2021年中考复习数学考点训练-三：一次函数(含答案)

备战2021中考数学考点专题训练—专题三：一次函数

1.在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y=

k|X+bi和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B,两直线交于点C.已知点A(-1,0),

B(2,0),观察图象并回答下列问题：

⑴关于x的方程kix+bi=。的解是；关于x的不等式kx+b<0的解集是

kx+b>0

(2)直接写出关于x的不等式组的解集；

k]x+b[>0

(3)若点C(1,3),求关于x的不等式kix+bi>kx+b的解集和AABC的面积.

2.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3,该游泳池有甲、

乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变.同时打开甲、乙两个进水口注

水，游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

(1)根据图象求游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式，并写出同

时打开甲、乙两个进水口的注水速度；

(2)现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水.已知单独打开甲进水口注满游

泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的母倍.求单独打开甲进水口注满游

泳池需多少小时？

3.规定：若直线1与图形M有公共点，则称直线1是图形M的关联直线.已知：矩形ABCD

的其中三个顶点的坐标为A(t,0),B(t+2,0),C(t+2,3)

(1)当t=l时,如图以下三个一次函数yi=x+4,y2=-x+2,y3=x+2中,是矩形

ABCD的关联直线;

(2)已知直线1：y=x+2,若直线1是矩形ABCD的关联直线，求t的取值范围;

(3)如果直线m：y=tx+2(t>0)是矩形ABCD的关联直线，请直接写出t的取值范围.

3,

2

1

-1O

-1

4.如图，直线y=-北乂+砥与x轴相交于点A,与直线y=«x相交于点B.

(1)求点A,点B的坐标；

(2)动点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度在线段OA上向点A做匀速运动，连

接BC,设运动时间为t秒，4BCA的面积为S,求出S关于t的函数关系式；

(3)若点P是坐标平面内任意一点，以O,A,B,P为顶点的四边形是平行四边形，请直

5.已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A,与

y轴的负半轴交于点B,OA=OB,过点A作x轴的垂线与过点。的直线相交于点C,直线

OC的解析式为y=gx,过点C作CMLy轴，垂足为M,OM=9.

4

(1)如图I,求直线AB的解析式；

(2)如图2,点N在线段MC上，连接ON,点P在线段ON上，过点P作PDJLx轴，垂

足为D,交OC于点E,若NC=OM,求怨的值；

0D

(3)如图3,在(2)的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF,过点F作OF的垂线

交线段AC于点Q,连接BQ,过点F作x轴的平行线交BQ于点G,连接PF交x轴于点H,

连接EH,若NDHE=/DPH,GQ-FG=&AF,求点P的坐标.

6.如图：在平面直角坐标系xOy中，过点A(-2,0)的直线1,和直线b：y=2x相交于

点B(2,m).

(1)求直线h的表达式；

(2)过动点P(n,0)(n<0)且垂直于x轴的直线与h、L的交点分别为C,D.横、纵

坐标都是整数的点叫做整点.

①当n=-1时，直接写出aBCD内部(不含边上)的整点个数：

②若4BCD的内部(不含边上)恰有3个整点，直接写出n的取值范围.

7.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线I分别交x轴、y轴于A.B两点,

OA<OB,且OA、OB的长分别是一元二次方程x?-14x+48=0的两根.

(1)求直线AB的解析式；

(2)点C从点A出发沿射线AB方向运动，运动的速度为每秒2个单位，设AOBC的面

积为S,点C运动的时间为t,写出S与t的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

(3)点P是y轴上的点，点Q是第一象限内的点，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱

形请求出点Q的坐标.

8.团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同

一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km,在行驶过程中乙车速度始终保持

80km/h,甲车先以一定速度行驶了500km,用时5h,然后再以乙车的速度行驶，直至到达

绥芬河(加油、休息时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x

(h)的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)甲车改变速度前的速度是km/h,乙车行驶h到达绥芬河；

(2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数解析式，

不用写出自变量x的取值范围；

(3)甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有km；出发h时，甲、乙

两车第一次相距40km.

9.如图，已知直线y=kx+b与直线y=--9平行，且y=kx+b还过点(2,3),与y

轴交于A点.

