第4章 医学图像变换1

图像变换的作用傅立叶变换离散余弦变换小波变换第4章医学图像变换数字图像处理的方法主要有两类：空间域处理法和频域法。空域法指对直接像素点及其值进行处理。图像阵列一般都很大，计算上比较复杂、费时。频域法是指先将图像变换到频域，再进行滤波等处理，然后再经逆变换回到空间域，得到处理后的图像。图像的频域处理最突出的特点是其运算速度高，并可采用二维数字滤波技术进行所需要的各种图像处理.图像正交变换用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等。第4章图像变换图像变换图像变换是一种为了达到某种目的（通常是为了从图像中获取某种重要信息）而采用的数学技巧。图像变换在图像增强、图像复原、图像编码压缩以及特征抽取方面有着广泛的应用。从实际操作来说，图像变换就是对原图像函数寻找一个合适的变换核的数学问题。磁共振成像(MRI,MagneticResonanceImaging)技术是研究以不同的射频(RF,RadioFrequency)脉冲序列对组织激励后，用线圈检测技术获得组织弛豫信息和质子密度信息，通过图像重建形成磁共振图像的方法和技术。一.图像变换的目的：①使图像处理问题简化；②有利于图像特征提取；③有助于从概念上增强对图像信息的理解。二．图像变换的要求：①图像函数变换后处理较变换前更加方便和简单；②图像函数变换后不损失原图像的信息；③图像变换必须是可逆的。

常用的变换傅立叶变换FourierTransform2.离散余弦变换DiscreteCosineTransform3.小波变换9傅立叶变换傅立叶变换域也称为频域变换，它把图像从图像空间变换到频率空间。将原定义在图像空间的图像以某种形式转换（正变换）到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间（反变换或逆变换）以得到所需要的效果。傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1822年首次发表在“热的分析理论”一书中1829年狄里赫利第一个给出收敛条件傅立叶的两个最主要的贡献——“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”

——傅里叶的第二个主要论点

频域与频域变换

频域变换的理论基础就是“任意波形都可以用单纯的正弦波的加权和来表示”。如图(a)所示的任意波形，可分解为图(b)、(c)、(d)所示的不同幅值、不同频率的正弦波的加权和。

为便于理解，将图(b)所示的正弦波取出来，如图2所示。如果将虚线表示的振幅为1且初相位为0的正弦波作为基本正弦波，则实线表示的波形可由其振幅A和初相位φ确定。任意波形可分解为正弦波的加权和图2正弦波的振幅A和相位φ

7.1频域世界与频域变换任意波形可分解为正弦波的加权和y1=Sin(x+/2)A=1,=/2,f=1/2y2=0.5sin(2x+)A=0.5,=,f=1/y3=0.25sin(4x+3/2)A=0.25,=3/2,f=2/y=Sin(x+/2)+0.5sin(2x+)+0.25sin(4x+3/2)x[0,4]波形的频域表示y=Sin(x+/2)+0.5sin(2x+)+0.25sin(4x+3/2)x[0,4]幅频特性Af0.250.510.751/2

3/2

1/2/

相频特性

f

/2

23/21/2

3/2

1/2/

7.1频域世界与频域变换幅频特性Af0.250.510.751/2

3/2

1/2/

相频特性

f

/2

23/21/2

3/2

1/2/

7.1频域世界与频域变换为什么要傅里叶展开为什么要傅里叶展开1傅立叶级数一、问题的提出二、三角级数三角函数系的正交性三、函数展开成傅里叶级数一、问题的提出非正弦周期函数:矩形波不同频率正弦波逐个叠加一、三角函数系的正交性1、正交的定义：如果是[a,b]上两个不同的可积函数，且满足，那么称在上是正交的。2、三角函数系的正交性三角函数系在区间上是正交的，也即.上的积分等于零以上任意两个不同函数在以上都可以通过有关积分运算来验证。三、函数展开成傅里叶级数问题:1.若能展开,是什么?2.展开的条件是什么?1.傅里叶系数傅里叶系数傅里叶级数问题:2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)

2傅立叶变换

连续函数的傅立叶变换

若一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即

(1)具有有限个间断点；

(2)具有有限个极值点；

(3)绝对可积。

则其傅立叶变换对(傅立叶变换和逆变换)一定存在。在实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。

傅立叶变换的定义

傅立叶变换若f(x)为一维连续实函数，则它的傅里叶变换可定义为：傅立叶逆变换定义如下：

函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。即对于任一函数f(x)，其傅立叶变换F(u)是惟一的；反之，对于任一函数F(u)，其傅立叶逆变换f(x)也是惟一的。连续函数的傅里叶变换

