2021年中考冲刺圆压轴训练

圆压轴训练

一、解答题

1.如图，口人3。内接于口0,CBAC=45。，AD1BC,垂足为D,BD=6,DC=4.

(1)求10的半径；

(2)求AD的长.

2.如图，在匚ABC中，AB=AC,以AB为直径作口0,交BC于点D,过点D作DEEJAC,垂足为E.

(1)求证：DE是J0的切线.

(2)若0的半径为2,DA=60°,求DE的长.

3.如图，在REABC中，DACB=90°,E是BC的中点，以AC为直径的口。与AB边交于点D,连接DE.

(1)求证：DE是n0的切线；

(2)若CD=6cm,DE=5cm,求口0直径的长.

BE

4.如图口，在矩形/8C。中，AB=6,8c=9,点E是8c边上一动点，连接/E、DE,作口后8的外接U。，交

4D于点F,交/E于点G,连接尸G.

(图①)

(1)求证U/R7LHAED；

(2)当8E的长为时,QAFG为等腰三角形;

(3)如图口，若BE=I,求证：与□。相切.

5.如图，在048。。中，过力、B、C三点的「。交4。于点E,连接BE、CE,BE=BC.

(1)求证：UBECUaCED-,

求口。的半径.

6.在正方形NBCD中，点E是5c边上一动点，连接力£,沿ZE将口48后翻折得nZGE,连接OG,作山/G。的外

接口。口（?交NE于点F,连接FG、FD.

(1)求证」ZGO=L]EFG；

求证LI/OFEILIEGF；

(3)若工8=3,BE=1,求口0的半径.

13E

7.如图，在A4BC中，AB=AC,以A3为直径的□O交边AC于点。(点。不与点A重合)，交边BC于点E,

过点E作EFLAC,垂足为尸.

(1)求证：EF是口。的切线；

(2)若A£>=7,BE=2.

□求口。的半径；

口连接0C交EF于点M,则OM=

8.如图，矩形/8CZ)中，E是8。的中点，连接。E,P是DE上一点,UBPC=90°,延长“交/。于点F.□(?

经过P、D、F,交CD于点G.

(1)求证：DF=DP；

(2)若AB=12,8C=10,求。G的长；

AR

(3)连接8R若8尸是口。的切线，直接写出”的值.

BC

9.（概念认识）

若以圆的直径的两个端点和圆外一点为顶点的三角形是等腰三角形，则圆外这一点称为这个圆的径等点.

（数学理解）

（1）如图口，是口。的直径，点尸为口。外一点，连接/P交口。于点C,PC=AC.

（2）已知是U。的直径，点尸为UO的径等点，连接/P交」。于点C,PC=2AC.求一的值.

AB

（问题解决）

（3）如图口，已知48是口。的直径.若点P为口。的径等点，连接/尸交口0于点C,PC=3AC.利用直尺和圆规

作出所有满足条件的点P.（保留作图痕迹，不写作法）

②（备用）（备用）

10.（概念认识）

在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，两条弦所在度线的交点为等垂弦的分割点.如图口，AB,

CD是O的弦，AB=CD,ABVCD,垂足为E,则48、8是等垂弦，E为等垂弦/8、CO的分割点.

（图①）（图②）

（数学理解）

（1）如图「，是口。的弦，作OC「O/、ODOB,分别交「O于点C、D,连接CD求证：AB、是口。的

等垂弦.

BE1

（2）在口。中，口。的半径为5,E为等垂弦48、8的分割点，—求的长度.

AE3

（问题解决）

（3）/8、C£＞是U。的两条弦，CD=；AB,且C0LU8,垂足为尸.

□在图」中，利用直尺和圆规作弦CD（保留作图痕迹，不写作法）.

□若口。的半径为r,48=加/■（切为常数），垂足尸与口。的位置关系随机的值变化而变化，直接写出点尸与口。的

位置关系及对应的＞n的取值范围.

（图⑼

11.如图，一张半径为3cm的圆形纸片，点。为圆心，将该圆形纸片沿直线/折叠，直线/交口。于4B两点.