(1)求A点坐标；

(2)若点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M,PN垂直y轴于

点N,在四边形PMON上分别截取：PC=—MP,MB=」OM,OE=」ON,ND=—NP,

3333

试证：四边形BCDE是平行四边形；

(3)在(2)的条件下，在直线y=kx+b上是否存在这样的点P,使四边形BCDE为正方形？

若存在，直接写出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

10.小陪向某校食堂王经理建议食堂就餐情况，经调查发现就餐时，有520人排队吃饭就餐，

就餐开始后仍有学生继续前来排队进食堂.设学生按固定的速度增加，食堂打饭窗口打饭菜

的速度也是固定的.若每分钟该食堂新增排队学生数12人，每个打饭窗口1每分钟打饭菜

10人.已知食堂的前a分钟只开放了两个打饭窗口；某一天食堂排队等候的学生数y(人)

与打饭菜时间x(分钟)的关系如图所示.

(1)求a的值；

(2)求排队到第16分钟时•，食堂排队等候打饭菜的学生人数；

(3)若要在开始打饭菜后8分钟内让所有排队的学生都能进食堂后来到食堂窗口的学生随

到随吃，那么小暗应该建议食堂王经理一开始就需要至少同时开放几个打饭窗口？

11.如图，在平面直角坐标系中，直线yi=kx+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点

B(0,3),点C是直线y2=-?x+5上的一个动点，连接BC,过点C作CDJ_AB于点D.

(1)求直线yi=kx+b的函数表达式;

(2)当BC〃x轴时，求BD的长；

(3)点E在线段0A上，OE-|OA,当点D在第一象限，且4BCD中有一个角等于NOEB

O

时，请直接写出点C的横坐标.

12.在平面直角坐标系xOy中，点A(t-1,I)与点B关于过点(t,0)且垂直于x轴的

直线对称.

(1)以AB为底边作等腰三角形ABC,

①当t=2时，点B的坐标为；

②当t=0.5且直线AC经过原点O时，点C与x轴的距离为；

③若4ABC上所有点到y轴的距离都不小于1,贝11的取值范围是.

(2)以AB为斜边作等腰直角三角形ABD,直线m过点(0,b)且与x轴平行，若直线m

上存在点P,Z\ABD上存在点K,满足PK=1,直接写出b的取值范围.

13.笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远

的.1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系.其中笛卡尔的思想核心是：

把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决

几何问题的目的.

某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线y=kx+b(k#))

Yi-yYi-yq

上的任意三点A(X1,yi),B(X2,y2),C(X3,yj)(x#x#xj),满足------9-=-------

xl-x2*xl-x3

y-y

9―q-=k,经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线y=kx+b(叵0)上

x2-x3

y<-y9

任意两点的坐标M(Xi,yi)N(X2,y2)(x#x2),都有'_的值为k,其中k叫直线

xl-x2

y=kx+b的斜率.如，P(1,3),Q(2,4)为直线y=x+2上两点，则kpQ=W-*=l,即

直线y=x+2的斜率为I.

(1)请你直接写出过E(2,3)、F(4,-2)两点的直线的斜率kEF=.

(2)学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任

意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值.

如图1,直线GH±GI于点G,G(1,3),H(-2,1),I(-1,6).请求出直线GH

与直线GI的斜率之积.

(3)如图2,己知正方形OKRS的顶点S的坐标为(6,8),点K,R在第二象限，OR为

正方形的对角线.过顶点R作RTJ_OR于点R.求直线RT的解析式.

14.定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点P(m,y)、Q(x,y0),

，y_](x)nO

y=J1,/、，则称点Q是点P的变换点，例如：若点P(m,

m为任意实数，若n

0-^-y+l(x<nO

'x-1(x〉m)

y)在直线y=x上，则点P的变换点Q在函数1、的图象上，设点P(m,

号x+l(x〈m)

y)在函数y=x2-2x的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G.

(1)直接写出图象G对应的函数关系式.

(2)当m=3,且-2WX03时，求图象G的最高点与最低点的坐标.

(3)设点A、B的坐标分别为(m-1,-2)、(2m+2,-2),连结AB,若图象G与线

段AB有交点，直接写出m的取值范围.

(4)若图象G上的点Q的纵坐标yo的取值范围是yo汰或yoWn,其中k>n,令s=k-n,

求s与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围.

15.如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正

半轴上，对角线AC所在直线解析式为y=-与x+15,将矩形OABC沿着BE折叠，使点A

O

落在边0C上的点D处.

(1)求点E的坐标；

(2)在y轴上是否存在点P,使4PBE为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标;

若不存在，请说明理由.

