概率论与数理统计第3讲

我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为古典概型一、古典概型

假定某个试验有有限个可能的结果

假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.e1,e2,…，eN

,常常把这样的试验结果称为“等可能的”.e1,e2,…，eN试验结果你认为哪个结果出现的可能性大？23479108615

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.1324567891010个球中的任一个被取出的机会都是1/1023479108615我们用i表示取到i号球，i=1,2,…,10.称这样一类随机试验为古典概型.34791086152且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.S={1,2,…,10},则该试验的样本空间如i=2

称这种试验为有穷等可能随机试验

或古典概型.定义1

若随机试验满足下述两个条件：

(1)它的样本空间只有有限多个样本点；

(2)每个样本点出现的可能性相同.

二、古典概型中事件概率的计算记A={摸到2号球}

P(A)=?

P(A)=1/10记B={摸到红球}

P(B)=?

P(B)=6/10223479108615132456这里实际上是从“比例”转化为“概率”记B={摸到红球}

P(B)=6/10静态动态当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.23479108615

这样就把求概率问题转化为计数问题.定义2

设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.

A包含的样本点数

P(A)＝k/n＝

S中的样本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具.请回答：1、怎样的一类随机试验称为古典概型？2、如何计算古典概型中事件的概率？为什么这样计算？下面我们就来介绍如何计算古典概率.基本计数原理这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的1.加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…；第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm

种方法.例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3

+2

种方法回答是基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.2.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.三、排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：顺序不同是不同的排列3把不同的钥匙的6种排列而组合不管顺序从3个元素取出2个的排列总数有6种从3个元素取出2个的组合总数有3种1、排列:

从n个不同元素取k个（1kn)的不同排列总数为：k=n时称全排列排列、组合的几个简单公式ABDC例如：n=4,k=3第1次选取第2次选取第3次选取BDCBCDBDC……从n个不同元素取k个（允许重复）（1kn)的不同排列总数为：例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能取法2、组合:从n个不同元素取k个（1kn)的不同组合总数为：常记作，称为组合系数。你能证明吗？组合系数又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：3、组合系数与二项式展开的关系令

a=-1,b=1利用该公式，可得到许多有用的组合公式：令

a=b=1,得由有比较两边

xk

的系数，可得

运用二项式展开4、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rk的分法总数为r1个元素r2个元素rk个元素…n个元素因为请回答：对排列组合，我们介绍了几个计算公式？排列：选排列，全排列，下面我们就用这些公式来计算.分组分配.

组合；允许重复的排列;四、古典概率计算举例例1

把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：CISNCEE问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？拼成英文单词SCIENCE

的情况数为故该结果出现的概率为：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次.解：七个字母的排列总数为7！这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.解：=0.3024允许重复的排列问：错在何处？例2

某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.