（1）若折叠后的圆弧恰好经过点0,利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线/（不写作法，保留作图痕迹）,

并求此时线段A5的长度.

（2）已知M是口。一点，0M=1cm.

□若折叠后的圆弧经过点M，则线段A8长度的取值范围是.

口若折叠后的圆弧与直线。”相切于点M,则线段A8的长度为cm.

参考答案

1.（1）572；（2）12

【详解】

解：（1）如图1,连接OB、OC,

□BD=6,DC=4,

□BC=10,

由圆周角定理得，□BOCn?BAC=90°,

□OB=2^LBC=572；

(2)如图2,连接OA,过点O作OEDAD于E,OFDBC于F,

□BF=FC=5,

□DF=1,

□□BOC=90。，BF=FC,

1

□OF=—BC=5,

2

□ADUBC,OEJAD,OFLBC,

口四边形OFDE为矩形，

□OE=DF=1,DE=OF=5,

在RPAOE中，AE=,0A2_0石2=7,

□AD=AE+DE=12.

2.(1)见解析；(2)73

【详解】

(1)证明：连接0D.

□AB=AC,

□□B=nc.

□OB=OD,

□□B=DODB.

□□C=DODB.

□ODDAC.

□DELAC,

□□DEC=90°.

□□ODE=_DEC=90°.

又OD是口0的半径，

□DE是UO的切线.

(2)解：LJAB=AC,LA=60。，

□□ABC为等边三角形.

□□C=60°,BC=AB.

□ODUAC,

BOBD

---=----.

AOCD

□BD=CD.

□CD=-BC=—AB=2.

22

在RtlCDE中，EIC=60。，CD=2,

口DE=CDsinC=G

3.(1)证明见解析；(2)万.

【详解】

(1)证明：连结DO,如图，

□□BDC=90。，E为BC的中点,

□DE=CE=BE,

□□EDC=DECD,

又口OD=OC,

□□ODC=DOCD,

而□OCD+□DCE=□ACB=90。，

□□EDC+GODC=90°,即口£口0=90。,

UDELOD,

□DE与口。相切；

(2)BC=2DE=10

BD=VBC2-CD2=V10-6=8，

□□BCA=CBDC=90°,□B=DB,

□□BCAOOBDC,

ACBC

CD-BD

4.(1)详见解析；(2)3石、4.5、9-375;(3)详见解析

【详解】

(1)证明：।四边形尸GE。是「。的内接四边形，

DDAGF^UADE.

5i.QGAF=QDAE,

□□ZFGIZI□/£■£)；

(2)由(1)可知匚力＜GUD/ED,

口当口工尸6是等腰三角形时，口/E。是等腰三角形时,

连接EF,如图，

口四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=9

.-.CD=AB=6,AD=BC=9,NBAD=ZABC=NBCD=NADC=90°,

•••口。是DEC。的外接圆，NEC。=90。

/.OE是口。的直径，

NOEE=90°,

NAFE=180°—NDFE=90°，

NBAF=ZABE=ZAFE=90°,

口四边形4药是矩形，

AF=BE,EF=AB=6,

DAE。是等腰三角形，

口分三种情况：

□当AE=OE时，•/ZDFE=90°,

EF1AD,

又•：AE=DE,

119

AF=DF=-AD=-x9=-,

222

9

BE=AF=-；

2

□当。E=A。=9时，

在R/ODCE中，ZECD=90°.DE=9,DC=6,

:.CE=y/DE2-DC2=792-62=3也，

:.BE=BC-CE=9-34；

□当AE=A£>=9时

在中，ZABE=90°.AE=9,AB=6,

BE=A/A£2-AB2=>/92-62=3石

9

综上，当BE的长为5或9-3行或3百时，口ARJ为等腰三角形,

(3)设AB的中点为M,连接0M,如图,

当3E=1时，CE=BC-BE=9—1=8,

□四边形43co是矩形，

BEHAD,ABAD=ZBCD=90°,DC=AB=6,AD=BC=9,

在RCJDCE中，ZDCE=90°»

DE=ylDC2+CE2=A/62+82=10

•.•■DE是口。的直径，

:.OD=OE=-DE=-xW=5

22

「BEIIAD,

口四边形A8E0是梯形，

又•.•"是AB的中点，0为DE的中点,

/.0M是梯形ABED的中位线，

OMHAD

OM=g(5E+AO)=g(l+9)=5,

NBMO=/BAD=90°,OM^OD

OM±AB

又,/OM=OD

□AB与口0相切.