16.如图，直线y得x+3与x、y轴交于点A、B,过点B作x轴的平行线交直线y=x+b

于点D,直线y=x+b交x、y轴于点E、K,且DK=

(1)如图1,求直线DE的解析式；

(2)如图2,点P为AB延长线上一点，把线段BP绕着点B顺时针旋转90。得到线段BF,

若点F刚好落在直线DE上，求点P的坐标；

(3)如图3,在(2)的条件下，点M为ED延长线上一点，连接PM和AM,AM交线段

BD于点N,若PM+MN=AN,求线段PM的长.

17.在平面上，对于给定的线段AB和点C,若平面上的点P(可以与点C重合)满足，ZAPB

=ZACB.则称点P为点C关于直线AB的联络点.

-41

备用图

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0),B(0,2),C(-2,0).

(1)在P(2,2),P(1,0),R(1+料，1)三个点中，是点O关于线段AB的联络点

的是_______

(2)若点P既是点O关于线段AB的联络点，同时又是点B关于线段OA的联络点，求点

P的横坐标m的取值范围；

(3)直线y=x+b(b>0)与x轴，y轴分交于点M,N,若在线段BC上存在点N关于线

段OM的联络点，直接写出b的取值范围.

18.已知直线y=x+b与x轴交于点A,与y轴交于点B,

(1)如图1,求/BAO的度数；

(2)如图2,点D在第三象限，连接BD,将线段BD以B为旋转中心逆时针旋转90。得到

BE且点E在第四象限，连接DE、OE,若DE=2OE,求证：SAADE=2SAAOE;

(3)如图3,点C为点A关于y轴的对称点，点D在第二象限，连接BD,将线段BD以

B为旋转中心逆时针旋转90。得到BE,点E在第四象限，连接OE且OE〃BC,过点A作

APLBE交BC于点P,点Q在AB上，BQ=BP,过点Q作QGLAP交x轴于点G.若

OF=—,CG=7,求SAAOE.

2

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与y=kx+4分别交x轴于点A、B,两

直线交于y轴上同一点C,点D的坐标为（-"I，0）,点E是AC的中点，连接OE交CD

（1）求点F的坐标；

（2）若NOCB=/ACD,求k的值；

（3）在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线1,点M是直线BC上的动点，点N是x轴

上的动点，点P是直线1上的动点，使得以B,P,M、N为顶点的四边形是菱形，求点P

的坐标.

20.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=^x+4分别交y轴和x轴于点A、B两

O

点，点C在x轴的正半轴上，AO=2OC,连接AC.

备用副备用图2

(1)如图1,求直线AC的解析式；

(2)如图2,点P在线段AB上，点Q在BC的延长线上，满足：AP=CQ,连接PQ交

AC于点D,过点P作PELAC于点E,设点P的横坐标为t,Z\PQE的面积为S,求S与t

的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；

(3)如图3,在(2)的条件下，PQ交y轴于点M,过点A作AN_LAC交QP的延长线于

点N,过点Q作QF〃AC交PE的延长线于点F,若MN=DQ,求点F的坐标.

备战2021中考数学考点专题训练——专题三：一次函数参考答案

1.在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y=

Mx+4和的图象，分别与x轴交于点A、B,两直线交于点C.已知点A(-1,0),

B(2,0),观察图象并回答下列问题：

(1)关于x的方程狂什"=0的解是；关于x的不等式息+〃<0的解集是；

'kx+b>0

(2)直接写出关于x的不等式组的解集；

.x+b]>0

(3)若点C(1,3),求关于x的不等式“/+历>日+/7的解集和△ABC的面积.

【答案】解：(1)•••一次函数y=&ix+友和y=fcr+b的图象，分别与x轴交于点A(-1,0)、

B(2,0),

关于x的方程心x+加=0的解是x=-1,关于x的不等式履+匕<0的解集，为x>2,

故答案为》=-1,x>2；

‘kx+b>0

(2)根据图象可以得到关于x的不等式组《“c的解集-l<x<2；

kix+bi>0

(3)：AB=3,

「119

5A4«C=yAB*vc=—X3X3=5.