这里f（x）是实函数，它的傅里叶变换F（u）通常是复函数。F（u）的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：实部虚部

振幅

能量

相位Ｆ(u)覆盖的域（ｕ的值）称为频率域。每一个Ｆ(u)称为频率分量。傅里叶变换频率域的概念：一个实函数的傅里叶变换通常是复数，即极坐标表示：变换分析的直观说明

把一个信号的波形分解为许多不同频率正弦波之和。一维离散傅立叶变换(DFT)2023年10月24日44一维离散傅立叶变换公式为：逆变换为：

数学上建立傅立叶变换的f(x)是连续的模拟信号，而计算机处理的是离散的数字信号，同时数学上用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常就将这种受限的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DFT）。452023年10月24日由欧拉公式可知

可得可见，离散序列的傅立叶变换仍然是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和。每个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值。二维连续函数的傅立叶变换

傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维傅立叶变换对为二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为：

|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2(u，v)]1/2

φ(u，v)=tan-1[I(u，v)／R(u，v)]E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)

二维离散函数的傅立叶变换(DFT)在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为

F(u，v)=式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。

f(x，y)=

式中x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。快速离散傅立叶变换

基本离散傅立叶变换计算量非常大，运算时间长。可以证明其运算次数正比于N2，特别是当N较大时，其运算时间将迅速增长，以至于无法容忍。为此，需要研究离散傅立叶变换的快速算法(FastFourierTransform，FFT)。

1965年Cooley和Tukey首先提出了一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变换算法(FFT)。采用该FFT算法，其运算次数正比于NlbN，在N很大时计算量可以大大减少。

Cooley-TukeyFFT算法的基本思想是将f(x)序列按x的奇偶进行分组计算，并充分利用傅立叶变换的周期性和对称性进行计算，采用迭代法，大大简化了程序设计的复杂度，提高了计算速度。

Sande-TukeyFFT算法与Cooley-TukeyFFT算法类似，只不过它是将f(x)序列按中心位置点进行分组计算的。

快速傅立叶变换算法（FFT时间复杂度为Nlog2N。当N很大时计算量可以大大减少。快速傅里叶变换（FFT)傅里叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换：灰度分布函数频率分布函数傅立叶逆变换：频率分布函数灰度分布函数

图像经傅里叶变换，在频谱图的四角（0,0）,（0,N-1）,（N-1,0）,(N-1,N-1)频率分量为0，中心点（N/2，N/2）处频率分量为最大值。图像的信息主要集中在低频部分，在实际频谱分析中，由于低频信息分布区域小且四角分散，不利于分析理解。因此，常将频谱中心移位，使低频集中在中心部分，高频分布在四周。频谱图的理解（a）原始图像(b)中心化前的频谱图(c)中心化后的频谱图图像频谱的中心化低频部分高频部分频谱中心化542023年10月24日二维快速傅立叶变换的Matlab实现简单图像及其傅立叶变换eg.1:d=zeros(32,32);d(13:20,13:20)=1;figure(1);imshow(d,'notruesize');D=fft2(d);figure(2);imshow(abs(D),[-15],'notruesize');

第三章图像变换552023年10月24日

D2=fftshift(D);figure(3);imshow(abs(D2),[-1,5],'notruesize');原图离散傅立叶变换后的频域图例如数字图像的傅立叶变换离原始图像clc;clear;I=imread(‘1.jpg’);%读取一幅灰度图figure(1);imshow(I)%显示灰度图F=fft2(I);%将该灰度图作二维快速傅里叶变换F2=abs(fftshift(F));%将零频率移至中心，并求幅值figure(2);imshow(log(F2),[]);colorbar;%以对数形式显示傅里叶变换后的图像figure(3);imshow(log(F2),[]),colormap(jet(64)),colorbar;%以彩色图像显示频谱图例如数字图像的傅立叶变换代码如下：例：图像函数和傅立叶频谱显示图像三维频谱幅值投影典型图像的傅立叶变换实际图像的傅立叶变换下图给出两幅实际图像和他们的傅里叶频谱图。图(a)的图像反差比较柔和，反映在傅里叶频谱上低频分量较多，频谱图中心值较大（中心为频域原点）。图(b)的图像中有较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带。

(a)(b)离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系。在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其转换规律，因此，下面将介绍离散傅立叶变换的若干重要性质。1．周期性和共轭对称性若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则有

