理学有限元讲稿

1弹性力学研究基本内容

弹性力学和材料力学的任务是相同的，都是分析各种工程结构或构件在弹性阶段的应力和位移变化情况。

但弹性力学研究的问题比材料力学更为广泛和深入，研究方法(数学方法)更为严密。如在材料力学中，梁的弯曲问题，需引入平截面的假设，而在弹性力学中可以给出梁弯曲的精确解，并检查上述假设的有效性。在工程中的应力集中问题，只能采用弹性力学分析方法加以解决。材料力学只研究一些简单的结构(如杆件、梁、柱构件等)，是弹性力学的一种特例。第二章弹性力学基础2弹性力学基本假设(比材料力学更为广泛与普遍)(1)、假设物体是完全弹性的；应力-应变关系为线性（正比）的，即服从虎克定律。(2)、假设物体是连续的；应力、应变、位移是连续变量；用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。(3)、假设物体是均匀的整个物体由同一材料组成；物体内部任一点的力学性能都是完全相同的。(4)、假设物体是各向同性的

物体的各向同性是指在物体内的每一点处；沿所有方向上的物理性质都是相同的。

凡是符合上述四个假设的物体，称为理想弹性体。

第二章弹性力学基础3弹性力学基本假设(5)、假设位移和变形是微小的物体在载荷或温度变化等外界因素作用下，整个物体内每点的位移都远小于物体原来的尺寸，因而应变和转角都远小于1。

应该指出，小变形的概念是相对而言的，如对（几十米或上百米）桥梁、高层建筑等，在外载作用下会产生较大的（可见）变形和位移，但与其结构尺寸仍属于小变形的研究范畴。线弹性力学：是目前理论严密、体系较完整，在工程中广泛应用的、进行结构受力分析的基本理论。第二章弹性力学基础4弹性力学中的基本概念

(1)、外力

作用于物体上的外力可以分为体积力和表面力，分别简称为体力和面力。

“体力”是指分布在物体整个体积内部的力，如重力和惯性力等，体力的量纲为[力][长度]-3

(a)。

“面力”是指分布在物体表面上的力，如流体压力、物体间接触力和分布载荷等。面力的量纲为[力][长度]-2(b)。第二章弹性力学基础5弹性力学中的基本概念

(2)、应力

物体受到外力的作用，或温度发生变化，其内部将产生内力。对物体内部任一点受力状态：

a、如何表示？b、用几个参量表示？

为了分析物体内任一点的内力状态，采用截面法（研究内力的基本方法）围绕该点取出一个微元体dxdydz。由于与该点处物体材料的强度直接相关的内力，是微元体表面的法向和切向力的分量(指单位面积上的力)，所以将微元体每一个面上的内力分解为一个正应力和两个剪应力。第二章弹性力学基础6应力(1)：正应力+剪切应力7应力(2):

切割平面应力分量yfaceydirectionyfacexdirectionyfacezdirectionxyz对其余的(x,z)2个面进行同样操作:定义3x3=9应力分量：3个正应力、6个剪切应力8应力(2):剪切应力对称性xyz微元立方体的力矩平衡要求剪切应力分量必须是对称的:9应力分量中只有6个是独立的。写成“张量”的形式：作用在Z面的应力分量F=9弹性力学中的基本概念

(3)、应变

物体受力作用后，其形状和尺寸将发生变化，这种变化归结为长度和角度的改变。同样有物体内部任一点变形：

a、如何表示？b、用几个参量表示？

与分析应力状态的方法类似，选取一微元立方体进行变形状态分析，与应力分量相对应：

正应力

正应变剪切应力

剪切应变第二章弹性力学基础10应变(1)对称应变张量：三个正应变、三个剪切应变正应力

拉伸

正应变

剪切11弹性力学中的基本概念

(4)、位移

位移就是物体中任一点位置的移动距离。在物体内任一点的位移，用其在x,y,z坐标轴上的投影u,v,w表示该点处的位移分量，沿坐标轴正向移动为正，负方向移动为负。位移的量纲为[长度]。第二章弹性力学基础12弹性平面问题的基本方程

对任何一个弹性物体而言，都是三维的空间问题。但在工程实际中，我们可以根据研究对象的具体情况进行具体分析，把空间问题简化为近似的平面问题，因为实际的三维问题确实很复杂。这样简化可以大大减少问题复杂性和计算工作量，并使问题能够求解，获得满足工程精度要求的结果。弹性平面问题主要分为两类：1、平面应力问题2、平面应变问题

第二章弹性力学基础13(1)平面应力问题

在工程中经常存在厚度尺寸与长度和宽度比较很小板状结构体，这类物体只在板边受有平行于板平面的外力，且外力沿厚度方向不变，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。