5.(1)见解析；(2)包凶I

91

【详解】

(1)证明：EIBE=BC,

□□BEC=UBCE

口四边形ABCD是平行四边形，

□ADnBC,ABCD.

□□BCE=DDEC,匚A+匚D=180°.

□□BEC=DDEC

□四边形ABCD内接于UO,

□□A+BCE=180°.

□□BCE=DD

□□BECDCED

即得证.

(2)过点O作OFDCE,垂足为F,连接OC,如下图.

□BE=BC,

□直线OF经过点B,

□□BEC口CED,又由(1)可知CE=CD,

BCCE

□=----------，

CEDE

□BC=10,DE=3.6,

□CE=CD=6

1

□CF=—CE=3,

2

设UO的半径为r,

可得BF=ylBC2-CF2=®>OF=回-r,

在RtDOCF中，OF2+CF2=OC2,

□(791-r)2+9—r2

50回

□r=-------,

91

即圆的半径为辿史.

91

6.(1)见解析；(2)见解析；(3)口。的半径为二百

4

【详解】

(1)证明：L四边形A/GQ是UO的内接四边形，

□0^/)6+aJFG=180°,

□□JFG+D£FG=180°,

□□4DG=DEFG,

由正方形ABCD及翻折可得AB=AG=ADf

□MDG―4GD,

nUAGD=[JEFG.

(2)口Q4GD=d4ED,匚AGD=DEFG,

n\2AFD=[JEFGf

口四边形ABCD是正方形，

DADCBC.

UUDAF=[JAEB.

由翻折得口4砧=口62产，

QnDAF=[JGEFt

naADFunEGF.

(3)解：设匚。与CO交于点“，连接/"、GH,如下图所示

□MQH=90。,

□4”是UO的直径，

□□/G〃=90。，

由翻折得□4GE=90。，则□2GE+EMG〃=180。，

□E、G、〃三点在一条直线上.

口AH=AH,AD=AG,□RtUJP/ZURtJJG//,UGH=DH,

设GH=DH=x,则在RtdEC“中，CH=3—x,EH=l+x,£C=3-1=2,

3

由CU+ECuEH2,即(3—x)2+22=(l+x)2,解得x=],

在RtEMOH中，AD2+DH2=AH2,即3?+(：3)2=/用，解得4H=:3有,

□口。的半径为:逐

7.(1)见解析；(2)口4；口。河=电5

9

【详解】

(1)连接。E.

□在AABC中，AB=AC,

□ZB=ZC.

□=OE,

□NOBE=ZOEB.

□ZOEB=ZC,

DOE//AC.

UZO£F+ZAFE=180°.

□石/_14。于点尸，

0NEFA=90°.

□NOE/=90°,

UOELEF.

□。七_1所于点£,OE是口。的半径,

□EF是口。的切线.

(2)口连接

□A8是口。的直径，

□ZADB=90°,NAEB=90°.

DAE1BC.

口在MBC中，AB=AC,

□CE=BE=2.

□BC=2BE=4.

nZADB+ZCDB=l80°,

□ZCZ)B=90°.

在RtAADB中，ZADB=90°,

0BD2=AB2-AD2-

在RtACDB中,ZCDB=90°,

BD?=BC?-CD?.

□AB2-AD2=BC2-CD2.

设CD-x,则AB=AC-7+x.

□(7+X)2-72=42-X2,

□X=1.

AB=7+x=8.

□r=—AB=4.

