第四章-梁的内力剪力和弯矩

§4-1工程实际中的受弯杆§4-2梁的内力—剪力和弯矩§4-3剪力图和弯矩图§4-4

荷载、剪力和弯矩间的关系§4-5

用叠加原理作剪力图和弯矩图第四章梁的内力—剪力和弯矩24.1工程实际中的受弯杆弯曲内力4.1.1梁的受力与变形特点弯曲内力梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。变形特点：原为直线的轴线变为曲线。弯曲内力对称轴(symmetricalaxis)平面弯曲(planebending)：当所有外力(或者外力的合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条平面曲线。Pmq杆件轴线纵向对称面4.1.2平面弯曲的概念弯曲内力一、梁本身的简化：以轴线代替梁，长度称为跨度。二、载荷简化计算简图—表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。1.集中力(N，kN)Pqmm2.集中力偶(Nm，kNm)3.分布载荷(N/m，kN/m)4.1.3梁的简化—计算简图的选取弯曲内力①固定铰支座（fixedsupport）：2个约束②可动铰支座(hingesupport）：1个约束三、支座简化③固定端（fixed-endsupport）：3个约束XAYAMAXAYAAAAAAAAYA弯曲内力①简支梁(simplesupportedbeam)②悬臂梁(cantileverbeam)静定梁：仅由静力平衡条件可唯一确定梁的全部支反力和内力。③外伸梁(overhangingbeam)4.1.4梁的基本形式弯曲内力例：求截面1-1上的内力。解：(1)确定支反力RA和RB(2)取左段梁为脱离体：x1F1aABm1RARBxMQC§4-2梁的内力—剪力和弯矩F1RAMQRBm4.2.1截面法求梁的内力对截面形心C取矩！弯曲内力内力的正负规定:①剪力Q(shear):绕研究对象顺时针转为正

（使之左上右下错动）；反之为负。②弯矩M(moment)：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。或者说：使梁上侧纤维受压，下侧纤维受拉为正。Q(–)Q(–)Q(+)Q(+)M(+)M(+)M(–)M(–)[例4-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。解：1-1截面:qqlab1122x1ql弯曲内力x2qlQ1M1Q2M22-2截面:11(1)某横截面上的剪力Fs，在数值上等于该横截面左侧或者右侧梁上外力(不包括力偶）的代数和。该横截面左侧梁上的外力向上取正值，向下取负值；该横截面右侧梁上的外力向上取负值，向下取正值。(2)某横截面上的弯矩M，在数值上等于该横截面左侧或者右侧梁上外力对该横截面形心取矩的代数和。该横截面左侧梁上的外力对截面形心取矩顺时针为正值，逆时针为负值；该横截面右侧梁上的外力对截面形心取矩逆时针为正值，顺时针为负值。口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。

4.1.4直接法求梁的内力弯曲内力12计算1-1,2-2截面的剪力和弯矩。解：计算支反力

FBFA（可用右段进行验证!）

注：若求得的支反力为负值，则需按实际方向画出！例题4-2（与保留左端求得结果一致）弯曲内力弯曲内力1.内力方程：2.剪力图(diagramofshearingforce)和弯矩图(diagramofbendingmoment)：表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。剪力方程(equationofshearingforce)：Q=Q（x）弯矩方程(equationofbendingmoment)：M=M（x）xQ计算步骤：(1)确定支座反力；(2)分段建立剪力、弯矩方程；(3)作剪力图、弯矩图。§4-3剪力图与弯矩图

xM（弯矩图画在梁受拉的一侧！）[例4-3]

求图示简支梁的内力方程并画内力图。解:(1)计算支反力：以整梁为研究对象lABqRARB(2)建立剪力、弯矩方程：xRAxqQ(x)M(x)(3)绘制剪力图、弯矩图ql/2ql/2-++ql2/8MQ在Q=0处，M取得最大值。弯曲内力RARBxFb/lFa/l-++M解:(1)计算支反力：(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、CB两段考虑，以A为原点。(3)绘制剪力图、弯矩图：AC段：RAxQ(x)M(x)CB段：ABFalbCRAxQ(x)M(x)FFab/l在集中力F作用点处，Q图发生突变，M图出现折点！弯曲内力Qm/l-+MRAQ(x)M(x)RAxQ(x)M(x)ma/l在集中力偶m作用点处，M图发生突变，Q图不受影响。解：(1)计算支反力：(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、CB两段考虑，以A为原点。AC段：CB段：RARBxlabABmCxm(3)绘制剪力图、弯矩图：+mb/l弯曲内力Q弯曲内力[例4-4]