第二章弹性力学基础14(1)平面应力问题

对这类问题，假设薄板的厚度为t，以板厚度的中面为xy坐标平面，垂直于板平面方向为z轴，由于板表面不受力，其表面应力分量必为零：第二章弹性力学基础(

z)z=

t/2=0,(

zx)z=

t/2=0,(

zy)z=

t/2=015平面应力2-D变形的理想情况，应力状态：3-D应力-应变状态，简化为一个较简单的2-D数学模型；有用的理想化处理对远离裂纹前缘的“薄”金属结构；简化的Hooke定律；and...yxzInvert…16(2)平面应变问题

与上述情况相反，在工程中又会存在截面不变化但长度很长的柱形结构体，它们只受到平行于截面、并且沿长度不变化的体力和面力：第二章弹性力学基础17(2)平面应变问题

对这类问题，假设该柱状结构体为无限长，以任意横截面为xy坐标平面，垂直于截面沿柱长度方向为z轴，则所有的应力、应变和位移分量仅为x,y的函数，不随z方向变化。第二章弹性力学基础w=0；

z=

zx=

zy=0

18平面应变2-D变形的理想情况，应变状态：3-D应力-应变状态，简化为一个较简单的2-D数学模型；有用的理想化处理对裂纹前缘的“约束”条件远离边界处；简化的Hooke定律；yxzxyand...Invert…19(3)平衡微分方程

在弹性力学分析中从三方面考虑建立控制方程：第二章弹性力学基础1、静力平衡微分方程(应力参量之间关系)；2、几何方程(应变参量与位移参量之间关系)；3、物理方程(应力和应变的关系)；20(3)平衡微分方程

基本研究思路：从弹性体中任一点取出一个微元体，根据静力平衡条件就可以推导出平衡微分方程。由静力学可知，物体中任一点的平衡条件为：①

Fx=0,②

Fy=0,③

Mo=0。假设从平面问题中任选一微元体。微元体在x,y方向的尺寸分别为dx,dy，在z方向的厚度为t。第二章弹性力学基础21(3)平衡微分方程

第二章弹性力学基础由泰勒级数展开公式可得：22(3)平衡微分方程

第二章弹性力学基础23(3)平衡微分方程

第二章弹性力学基础①

Fx=0①②③④⑤①②③④⑤24平衡微分方程xy同样可以包括体力

Xb

和

Yb25(4)几何方程第二章弹性力学基础考虑平面问题的几何关系，推导应变分量和位移分量的关系，即平面问题的几何方程。假设在弹性体中任选一点P，沿x和y方向取两个微小线段PA=dx和PB=dy，如图所示，在外力作用下，P,A,B三点分别移动到P’,A’,B’。26(4)几何方程第二章弹性力学基础正应变

xx和

yy与位移分量u,v的关系。设P点移动至P’点位移为u，则A点的位移由于坐标x的变化为：

27(4)几何方程第二章弹性力学基础这样PA线段的正应变为：

28(4)几何方程第二章弹性力学基础同样可得PB线段的正应变为：

29(4)几何方程第二章弹性力学基础剪应变与位移分量的关系，即PA和PB线段之间直角的变化。设P点在y方向的位移为v，则A点由于x的变化在y方向的位移为：

30(4)几何方程第二章弹性力学基础这样，PA线段的转角为：

31(4)几何方程第二章弹性力学基础同样可得PB线段的转角为：

32(4)几何方程第二章弹性力学基础PA和PB线段之间的直角改变（减小为正），即剪应变

xy=

yx的大小为：

33(4)几何方程第二章弹性力学基础当物体的位移分量u,v完全确定后，应变分量也就完全确定了。但反过来，当应变分量确定后，其对应的位移分量并不能完全确定。因为物体的位移分量由两个因素引起：一是物体做刚性运动引起的；二是物体在外力作用下变形引起的。有位移的物体不一定有变形，即刚性位移并不产生应变（应力），产生应变（应力）的物体同样可以做刚性运动。但要对物体进行受力分析，必须给定位移约束条件。

34(5)物理方程第二章弹性力学基础弹性体内应力分量和应变分量之间的关系式称为物理方程，只有将应力和变形联系起来才能进行弹性结构的受力分析。实验表明对完全弹性的各向同性体，应力和变形之间呈线性变化规律，在材料力学中根据广义虎克定律（Hookelaw）可推导出如下关系：

35Hooke定律(1)材料是各项同性的(与方向无关)应力-应变是线性相关的；应变是微小的(采用线性应变-位移关系)；法向和剪切变形模式之间相互不偶合；从物理观察推导出唯象定律；E:(Robert)杨氏模量

:泊松比

+热+蠕变+残余+...36Hooke定律(2)测量弹性常数转换为用应变表示的应力关系E:(Robert)Young’s modulus

:Poisson’sratio3-DCase37(5)物理方程第二章弹性力学