=48)。若令Nα(δ)表示具有相同H¨older指数α的长度为δ的盒子个数,则有如下幂律(Power-law)关系存在:Ρi(δ)∼δα(1)Να(δ)∼δ-f(α)(2)(3)定义分割函数(Partitionfunction)Sq(δ)=m∑i=1Ρqi(δ)‚Sq(δ)同样满足幂律关系Sq(δ)～δτ(q)。在实际计算时,q的取值范围以α和f(α)达到饱和值为准,而τ(q)的值可以通过求取在双对数坐标轴ln(Sq(δ))～ln(δ)上的直线斜率得出,并且通过Legendre变换可以得到:α=dτ(q)dq(3)f(α)=αq-τ(q)(4)若ln(Sq(δ))～ln(δ)图随不同q呈现为斜率不等的直线,则序列具有良好的多分形特征。我们令|q|≤100,按照上述步骤,作出了上证综指2002年6月3日和S&P500指数2002年7月23日的ln(Sq(δ))～ln(δ)图。为清晰起见,图1中只汇报出了当|q|≤5时的情况。由图1可以看出,无论是上证综指还是S&P500指数,在|q|≤5时,ln(Sq(δ))～ln(δ)图都呈现出了良好的线性关系。而且经过计算,q为其它数值以及其余各天的情况也与此相同。这一结果确认了上证综指和S&P500指数的价格波动存在多分形特征,我们可以运用多分形语言来描述和研究市场价格的变化行为。2table的标准差和多分形谱f分布的离散程度按照1.2节中的步骤,我们继续计算了上证综指在2002年6月3日和6月4日,以及S&P500指数在2002年7月23日和7月24日的H¨older指数α和多分形谱f(α),并将其与两天中的价格走势情况汇报于图2和图3中。由图2可以看出,上证综指在2002年6月3日的走势比较平稳,价格波动幅度相对较小,这天的H¨older指数α和多分形谱f(α)的分布就较为集中;而在6月4日,上证综指价格波动幅度相对较大,对应的α和f(α)的分布就较为离散。同样,图3中S&P500指数在2002年7月23日和7月24日的情况也说明了这一规律的存在。我们进一步考虑的是,可以用H¨older指数α的标准差(Sα)和多分形谱f(α)的标准差(Sf)表示一天中α和f(α)分布的离散程度,从而表示出一天中价格波动的程度大小。具体来讲,由于每个指数价格盒子的概率测度Pi(δ)～δα,所以α的标准差Sα就代表了一天中具有不同概率测度盒子的测度值离散程度。Sα越大,表明当天价格走势分布越分散,即当天价格波动的绝对程度越大。而f(α)其实就是测度对象的豪斯道夫维数(Hausdorffdimension),该维数可以用来刻画测度对象局部混乱(复杂)的程度。豪斯道夫维数分布越分散(即f(α)的标准差Sf越大),即测度对象局部的豪斯道夫维数差别越大,则表明测度对象的混乱程度越高。因此,当Sf越大时,价格序列的局部波动混乱程度的差别就越大,一天当中的价格波动分布就越不均匀,即价格波动行为越复杂。为了验证以上认识,图4和图5分别汇报了样本区间内上证综指和S&P500指数的收益率序列、每天价格波动的方差、Sα和Sf。由图4和图5可以看出,无论是上证综指还是S&P500指数,其Sα、Sf的分布与价格波动的方差分布具有非常强的相似性,并且在很多时候,Sα对于价格大幅波动的反映要比方差更敏感,另外Sf还指示了价格波动的相对高低趋势。值得注意的是,一些文献中运用一天中H¨older指数α的极差Δα(Δα=αmax-αmin)来反映该天金融资产价格波动的不均匀性。但是我们认为,由于Δα只运用了一天中所有α值的两个记录,并没有充分利用H¨older指数α所提供的所有波动信息,而且通过图2和图3我们还可以看出,多分形谱f(α)分布本身对于价格波动也有着良好的反映。因此,综合运用α和f(α)的标准差(Sα和Sf)而不只是α的极差Δα来作为多分形波动率测度的构建基础无疑具有更为合理和坚实的理论基础。3金融资产价格波动的信息本文以上证综指和S&P500指数为例,在确认了股指价格波动具有多分形特征的基础上,充分提炼并探讨了多分形语言中所蕴含的价格波动信息。运用多分形分析研究金融资产价格的波动,就像用不同倍数的放大镜来观察同一事物一样,可以得到不同幅度的价格波动信息,而这些信息对于金融风险管理、衍生产品定价等具有相当的重要性。因此