F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N)傅立叶变换存在共轭对称性

F(u，v)=F*(-u，-v)

这种周期性和共轭对称性对图像的频谱分析和显示带来很大益处。二维离散傅立叶变换的若干性质

2.旋转性质平面直角坐标改写成极坐标形式：

做代换有：

如果

被旋转,则被旋转同一角度。即有傅立叶变换对：二维傅立叶变换的性质3.分离性

二维傅立叶变换可由连续两次运用一维傅立叶变换来实现。

由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x,y)按列进行傅立叶变换得到F(x,v)，再对F(x,v)按行进行傅立叶变换，便可得到f(x,y)的傅立叶变换结果，如图所示。显然对f(x,y)先按行进行离散傅立叶变换，再按列进行离散傅立叶变换也是可行的。

4.平移性

将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置。

F(u,v)与一个指数项相乘就相当于把其反变换后的空域中心移动到新的位置。

对f(x,y)的平移不影响其傅立叶变换的幅值。平移性质表明，只要将f(x,y)乘以因子(－1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M／2,N／2）处。图1是简单方块图像平移的结果。(a)原图像（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱图1傅立叶频谱平移示意图(a)(b)(c)对在幅度方面的尺度变化导致对其傅里叶变换在幅度方面的对应尺度变化对在空间尺度方面的放缩导致对其傅里叶变换在频域尺度方面的相反放缩。5、尺度定理幅度尺度变化实例Matlab实现clear;clc;a=zeros(256,256);a(100:150,100:150)=1;b=fft2(a);b=fftshift(b);c=log(abs(b));subplot(221),imshow(a);subplot(222),imshow(c);a2=zeros(256,256);a2(100:200,100:200)=1;b2=fft2(a2);b2=fftshift(b2);c2=log(abs(b2));subplot(223),imshow(a2);subplot(224),imshow(c2);可以将卷积运算化为乘积运算

f(x,y)*h(x,y)<=>F(u,v)H(u,v)

f(x,y)h(x,y)<=>F(u,v)*H(u,v)(A*B表示做A与B的卷积）利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为N的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2N-1组对位乘法；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法6、卷积定理傅里叶变换的应用：图像重建频率域滤波图像压缩图像特征提取傅里叶变换的应用二维傅立叶变换(幅值及相位)意义频率域滤波频率域的基本性质：变化最慢的频率成分（原点）对应图像的平均灰度级。低频对应着图像灰度级的慢变化分量。较高的频率对应着图像中变化较快的灰度级。频率域是傅里叶变换和频率变量(u,v)定义的空间。返回返回Fourier变换的高通滤波返回Fourier变换的低通滤波图像特征提取：

形状特征：傅里叶描述子

纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征

其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性

图像压缩

可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；傅里叶变换的应用FouriertransformRadius(pixels)%imagepower895169732986499.412899.8傅立叶变换在图像压缩中的应用

变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。压缩率为：1.7：1压缩率为：2.24：1压缩率为：3.3：1DFT总结：1.空间域频率域2.变换后在频率域的处理运算简单（高通，低通等。）3.变换后有利于对图像的特征提取。4.变换算法是全局处理，即F(u,v)是f(x,y)整体运算所得5.图像显示常用lg(1+|F(u,v)|)显示其傅立叶谱，目的是更好的显示高频，利于对图像频谱的视觉理解矩形函数图像表示傅立叶谱6.利用傅立叶变换的性质，进行平移，FDFT等。1.问题的提出：傅立叶变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。三.离散余弦变换离散余弦变换（DCT）离散余弦变换（DiscreteCosineTransform，DCT）的变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质外，它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其中的一个基本处理模块。除此之外，DCT还是一种可分离的变换。

一.一维离散余弦变换

一维DCT的变换核定义为式中，x,u=0,1,2,…,N－1；一维DCT定义如下：设{f(x)|x=0,1,…,N-1}为离散的信号列。式中，u,x=0,1,2,…,N－1。将变换式展开整理后，可以写成矩阵的形式，即F=Gf其中一维DCT的逆变换IDCT定义为式中，

x,u=0,1,2,…,N－1。可见一维DCT的逆变换核与正变换核是相同的。正变换：逆变换：其中：二维离散余弦变换

最后要注意的是二维DCT的频谱分布，其谱域分布与DFT相差一倍，如图3所示。从图中可以看出，对于DCT而言，(0,0)点对应于频谱的低频成分，(N-1,N-1)点对应于高频成分，而同阶的DFT中，(N／2,N／2)点对应于高频成分（注：此频谱图中未作频谱中心平移）。