2.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480小，该游泳池有甲、

乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变.同时打开甲、乙两个进水口注

水，游泳池的蓄水量y(加3)与注水时间r(h)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

(1)根据图象求游泳池的蓄水量y(a3)与注水时间t(h)之间的函数关系式，并写出同

时打开甲、乙两个进水口的注水速度；

(2)现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水.已知单独打开甲进水口注满游

泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的毋倍.求单独打开甲进水口注满游

泳池需多少小时？

【答案】解：(1)设y与r的函数解析式为)「出4

(b=100

12k+b=380

rk=140

解得,

lb=100

即y与/的函数关系式是y=140r+100,

同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：(380-100)+2=140；

(2)•..单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的

飘

.•.甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的g,

4

••・同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140w3//b

QO

甲进水口的进水速度为：140+(―+1)x±=60(w3//z),

44

480+60=8(〃)，

即单独打开甲进水口注满游泳池需8/7.

3.规定：若直线/与图形M有公共点，则称直线/是图形M的关联直线.已知：矩形4BC。

的其中三个顶点的坐标为A(t,0),B(f+2,0),C(卅2,3)

(1)当r=l时，如图以下三个一次函数》=x+4,”=-x+2,〉3=X+2中，是矩形

ABCD的关联直线；

(2)已知直线/：y=x+2,若直线/是矩形A8CO的关联直线，求f的取值范围；

(3)如果直线相：y=tx+2(r>0)是矩形A8CO的关联直线，请直接写出，的取值范围.

”，

21

b

*1OA2Bx

-b

【答案】解：（1）当=1时，A（1,0）,3（3,0）,C（3,3）,。（1,3）,

则三个一次函数yi=i+4,y2=-x+2,”=x+2中，y2=7+2,”="2是矩形A3CD的关

联直线；

故答案为：/2=-x+2,/3=X+2;

（2）由矩形的性质得。（/,3）,

当y=3时，什2=3,解得，=1；

当y=0时r+2+2=0,解得t=-4.

故/的取值范围为-43W；

（3）由矩形的性质得。（33）,

当y=3时，产+2=3,解得，=±1（负值舍去）.

故f的取值范围为0V/SL

4.如图，直线＞=-与X轴相交于点A，与直线y=J市相交于点8.

（1）求点A,点B的坐标；

（2）动点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度在线段OA上向点A做匀速运动，连接

BC,设运动时间为f秒，△BC4的面积为S,求出S关于f的函数关系式；

（3）若点尸是坐标平面内任意一点，以。，4,B,P为顶点的四边形是平行四边形，请直

解得x=4；

则A(4,0)；

y=-V3x+4>/3

联立两直线的解析式得4

y=V3x

x=2

解得

y=2V3'

则B(2,2加)；

(2)(4,0),

；.OA=4,

S得(OA_t)X2T=/(4-t)X2b=47^-仃(o0<4)；

(3)如图，当04为平行四边形的边时,

-：OA=4,

：.Pi(6,2后，尸2(-2,遍)；

当。4为对角线时，

尸3(2,-2«).

综上所示，点P的坐标为：Pi(6,2&)，2(-2,2«),%(-2,2«).

5.已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴的正半轴交于点A,与y

轴的负半轴交于点B,OA^OB,过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C,直线

OC的解析式为)=生，过点C作CMLy轴，垂足为M,OM=9.

(1)如图1,求直线4B的解析式;

(2)如图2,点N在线段MC上，连接ON,点P在线段ON上，过点P作PDLx轴，垂

足为D,交OC于点E,若NC=OM,求券的值；

0D

(3)如图3,在(2)的条件下，点尸为线段A8上一点，连接。凡过点尸作。尸的垂线

交线段AC于点。，连接BQ,过点F作x轴的平行线交8Q于点G,连接PF交x轴于点”,

连接EH，若NDHE=/DPH,GQ-FG=^F,求点P的坐标.

【答案】解：(1)轴，OM=9,

Q

；.y=9时，9=~x,解得x=12,

4

：.C(12,9),

：AC_Lx轴，

；.A(12,0),

'：OA=OB,

：.B(0,-12),

fb=-12

设直线AB的解析式为y^kx+b,则有

112k+b=0

k=l

解得

b=-12

直线AB的解析式为y=x-12.

(2)如图2中,

,?NCMO=ZMOA=ZOAC=90°,

・・・四边形OACM是矩形，

：.AO=CM=\2f

,:NC=OM=9,

：.MN=CM-NC=\2-9=3,

：.N(3,9),

工直线ON的解析式为y=3与设点石的横坐标为4〃，则O(4m0),

0£)=4。,

2

把x=4m代入中，得至i」y=3a,

4

.\E(4a,3a),

・・・DE=3a,

把x=4〃代入，y=3x中,得到y=12〃，

:・P(4〃,12。),

PD=12ci,

：.PE=PD-DE=\2a-3a=9a,

.PE2

"OD=-T

(3)如图3中，设直线/G交C4的延长线于凡交y轴于S,过点尸作F7UO4于T.

