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DDY整理第四节矢量的数量积与矢量积一、数量积（点积）

设一物体在常力作用下沿直线从点O移动到点P，则物体的位移，力所做的功。定义：两个矢量与的模与其夹角的余弦之积称为与的数量积（或称内积、点积），记作

既或运算性质：（1）交换律（2）结合律（3）分配律

其中为常数。两个结论：

（1）（2）两个非零矢量与相互垂直的充要条件是既注：规定零矢量与任何矢量垂直，所以两矢量

与垂直的充要条件是.

数量积的坐标表达式设；

则两矢量夹角的余弦为(,均为非零矢量)或其中为的方向角，为的方向角。例1设，，求。解例2已知三点求矢量和的夹角。解

所以例3证明：矢量垂直于矢量。解

垂直于向量例4设，求的模。解

例5设若，则？解

所以二、矢量积（叉积）定义：两个矢量与的矢量积仍是一个矢量，

记作，其模为，其方向由到按右手法则决定，且。

即

，且注：矢量积的结果是矢量。运算性质：（1）反交换律

（2）结合律

（3）分配律

两个结论：（1）

（2）两个非零矢量与平行的充要条件是即注：在几何上表示以矢量为邻边的平行四边形的面积。

矢量积的坐标表达式设，则

所以

例6设求。解

例7设求与都垂直的单位矢量。解

与和都是垂直的，例8设求。解

，例9设与的夹角为，，求。解例10设与的夹角为，，求

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