理学差异量数

第四章差异量数差异量数是对一组数据的变异性（离中趋势）进行度量和描述的统计量。常用的差异量数：绝对差异量数：全距、四分位差、百分位差、平均差、标准差、方差等。相对差异量数：异众比例、平均差系数、标准差系数（差异系数）和一些常用的偏态系数。第一节全距、百分位差与四分位差1.全距(Range)

R=Xmax–Xmin

[例]求74，84，69，91，87，74，69的全距。[解]把数字按顺序排列：69，69，74，74，84，87，91

R=Xmax–Xmin

＝91—69＝22最大值和最小值之差，也叫极差。全距越大，表示变动越大。

运用上述方法计算左边数列的全距对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距：（1）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值

（2）用组值最大组的上限减去最小组的下限（3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限或最大组的上限减去最小组的组中值组距f150~1563156~1629162~16825168~17434174~18020180~1867186~1921192~1981合计100优点：缺点：计算简单、直观。

（1）受极端值影响大；（2）没有度量中间各个单位间的差异性，数据利用率低，信息丧失严重；（3）受抽样变动影响大，大样本全距比小样本全距大。百分位差百分位差是指两个百分位数之差。常用的百分位差有两种：p90-p10

，p93-p7百分位数能够较好的反映一组数据的离散程度。百分位数百分等级百分等级是指一组有序数据中某一数据以下所含次数占总次数的百分比，通常用符号PR表示。在教育上，常用百分等级表示一个分数在团体中的相对位置。百分等级越低，个体在团体中所处的地位越差。如果某分数的百分等级PR=70，则表明团体中有70%的人的成绩低于该分数。百分等级对于分组资料，计算百分等级的公式为例196名学生外语考试成绩的次数分布表如下。某考生分数为83，求其百分比等级是多少？组限次数累积次数(由下向上)95-99319690-94619385-89718780-841418075-791616670-743515065-694211560-64307355-59214350-5462245-4941640-4441235-393830-342525-292320-2411合计196

196名学生外语成绩次数分布表解：因83属于80-84组，所以有f=14Fb=166,Lb=79,i=5,N=196。将上述数值代入公式，得

即该生成绩的百分等级为90，表明团体中有90%的学生成绩低于他的成绩。中间50%的次数的距离的一半。简言之：第三四分位数和第一四分位数的差值的一半。避免全距受极端值影响大的缺点。通常与中位数配合使用。四分位差2023/10/2513未分组资料求四分位数的方法同中数。分组资料Q1和Ｑ3的求法，Q1和Q3的公式分别为(3.7)(3.8)2023/10/2514某校144名学生的外语成绩次数如下，求其四分位差。X次数f由下向上累加次数90-94114485-89314380-84514075-791613570-741811965-692210160-64307955-59254950-54162445-493844以下55表3-5某校144名学生外语成绩次数分布表

解：首先确定Q1和Q3所在组，方法同确定中位数。由于N=144，N/4=36，3N/4=108，所以Q1在55-59组，Q3在70-74组。

最后将求得的Q1和Q3代入公式，得即144名学生外语成绩的四分位差为7.27分。第二节平均差、方差、标准差要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各变量值相对于平均数的差异情况，一个很自然的想法就是计算各变量值与算术平均数的离差。平均差是离差绝对值的算术平均数。1.对于未分组资料

2.对于分组资料

[例1]试分别以算术平均数为基准，求85，69，69，74，87，91，74这些数字的平均差。

[例2]试以算术平均数为基准，求下表所示数据的平均差。

组距f150~1563156~1629162~16825168~17434174~18020180~1867186~1921192~1981合计100第二节平均差、方差、标准差平均差优缺点：优点：平均差优于四分位差和极差。用离开平均数的平均距离表示数据的离散程度，符合人们常识，易于理解。计算考虑了每一个数值，稳定可靠。不易受样本抽样影响。缺点计算过程中求绝对值，不适合进行下一步代数运算。第二节平均差、方差、标准差标准差是一组数据中每个数据与其算术平均数之差的算术平均数的算术平方根。用符号S表示。——未分组资料计算标准差1、基本公式法