VGF//X^9

・・・NOSR=NMOA=90°,NCAO=NR=90。，ZBOA=ZBSG=90°fNOAB=NAFR,

：.ZOFR=ZR=ZAOS=ZB5G=90°,

・・・四边形05/M是矩形，

JOS=AR,

AR=0A=12f

•：OA=OB,

：.ZOBA=ZOAB=45°,

・・・NE4R=90。-450=45。，

：.ZFAR=ZAFR9

:・FR=AR=OS,

■:0F1,FQ,

：.NOSR=NR=NOFQ=90。，

：.ZOFS+ZQFR=90°f

■:NQFR+NFQR=90。,

：,/OFS=/FQR,

：./\OFS^AFQR(AAS),

：,SF=QR,

'：ZSFB=ZAFR=45°1

:"SBF=ZSFB=45°,

:・SF=SB=QR,

■:/SGB=/QGR,/BSG=/R,

，/\BSG学AQRG(A4S),

:・SG=GR=6,

设/R=m,则4R=/小AF=Mn,QR=SF=12-mf

♦:GQ-FG=y[^F,

GQ=会水，^/n+6-/n=m+6,

■:GQ2=GR2+QR2,

(m+6)2=62+(12-〃?)2,

解得加=4,

AF5=8,AR=4,

'：ZOAB=ZFAR9FT±OAfFRLARf

；.FT=FR=AR=4,ZOTF=90°f

・・・四边形OS口是矩形，

・・・OT=SF=8,

,?ZDHE=/DPH,

：・tcm/DHE=tan/DPH,

.DE_DH

••西一丽’

由(2)可知。E=3mPD=\2af

.3a_PH

••西一石’

：.DH=6af

PD_12a_2

:Jan/PHDDH_-6T-

■:/PHD=NFHT,

TF

：.tanZFHT=—=2

HT9

：.HT=2,

•：OT=OD+DH+HT,

4〃+6Q+2=8,

A0D=—,PD=n^—=—,

555

6.如图：在平面直角坐标系xO)，中，过点4(-2,0)的直线人和直线公y=2x相交于点

B(2,m).

(1)求直线人的表达式；

(2)过动点P(〃，0)(«<0)且垂直于x轴的直线与八、b的交点分别为C,D.横、纵

坐标都是整数的点叫做整点.

①当〃=-1时，直接写出△BCO内部(不含边上)的整点个数；

②若△BCD的内部(不含边上)恰有3个整点，直接写出〃的取值范围.

【答案】解：(1)将点8的坐标代入y=2x得，m=2x2=4,故点8(2,4),

设直线人的表达式为将点4、B的坐标代入上式并解得：(4=2k+b,解得(k=l,

10=-2k+bIb=2

故直线/i的表达式为：y=x+2；

(2)①当〃=-1时，如下图,

VA

从图中可以看出，整点个数为1,即点(0,1)；

②如上图，当”=-2时，△BCO的内部(不含边上)恰有3个整点，

故-2<n<-1.

7.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线/分别交x轴、y轴于A.8两点，

0A<08,且。A、的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两根.

(1)求直线AB的解析式；

(2)点C从点A出发沿射线AB方向运动，运动的速度为每秒2个单位，设△O8C的面积

为S,点C运动的时间为f,写出S与，的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

(3)点P是y轴上的点，点。是第一象限内的点，若以A、B、P、。为顶点的四边形是菱

形请求出点Q的坐标.

【答案】解：(1)r-14x+48=0,则x=6或8,故点A、B的坐标分别为(6,0)、(0,

8),则AB=10；

k=V,

:茅。解得

设直线AB的表达式为：y=kx+b,则

b=8

故直线48的表达式为：y=--1x+8；

(2)过点C作CM_Ly轴于点M,

iCMBCCM10-21AZH3.