2

□：DAD=7,AB=AC=8,

BD^^AB1-AD1=V15'CD=1,

□BE=CE=2,EFnBD,

DEF^-BD=^-,CF=-CD=-

2222

UAB=AC,AEBC,

□BAE=[CAE,

□BE=DE，

□0E匚BD,

□OELEF,

□OECF,

□□CFM匚DOEM,

CFFM

-----------,

OEEM

4EM

DEM=1^1

9

^OM=y/OE2+EF2=1^.

9

故答案为：生国.

9

8.(1)见解析；(2)Z)G=—.(3)—.

32

【详解】

(1)证明：口「8%=90。，E是8C的中点,

□EC=EP.

0在矩形中，ADI/BC,

□QDFPaaECP.

DFEC,

LJ--------=1.

DPEP

即DF=DP.

(2)解：连接尸G.

BEC

0在矩形N88中，口4。。=90。,

UFG是口。的直径.

□E是8c的中点，

0EC=EP=工BC=5.

2

0在矩形N8CD中，口5。=90。,

口DE=A/52+122=13-

□DF=DP=\3-5=8.

□中，DF=DP,

□DF=DP-

□UDGF^DDFC.

又QFDC=QFDC,

U12FDG12QCDF.

DFDC

------------.

DGDF

Hn812

DG8

□DG=—.

3

小AB_也

kJZ---------------------------•

BC2

如图，连接8尸，FG,PG,

•••FG为直径，

/尸PG=90°,

又ZBPC=90°,

：.B,P,G三点共线,

•••8斤是口。的切线，

...NBFG=90°,

：GABFQUDFG,

AF-DF=ABDG,

由(2)已得FDG^QCDF,

：.DF2=DG-CD,ZDFG=NDCF

即AF=DF,

4CBP+Z.PCB=90°,Z.DCF+NPCB=90°,

ZDFG=NCPB,

：./\CBGaUDFG,

DFDG1

:.--=---=一，

BCCG2

即金亘

BC2

9.(1)见解析；(2)Y5；(3)共有4个，见解析

6

【详解】

(1)证明：如图口，连接8C,

山18是口。的直径，

□□4CB=90。，

DAC=PC,

□8C垂直平分/P,

QAB^PB,即匚ZP8为等腰三角形,

□点尸为匚O的径等点.

(2)□如图□」,

P

C

A

②-1

AC1

当尸时，若PC=2AC,则——=-

AP3

AC1

U——

AB3

□如图」-2,

②-2

当以=P8时，口0点是AB中点,

UOPAB,

□□ACB=AOP,

又DATA

UnABCQUAPO,

ACAB

---=----,

AOAP

Q2AC=PC,设1C=A,则尸C=2左,

kAB

AB=庭k,

AJ1V6

.：---——f==-----

AB466

(3)如图满足条件的点P共有4个.

PlPj

③

10.(1)详见解析；(2)2逐；(3)□作图见解析；□当0V加V［有时，点F在口。外；当阳=［行时，点F

在UO上；［石Va&2时，点尸在口。内.

【详解】

(1)如图口，连接8C,

（图①）

[AOCJOA.ODUOB,

□□4OC=BOD=90。,

□□4。8=口。加

口AB=CD,

□AC=AC

1

□V\ABC=—QAOC=45°.

2

同理」」38=—UBOD=45°

2f

JHAEC={2ABC+UBCD=90°,

B|JABCD,

MB=CD,ABJCDf

UAB.8是JO的等垂弦.

（2）如图入若点E在口。内，作OH匚4B,垂足为H,作OGDCO,垂足为G,

□AB=CD,AB1CD,

1

HAH=DG=-AB,OA=OD,DAHO=DGO,

2

□□Z//OE1LJOG。，

口OH=OG,

□矩形OLEG为正方形，

□OH=HE.

BE1

□=—,

AE3

又AH=BH,

口AH=2BE=2OH,

在RP4。//中，AO1=AH1+OH1.

即（20/7）2+0/72=40=25,

解得0H=布,则”=4/花=4近；

若点E在口。外，同理，AH=y/5,则N8=2N"=2逐.

（3）口如图所示，弦8即为所求；

旧AB是0的弦，

□AB<2r,即m<2,

当点F在圆上时，如图所示,