动态法测量杨氏模量

南昌大学物理实验报告课程名称： 普通物理实验（2） 实验名称： 动态法测量杨氏模量 学院：理学院 专业班级: 应用物理学152班学生姓名： 学号： 实验地点： B510 座位号： 22实验时间： 第二周星期五下午4点开始 一、 实验目的：1、 理解动态法测量杨氏模量的基本原理。2、 掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。3、 了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。学会用示波器观察判断样品共振的方法。4、 培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。二、 实验仪器:信号发生器，动态弹性模量测定仪，铜棒，示波器。c住Hc住H啲■謝世头IkSt三、1、三、1、2、杨氏模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变的比值，其数值的大小与材料的结构、化学成分和加工制造方法等因素有关。测量杨氏模量有多种方法，可分为静态法、动态法和波传播法三类。此实验中所采用动态法，既可测量金属的杨氏模量，也可以测量玻璃、陶瓷材料的杨氏模量，测量准确度也较高。卜 L1、x如图1所示，长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为也+2^=0（1） Odx4EJdt2 O其中，棒的轴线沿x方向，y为棒上距左端x处截面的y方向位移，E为杨氏. . 图1细长棒的弯曲振动模量，单位为Pa或N/m2；p为材料密度；S为截面积；J为某一截面的转动惯 图1细长棒的弓曲振丿动量，J=y2ds。横振动方程的边界条件为：棒的两端（x=0、L）是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用s分离变量法求解方程（1），令y（x,t）=X（x）T（t），则有1d4X_pS.丄 （2）Xdx4EJTdt2由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。假设此常数为K4,

则可得到下列两个方程(3)(4)(5)(6(3)(4)(5)(6)(7)d4Xdx4型+KW7=0dt2 pS如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为X(X)=aiChKx+a2shKx+a3C0SKX+a4SinKXT(t)=bcos(®t+9)于是可以得出y(x,t)=(aichKx+shKx+ cosKx+a4sinKx)•bcos(®t+9)式中K4EJ2®= PS式（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，贝［根据边界条件可以得到cosKL•chKL=1 （8）采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系KL=0,4.730,7.853,10.996,14.137,…… （9）n其中第一个根K0L=O对应试样静止状态；第二个根记为$厶=4.730,所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或称固有频率，此时的振动状态如图2（a）所示；第三个根K2L=7.853所对应的振动状态如图2（b）所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的$值代入频率公式，可得到杨氏模量为图2两端自由的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形(10)E=1.9978x10-3PLSw2=7.8870x10-2Lmf2

(10)如果试样为圆棒（dvvL）,则J=^，所以式（10）可改写为64E=1.6067Lmf2

d4同样，对于矩形棒试样则有L3rmE冶=6.9464——f2

矩 bh3式中m为棒的质量，f为基频振动的固有频率，d为圆棒直径，b和h分别为矩形棒的宽度和高度。如果圆棒试样不能满足dvvL时，式（11）应乘上一个修正系数匚，即E=1.6067L3mf2T （13）d4 1上式中的修正系数-可以根据径长比d/L的泊松比查表1得到。表1径长比与修正系数的对应关系径长比d/L0.010.020.030.040.050.060.080.10修正系数耳1.0011.0021.0051.0081.0141.0191.0331.055由式（10）〜（12）可知，对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态杨氏模量，所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率。本实验只能测出试样的共振频率，物体固有频率固和共振频率共是相关的两个不同概念，二者之间的关系为固 共f固=+盘 （⑷上式中Q为试样的机械品质因数。一般Q值远大于50，共振频率和固有频率相比只偏低0.005%,二者相差很小，通常忽略二者的差别，用共振频率代替固有频率。3、 理论上试样在基频下共振有两个节点，要测出试样的基频共振频率，只能将试样悬挂或支撑在0.224L和0.776L的两个节点处。但是，在两个节点处振动振幅几乎为零，悬挂或支撑在节点处的试样难以被激振和拾振。4、 实验时由于悬丝或支撑架对试样的阻尼作用，所以检测到的共振频率是随悬挂点或支撑点的位置变化而变化的。悬挂点偏离节点越远（距离棒的端点越近），可检测的共振信号越强，但试样所受到的阻尼作用也越大，离试样两端自由这一定解条件的要求相差越大，产生的系统误差就越大。由于压电陶瓷换能器拾取的是悬挂点或支撑点的加速度共振信号，而不是振幅共振信号，因此所检测到的共振频率随悬挂点或支撑点到节点的距离增大而变大。为了消除这一系统误差，测出试样的基频共振频率，可在节点两侧选取不同的点对称悬挂或支撑，用外延测量法找出节点处的共振频率。四、实验内容和步骤:1、 连接仪器：动态弹性模量测定仪激振信号输出端接激振器的输入端，拾振信号的输入端接拾振器的输出端，拾振信号的输出端接示波器Y通道。2、 开机调试：开启仪器的电源，调节示波器处于正常工作状态，信号发生器的频率置于适当挡位（例如2.5kHz挡），连续调节输出频率，此时激发换能器应发出相应声响。轻敲桌面，示波器Y轴信号大小立即变动并与敲击强度有关，这说明整套实验装置已处于工作状态。3、 鉴频率与测量：由低到高调节信号发生器的输出频率，正确找出试样棒的基频共振状态，从频率计上读出共振频率。4、 测量基频共振频率：取对称的两个节点测