数形结合教学中的形象思维和抽象思维

数形结合教学中的形象思维和抽象思维

在数学教学中，研究数学和形状之间的关系非常重要。通过把抽象的数学语言与直观的图形结合起来,“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化、抽象问题具体化,从而达到优化教学的目的。其“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想,就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义又揭示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思路,使问题得到解决。本文将结合例题浅析数形结合思想的应用。一、数形结合模型函数的图像可以形象的反映函数的性质,通过观察图形可能确定图像的变化趋势,对称性、分布情况等,数形结合,借助于图像与函数的对应关系,研究函数的性质。例1:f(x)是定义在R是的偶函数,其图像关于直线x=2对称,且当x∈(-2,2)时f(x)=-x2+1,则当xx∈(-6,-2)时,求f(x)的表达式。分析:当x∈(-2,2)时,f(x)=-x2+1的函数图像已知,因为f(x)的图像关于直线x=2对称和函数是偶函数,图像关于y轴对称,所以可以画出x∈(-6,-2)的图像,如图所示,由图像可知x∈(-6,-2)的图像与x∈(-2,2)的图像一样,只不过是所在位置不同而已,只要把x∈(-2,2)的图像向左平移4个单位,就得到x∈(-6,-2)的图像,由平移性质可得:x∈(-6,-2)时,f(x)=-(x+4)2+1例2:设对于任意实数x∈[-2,2],函数f(x)=1g(3a-ax-x2)总有意义,求实数a的取值范围。解法1:函数f(x)有意义,则3a-ax-x2>0,即x2+ax-3a<0在x∈[-6,-2)x∈[-2,2]上总成立。设g(x)=x2+ax-3a,即当x∈[-2,2]时,g(x)<0总成立。∴依抛物线y=g(x)的特征,将其定位,有,如图1所示。解法2:对于不等式3a-ax-x2>0,因为x∈[-2,2],所以3-xε-,不等式可化成∴只要的最大值即可。设t=3-x,x∈,的图像如图2所示,可知6+h(x)的最大值为10,故h(x)最大值为4,则a>4。解法1抓住了抛物线的特征,由实数a的不等式组,将抛物线定位,再求解范围。另外,由于涉及到一元二次方程根的分布,所以又提供了一次数形结合的机会。解法2将实数a从不等式中分离出来,对后边函数中3-x换元后,利用典型函数图像直观地求其最大值,求得a的范围,体现数形结合的思想,不失为好办法。例2:设A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,且x∈A},C={z|z=x2,且x∈A},若,求实数a的取值范围。分析:解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将用不等式这一数学语言加以转化.考生在确定z=x2,x∈[2,a]的值域时易出错,不能分类而论.巧妙观察图像将是上策.不能漏掉a<-2这一种特殊情形。解决集合问题首先看清元素究竟是什么,然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言,进而分析条件与结论特点,再将其转化为图形语言,利用数形结合的思想来解决。解:∵y=2x+3在[-2,a]上是增函数∴-1≤y≤2a+3,即B={y|-1≤y≤2a+3}作出z=x2的图像,该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下:1.当-2≤a≤0时,a2≤z≤4即C{z|z2≤z≤4}要使必须且只须2a+3≥4得与-2≤a<0矛盾;2.当0≤a≤2时,0≤z≤4即C={z|0≤z≤4},要使,由图可知:必须且只需3.当a>2时,0≤z≤a2,即C={z|0≤z≤a2},要使必须且只需解得2<a≤3;4.当a<-2时,成立。综上所述,a的取值范围是二、xx=0的根数学课堂教学中,许多代数问题也可以通过数形结合来解决。如方程f(x)=0的根实际上就是曲线y=f(x)与x轴的交点的横坐标,方程f(x)-g(x)=0的根实际上就是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的交点的横坐标。又如例题:讨论1gx=sinx的根的个数＿＿＿＿。设y1=1gx,y2=sinx通过画出函数图像,分析有几个交点,便能很好地解决。平面向量教学中,一个向量可用有向线段来表示,而这样的有向线段可分解为直角坐标系中x轴、y轴方向上的有向线段之和,而每个方向上的有向线段又都可以用一个数来表示,这样,向量的运算就可以转化为坐标的运算,过程更直观,更简单,很快计算出结果。如:三、数形结合的运用复数教学中,复数的向量表示三角形的运算,把复数与形进一步结合起来,使复数成为研究几何、代数的有力工具。用数形结合的方法解题,能最直接提示总是的本质,直观地看到问题的结果,只需稍加计算或推导,就得得到确切的答案。如:若复数Z满足|z+i|+|z-i|=2,则|z+i+1|的最小值是()。分析可知,由于|z+i|和|z-i|分别表示复数Z在复平面上的对应点到i和-i之间的距离且有|z+i|+|z-i|=2,所以表示复数Z的点的集合虚轴上点i至-i之间的线段(含端点)。另外,|z+i+1|=|z-(-1-i)|为复数Z在复平面上的对应点到-1-i的距离,通过画图可以看出,当Z=-i时,|z+i+1|的最小值是1。此题的常规解法,虽有可遵循的操作程序,但对解题过程中出现的情况难以预料,对可能发生的疏漏不易察觉,且解程冗长。而用数形结合的方法,开赴救出问题的本质面貌,只要思考正确,形象清晰,往往很快能看到问题的结果。教学中,数学教师要做好这种“数”与“形”的关系提示与转化,引导学生变静态思维方式为动态思维方式,以运动、变化、联系的观点考虑问题