图3DFT和DCT的频谱分布（a）DFT频谱分布；（b）DCT频谱分布例：实际图像的DCT变换结果左图是一幅原始图象，右图是对左图的离散余弦变换结果（变换幅值）。右图左上角对应低频分量，由图可见，左图中的大部分能量在低频部分。离散余弦变换的Matlab实现在Matlab中，dct2函数和idct2函数分别用于进行二维DCT变换和二维DCT反变换。

1.dct2函数功能：二维DCT变换。格式：B=dct2(A)B=dct2(A,m,n)B=dct2(A,［mn］说明：B=dct2(A)计算A的DCT变换B，A与B的大小相同；B=dct2(A,m,n)和B=dct2(A,［mn］)通过对A补0或剪裁，使B的大小为m×n。离散余弦变换的Matlab实现2.idct2函数功能：DCT反变换。格式：B=idct2(A)B=idct2(A,m,n)B=idct2(A,［mn］)3.dctmtx函数功能：计算DCT变换矩阵。格式：D=dctmtx(n)说明：D=dctmtx(n)返回一个n×n的DCT变换矩阵，输出矩阵D

为double类型。离散余弦变换的Matlab实现例说明二维余弦正反变换在Matlab中的实现。程序如下：

%装入图像

RGB=imread(′autumn.tif′);I=rgb2gray(RGB);%画出图像

imshow(I);figure(2);%进行余弦变换J=dct(2);imshow(lon(abs(J),［］,colormap(jet(64)),colorbar;figure(3);J(abs)<10=0;%进行余弦反变换K=idc2(J)/255;imshow(K);离散余弦变换的Matlab实现结果如图所示图1原始图像图2余弦变换系数图3余弦反变换恢复图像DCT变换的应用：余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT相似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。DCT在JEPG中的应用DCT的能量集中特性使得其称为静止图像压缩标准JEPG(JointPhotographicExpertsGroup)算法的核心。在JEPG算法中，输入图像被分为8×8(或16×16)模块，然后对每一模块计算二维DCT，接着对DCT系数进行处理，保留其中的低频(主要能量部分)，舍弃高频部分(幅值近似0的部分)。这一过程也就是让每一模块的DCT系数乘以模板：1111100011110000111000001100000010000000000000000000000000000000如左图所示模板，只保留了64个DCT系数中的15个，也即舍弃了77%的DCT系数。例：DCT压缩效果保留15个DCT系数，可以得到压缩前后的对比：可以看出，虽然舍弃了大部分系数，但由于保留了主要能量，因此图像依然保持着相当的清晰度。实现前例的MATLAB程序x2=im2double(x);T=dctmtx(8);B=blkproc(x2,[88],'P1*x*P2',T,T');%计算各8×8模块的DCTmask=[1111100011110000111000001100000010000000000000000000000000000000];%通过模板中1和0的位置，就可以对DCT系数进行取舍B2=blkproc(B,[88],‘P1.*x’,mask);%应用模板，舍弃大部分DCT低幅系数I2=blkproc(B2,[88],‘P1*x*P2’,T‘,T);%DCT反变换figure;imshow(x2);figure;imshow(I2);不同模板的压缩效果1111100011110000111000001100000010000000000000000000000000000000111111101111110011111000111100001110000011000000100000000000000011100000110000001000000000000000000000000000000000000000000000005小波变换简介一.小波变换的理论基础傅里叶变换只能提供信号在整个时间域上的频率，不能提供信号在某个时间段上的频率信息；与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Motherwavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。为了用傅立叶变换研究一个模拟信号的谱特性，必须获得信号在时域中的全部信息，包括将来的信息，即傅立叶变换对时间的分辨率为0，对频率的分辨率为无穷。如果一个信号在某个时刻的一个小的邻域中变化了，那么整个频谱就受到影响。如语音信号、地震信号等，希望知道信号在突变时刻的频率成分，如利用傅立叶变换，这些非平稳的突变成分被傅立叶变换的积分作用平滑了。可以看出，在非平稳信号分析和实时信号处理的许多应用中，只有傅立叶变换公式是不够的，傅立叶变换无法反映信号的局部时域和频域特性，只适宜处理平稳信号正是由于傅立叶变换存在不能同时进行时间-评论局部分析的缺点，Gabor提出一种加窗傅立叶变换在信号的时间-频率分析中，D.Gabor注意到了傅立叶变换的不足，在1946年，论文中为提取信号傅立叶变换的局部信息，引入了一个时间局部变化的“窗函数”，－称为Gabor变换，又称为加窗傅立叶变换但Gabor变换的时-频窗口是固定不变的，窗口没有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这是Gabor变换的主要缺点在非平稳信号的分析中，希望存在一种变换函数，它能满足：对于高频谱的信息，时间间隔要相对的小，以便给出比较好的精度；而对于低频谱的信息，时间间隔要相对的宽，以便给出完全的信息，也就是说，要有一个灵活可变的时间-频率窗，使在高“中心频率”时，时窗宽度自动变窄；在低“中心频率”时，时频窗宽度自动变宽1984由法国的从事石油勘测信号处理的地球物理学家Morlet提出的，他在分析地震波的时频局部特性时，希望使用在高频处时窗变窄，低频处频窗变宽的自适应变换。引用高斯余弦调整函数，将其伸缩和平移得到一组函数系数，后称为“Morlet小波基”作为多尺度分析工具，小波变换为信号在不同尺度上的分析和表征提供了一个精确和统一的框架。小波起源：“小”是指在时域具有紧支集或近似紧支集，“波”是只具有正负交替的波动性，直流分量为0。小波概念：是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数用镜头观察目标(待分析信号)。代表镜头所起的作用(如滤波或卷积)。相当于使镜头相对于目标平行移动。的作用相当于镜头向目标推进或远离。小波变换的粗略解释连续小波变换的定义连续小波变换的定义尺度因子的作用是将基本小波做伸缩，越大越宽。