例某校四年级举行数学竞赛，一班、二班分别派九名选手参加，如下表。试比较两个班的成绩。X929083807570625550X-19171072-3-11-18-23(X-)^23612891004949121324529表4-1一班成绩统计表X1009795858075624020X-2724221272-8-33-53(X-)^27295764841444946410892089表4-2二班成绩统计表解：先求四年一班的平均数和标准差。算得再求四年一班的平均数和标准差。得从以上计算可知，两班平均数都是73分，说明两班的平均水平相同。但它们的标准差不同，说明两班成绩的差异程度很不相同。一班的差异程度较小，平均分数73的代表性就较大；二班的差异程度较大，平均分数73的代表性就小些。2、原始数据法为了减少计算量，可将公式进行转换，使公式中参与运算的变量皆为原始数据。公式为例2用原始数据法计算表4-1的标准差解：∑X=657，∑X2=49747N=9，代入公式（4.2）得 ——分组资料标准差的计算方法

分组资料指编制成次数分布的资料，此时以组中值作为各组的代表值。计算公式为其中：Xc为各级组中值；为算术平均数；N为总次数；f为各组次数。

某年级144名学生语文成绩如下表，求其标准差。组别XcfXc-(Xc-)^2f(Xc-)^265-6967314.20201.68605.0460-646269.2084.67507.9955-5957424.2017.65741.3750-545258-0.800.6436.9945-494730-5.8033.621008.7240-44425-10.80116.61583.05∑

144

3483.16144名学生语文成绩表

解：将算得的∑f(Xc-)^2=3483.16、及N=144代入公式（4.3），得

也可用下列公式进行计算：（不用计算均值）组距离差计算法 某年级144名学生语文成绩如下表，求其标准差。用组距离差计算方法。组别XcfXc-(Xc-)^2f(Xc-)^265-6967314.20201.68605.0460-646269.2084.67507.9955-5957424.2017.65741.3750-545258-0.800.6436.9945-494730-5.8033.621008.7240-44425-10.80116.61583.05∑

144

3483.16144名学生语文成绩表方差具有可加性特点。当已知几个小组数据的方差或标准差时，可以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。注意：只有应用同一种观测手段，测量的是同一种特质，只是样本不同的数据时，才能计算合成方差或者标准差。——由各部分的标准差合成总标准差的计算方法——由各部分的标准差合成总标准差的计算方法sT为总标准差；si为小组标准差；Ni为各小组个数；di=总平均数-各小组平均数例：在三个班级进行某项能力研究，三个班测查结果的平均数和标准差分别如下，求三个班的总标准差。班级人数n平均分标准差12345384075786998101.024.02-4.981.0416.1624.88164100例：求总标准差解:①求总平均数:

②求,填入表内第5、6、7列。③代入公式：

例某年级四个班的学生人数分别为50人、52人、48人、51人。期末数学考试各班平均成绩分别为90分、85分、88分、92分，标准差分别为6分、5.5分、7分、8.2分。求四个班成绩的总标准差。解：设N1=50，N2=52，N3=48，N4=51第二节平均差、方差、标准差方差的性质方差是对一组数据中各种变异的总和的测量，具有可加性和可分解性。统计实践中常利用方差的可加性去分解和确定属于不同来源的变异性（如组内、组间等），并进一步说明各种变异对总结果的影响，是以后统计推论中最常用的统计特征数。