求下列各悬臂梁的内力方程并画内力图。lFFlMlq从右往左取研究对象从左往右取研究对象MFQqlQ18列出剪力方程和弯矩方程，并作Q图和M图。(a)

xBAl/2l/2CqFAFB例4-71.求支座的约束反力(校核:)弯曲内力192.分段建立剪力方程和弯矩方程

AC段：

(a)CB段：（以x截面右边为分离）

xBAl/2l/2Cq弯曲内力203．求控制截面的内力，绘Q、M图

FS图：

AC段内剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，计算A和C端截面的剪力值CB段内剪力方程为常数，剪力图为水平线。(b)

Qx38

l18

ql38

ql(a)

xBAl/2l/2Cq弯曲内力21(b)

Qx38

l18

ql38

ql(a)

xBAl/2l/2CqAC段内弯矩方程是x的二次函数，为二次抛物线，需求出三个截面的弯矩。尚需考察该段内弯矩有无极值：极值弯矩为:M图：弯曲内力22CB段内弯矩方程是x的一次函数，只需求出两个端点的弯矩。(b)

x38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql2梁的弯矩图如图c所示。(a)

xBAl/2l/2Cq标注单位、符号和特征值！弯曲内力Q弯曲内力对dx段进行平衡分析：dxxq(x)q(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)Q(x)M(x)dxy

剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的荷载集度。§4-4荷载、剪力和弯矩间的关系弯曲内力Q(x)+dFS(x)Q(x)dxAyM(x)+dM(x)M(x)弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。q(x)弯矩图上一点处的凸凹方向可由梁上该点处荷载集度q(x)符号决定。25自左向右突变

外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Q图特征M图特征CPCm水平直线xQQ>0QQ<0x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1–Q2=P自左向右突变xQC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM上凸xM下凸自左向右折角逆时针向上突变xM在C处有尖角

MxM1M21、几何关系2、突变规律弯曲内力作图步骤：1.求支座反力。2.分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、曲线），分段原则：集中力、集中力偶、支座、分布荷载起点及终点处3.求每一段控制截面的Q、M值，4.按规律连线，确定|Q|max和|M|max

。弯曲内力27

一简支梁在其中间部分受集度为

q=100kN/m的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。x(b)+-100kN100kNFSxFS

图yFAFBABCDE2m1m4mq(a)+100150100xMM图（kN·m）(c)例题4-8弯曲内力28

该梁的荷载及约束均与跨中对称，可得FA和FB为1.

校核剪力图yFAFBABCDE2m1m4mq(a)例题4-8解:AC段和DB段内无荷载作用，剪力图均为水平线。其剪力值分别为+-100kN100kNFSxFS

图(b)CD段内有向下（q<0）的均布荷载作用，该段的剪力图为向右下方倾斜的斜直线。可见图b所示剪力图是正确的。弯曲内力292.校核弯矩图+100150100xMM图（kN·m）(c)yFAFBABCDE2m1m4mq(a)AC和DB段内无分布荷载作用，弯矩图均为斜直线。控制点的弯矩分别为:MB=0MD=100kN·m；CD段均布荷载向下，其弯矩图为下凸的二次抛物线。FS=0即x=2m处，M有极值：则图示的弯矩是正确的。MA=0，MC=100kN·m；例题4-8+-100kN100kNFSxFS

图(b)弯曲内力30已知：图中梁的约束力为试指出下列图示梁各自内力图中的错误。正确答案：弯曲内力31已知：图中梁的约束力为正确答案：弯曲内力32已知图中梁的约束力为：正确答案：弯曲内力33a2aaqqa2ABQx––+qa/4qa/43qa/47qa/449qa2/325qa2/4弯曲内力34Fsxqa/2qa/2qa/2––+qa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+qqa2qaABCDaaa弯曲内力35ABCD1m1m1mxM