小波的位移与伸缩连续小波变换的定义连续小波变换的定义是一个无限维向量空间，称为平方可积空间称为一个“基小波”或“母小波”。小波变换的含义是：把基本小波(母小波)的函数作位移后，再在不同尺度下与待分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。设，当满足允许条件时：连续情况时，小波序列为：(基本小波的位移与尺度伸缩)其中为尺度参量，为平移参量。离散的情况，小波序列为：

根据容许条件要求，当ω=0时，为使被积函数是有效值，必须有，所以可得到上式的等价条件为：此式表明中不含直流，只含有交流，即具有震荡性，故称为“波”，为了使具有局部性，即在有限的区间之外很快衰减为零，还必须加上一个衰减条件：衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称为“小”，所以称为小波。对于任意的函数的连续小波变换定义为：逆变换为：是尺度因子，反映位移。

内积：卷积：

1.连续小波变换（CWT）

像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。图1表示了正弦波和小波的区别，由此可以看出，正弦波从负无穷一直延续到正无穷，正弦波是平滑而且是可预测的，而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数，其平均值为0，小波趋于不规则、不对称。图1正弦波和小波（a）正弦波曲线；(b)小波曲线持续宽度相同振荡波从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号，用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描述信号的局部特征。连续小波变换（ContinuousWaveletTransform，CWT）用下式表示：表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函数ψ()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和平移（positon）的函数。基本小波函数ψ()的缩放和平移操作含义如下：

(1)缩放。简单地讲，缩放就是压缩或伸展基本小波，缩放系数越小，则小波越窄，如图所示。小波的缩放操作

(2)平移。简单地讲，平移就是小波的延迟或超前。在数学上，函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，如图所示。图小波的平移操作(a)小波函数ψ(t)；(b)位移后的小波函数ψ(t-k)(1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述)(2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性(3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)(4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法)小波变换存在以下几个优点：

CWT计算主要有如下五个步骤：第一步：取一个小波，将其与原始信号的开始一节进行比较。

第二步：计算数值C，C表示小波与所取一节信号的相似程度，计算结果取决于所选小波的形状，如图1所示。第三步：向右移动小波，重复第一步和第二步，直至覆盖整个信号，如图2所示。第四步：伸展小波，重复第一步至第三步，如图3所示。图1计算系数值C

图2计算平移后系数值C图3计算尺度后系数值C

第五步：对于所有缩放，重复第一步至第四步。小波的缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信号的细节变化，表示信号频率越高；缩放因子scale越大，表示小波越宽，度量的是信号的粗糙程度，表示信号频率越低。

2.离散小波变换（DWT）

在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j>0且为整数）的倍数，即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，就会使分析的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换（DyadicWaveletTransform），它是离散小波变换（DiscreteWaveletTransform，DWT）的一种形式。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器，该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法。这种方法实际上是一种信号分解的方法，在数字信号处理中常称为双