第二节平均差、方差、标准差标准差的特性每一个观测值都加上一个相同常数C之后，计算得到的标准差等于原标准差。每一个观测值都乘以一个相同的常数C，则所得的标准差等于原标准差乘以这个常数。以上两点相结合，每一个观测值都乘以同一个常数C(C≠0)，再加上一个常数d，所得的标准差等于原标准差乘以这个常数C。第二节平均差、方差、标准差标准差和方差的意义方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标。其值越大，说明次数分布的离散程度越大，该组数据较分散；标准差具备一个良好的差异量数应具备的条件：①反应灵敏；②计算公式严密确定；③容易计算；④适合代数运算；⑤受抽样变动影响小；⑥简单明了。标准差与其他各种差异量数相比，具有数学上的优越性。如可以知道落在平均数各一个标准差内的数据所占的百分比。切比雪夫定理随机变量落在平均值附近的概率与标准差有一定的数量关系。任意一个数据集合，位于其平均数n个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1-1/n2，其中n为大于1的任意正数。对于n=2和n=3有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。所有数据中，至少有8/9（或89%）的数据位于平均数3个标准差范围内。

一、差异系数又称变异系数、相对标准差等，用CV来表示。第三节标准差的应用例：已知某小学一年级学生的平均体重为24.5千克,体重的标准差为3.6千克;平均身高为110厘米,标准差为6.2厘米,问体重与身高的离散程度哪个大？例：某市2个月组女童的体重的平均数为5.45千克,标准差为0.62千克;6岁组女童的平均体重为19.02千克,标准差为2.12千克。试比较两组女童体重的离散情况。应用条件两个或两个以上样本所使用观测工具不同，所测的特质不同；即比较单位不同的各组数据的离散程度。两个或两个以上样本使用的是同一种观测工具，所测的特质相同，但样本间的水平相差较大。比较单位相同但平均数相差较大的各组数据的离散程度第三节标准差的应用差异系数的用处应用标准差系数的注意事项⑴测量的数据要保证具有等距尺度，这时计算的平均数和标准差才有意义，应用差异系数进行比较才有意义。⑵观测工具应具备绝对零，这时应用差异系数去比较分散程度效果才更好。因此，差异系数常用于重量、长度、时间、编制得好的测验量表范围内。⑶差异系数只能用于一般的相对差异量的描述，至今尚无有效的假设检验方法，因此差异系数不能进行统计推论。例：已知某小学一年级学生的平均体重为24.5千克,体重的标准差为3.6千克;平均身高为110厘米,标准差为6.2厘米,问体重与身高的离散程度哪个大？例：某市2个月组女童的体重的平均数为5.45千克,标准差为0.62千克;6岁组女童的平均体重为19.02千克,标准差为2.12千克。试比较两组女童体重的离散情况。第三节标准差的应用你会做了吗小赵同学数学95分语文80分那门课好？问该同学究竟是数学好还是语文好？原始分是有弊端的。如何衡量两个成绩的高低？第三节标准差的应用二、标准分数标准分数是原始数据与算术平均数之差除以标准差所得之商，用符号Z表示。标准分数是以标准差为单位表示一个原始分数在团体中所处位置的相对位置量数。第三节标准差的应用

Z分数的性质：Z分数无实际单位，是以平均数为参照点，以标准差为单位的一个相对量数Z分数可以是正值也可是负值，Z分数的算术平均数等于0Z分数的标准差等于1，方差也等于1若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有

Z分数均值为0，标准差为1的标准正态分布。第三节标准差的应用标准分数的优点：可比性可加性明确性，比如确切知道学生的学习进步情况。稳定性第三节标准分数的应用1.比较几个性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低例：测验一个班级的数学成绩，平均数为80分，标准差为8分；又测验了该班的语文成绩，平均数为70分，标准差为5分。甲生在数学测验中得81分，在语文测验中得78分，问该生哪一科成绩好？解：2.计算不同质的观测值的总和或平均值，以表示在团体中的相对位置例在招生考试时，有甲、乙两考生的各科成绩如下表如果这两个考生只录取一个，应录取哪位考生？第三节标准分数的应用考试科目个人分数全体考生个人标准分甲乙平均分标准差甲乙语文数学外语政治历史74873278708