15kNm5kNm20kNmxFs30kN20kN10kN+弯曲内力36M10kNm12.5kNm10kNm驻点D:2m1mABC10kN10kND+1.5mFs弯曲内力37解:DABCD1m1m1m20kNm20kN/m5kN15kN520Fs/kN51510M/kNm弯曲内力38ABCaa–Fs+M弯曲内力39已知FS图，求下列梁外载及M图(梁上无集中力偶）1m1m2m231q=2kN/m5kN1kN+–+11ABCDE(kN·m)MFS(kN)1.25弯曲内力401KN+–+3KN2KN0.5m1m1.5m2KN1KN5KNMFSABCD解:斜线段:M驻点:－＋弯曲内力41已知M图,求荷载图及剪力图。ADCB40KN

20KN

20KN

20KN20KN解:1m1m1mABDC弯曲内力4220KN2m2m2m20KN

20KN

ADCB解:已知M图,求荷载图及剪力图。弯曲内力43积分关系（面积增量关系）即：弯矩函数的增量等于对应梁段上剪力图的面积。

若将载荷图、剪力、弯矩三图上下对齐，则下图函数的增量等于上图的面积。当两横截面间无集中力作用时：当两横截面间无集中力偶作用时：即：剪力函数的增量等于对应梁段上分布载荷图的面积。弯曲内力44aaqaqABC试画梁的内力图。Fsxqa–qa2–xMM

利用面积增量关系计算各截面的FS、M弯曲内力弯曲内力叠加原理(principleofsuperposition)：当梁上同时作用几个载荷时，梁的弯矩为每个载荷单独作用时所引起弯矩的代数和。叠加法(superpositionmethod)：应用叠加原理计算梁的内力和反力的方法。前提条件：小变形，材料服从虎克定律。步骤：①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。§4-5用叠加法作弯矩图弯曲内力[例5-11]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。qF=+ABFABqAB=+

M2a弯曲内力[例5-12]作下列图示梁的内力图。FFlll0.5F0.5F0.5F0.5FF0ABFABFS=+=+FLABF-0.5F0.5F+-0.5F-C弯曲内力0.5FlMFl0.5Fl0.5FlFFlll0.5F0.5F0.5FF0ABFAB=+FlABC=+0.5F一、选择题1、平面弯曲变形的特征是

。（A）弯曲时横截面仍保持为平面。（B）弯曲载荷均作用在同一平面内。（C）弯曲变形后的轴线是一条平面曲线。（D）弯曲变形后的轴线与载荷作用面共面。2、在下列诸因素中，梁的内力图通常与

有关。（A）横截面形状。（B）横截面面积。（C）梁的材料。（D）载荷作用位置。DD本章习题弯曲内力3、一跨度为L的简支梁，若仅承受一个集中力P，当P在梁上任意移动时，梁内产生的最大剪力FSmax和最大弯矩Mmax分别满足

。（A）Qmax≤P，Mmax≤PL/2（B）Qmax≤P/2，Mmax≤PL/4（C）Qmax≤P，Mmax≤PL/4（D）Qmax≤P/2，Mmax≤PL/24、一跨度为L的简支梁，若仅承受一个集中力偶M0，当M0在梁上任意移动时，梁内产生的最大剪力FSmax和最大弯矩Mmax分别为

。（A）Qmax=0，Mmax=M0

（B）Qmax=0，Mmax=M0

/2（C）Qmax=M0

/l

，Mmax=M0

（D）Qmax=M0

/l

，Mmax=M0

/2CA弯曲内力5、在下列说法中，

是正确的。（A）当悬臂梁只承受集中力时，梁内无弯矩。（B）当悬臂梁只承受集中力偶时，梁内无剪力。（C）当简支梁只承受集中力时，梁内无弯矩。（D）当简支梁只承受集中力偶时，梁内无剪力。6、用叠加法求弯曲内力的必要条件是

。（A）线弹性材料。（B）小变形。（C）线弹性材料且小变形。（D）小变形且受弯杆件为直杆。BC弯曲内力7、若梁的受力情况对称于中央截面，则中央截面上的

。（A）剪力为零，弯矩不