Wm>iJ—=7-,n即n-7-=一"——，解2得：CAf=—li1n0-92r,

0ABA6105

113io

S=—xBOxCM=—x8x-^-|10-2r|=-110-2r|,

2255

'04

一丁t+24(04t46)

故S=\3；

塔t-24(t>6)

5

(3)点4、8的坐标分别为(6,0)、(0,8),

设点P、。的坐标分别为(0，s)、(/«,n),

①当A8是菱形的边时，

点A向上平移8个单位向左平移6个单位得到点B,同样点Q向上平移8个单位向左平移6

个单位得到点P,

即0-8=机，s+6="且BP=BA=10,

解得：加=-8,〃=24,

故点Q的坐标为(-8,24)；

②当A8是菱形的对角线时，

由中点公式得：6+0=m+0,8+0=s+〃且8P=8。，即(5-8)2=m2+(n-8)2,

解得：m=6,

故点Q的坐标为(6,学)；

综上，点Q的坐标为(-8,24)或(6,号).

8.团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同

一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为800h〃，在行驶过程中乙车速度始终保持

80kmlh,甲车先以一定速度行驶了500b",用时5h,然后再以乙车的速度行驶，直至到达

绥芬河(加油、休息时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y(切?)与所用时间x

(/?)的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)甲车改变速度前的速度是km/h,乙车行驶〃到达绥芬河；

(2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间xCh)之间的函数解析式，

不用写出自变量x的取值范围；

(3)甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有km；出发/?时，甲、乙

两车第一次相距40km.

【答案】解：(1)甲车改变速度前的速度为：500出5=100(km/h),乙车达绥芬河是时

间为：8004-80=10(/i),

故答案为：100;10；

(2)I•乙车速度为80h〃//z,

8

甲车到达绥芬河的时间为：5+月㈤，

0°8；0?°04

甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y=kx+b(厚0),

5k+b=500

将(5,500)和(至，800)代入得：.35，

4书■k+b=800

4

解得产°，

lb=100

.*.y=80x+100,

答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(力)之间的函数解析式为y=

80x+100(54x《"^")；

(3)甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800-80x^-=100(km),

4

40+(100-80)=2(h),

即出发2人时，甲、乙两车第一次相距40b”.

故答案为：100；2.

9.如图，已知直线y^kx+b与直线y=-与-9平行，且y^kx+b还过点(2,3),与y

轴交于A点.

(1)求A点坐标；

(2)若点?是该直线上的一个动点，过点P分别作垂直x轴于点M,PN垂直y轴于

点N,在四边形PMON上分别截取：PC^MP,OE=^ON,ND吾NP,

试证：四边形8CQE是平行四边形；

(3)在(2)的条件下，在直线)，=履+6上是否存在这样的点P,使四边形8CDE为正方形？

若存在，直接写出所有符合的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)•.•直线>=履+匕与y=-/x-9平行，且过点4(2,3),

f.=_l

则｛2,解得｛K-2,

2k+b=3b=4

一次函数解析式为y=-/x+4,

当x=0时，y=4,

・・.A点坐标是(0,4)；

(2)证明:・.・PM_Lx轴，PNJ_y轴，

・・・/M=ZN=NO=90。，

J四边形PMON是矩形，

：・PM=ON,OM=PN,NM=NO=NN=NP=90。.

VPC=—MP,MB=—OM,OE=—ON,ND=—NP,

3333

：.PC=OE,CM=NE,ND=BM,PD=OB,

在△OBE和△「£)(；中，OB=PD,ZO=ZCPD,OE=PC,

:.△OBEQAPDC(SAS),

：.DC=BE,

同理可证(SAS),

：.DE=BC.

四边形BCDE是平行四边形；

(3)存在这样的点P,理由：

设点P(w,-•1m+4),

则CM=2/>C=2|(4-—>71)|=|---m|,PD=—m,

332333

当四边形3CDE为正方形时，则NOC8=90。，DC=BC,

而NC3M+NMC3=90。，NMCB+NDCP=90。,

:・/CBM=NDCP,

而ZDPC=NCM8=90。，

:・/\DPg/\CMB(AAS),

；・CM=PD,

即=1微—角毕得：团=巧■或-8,

故P点坐标是（鸟2）或（-8,8）.

33

10.小硝向某校食堂王经理建议食堂就餐情况，经调查发现就餐时，有520人排队吃饭就餐,

就餐开始后仍有学生继续前来排队进食堂.设学生按固定的速度增加，食堂打饭窗口打饭菜

的速度也是固定的.若每分钟该食堂新增排队学生数12人，每个打饭窗口1每分钟打饭菜

10人.已知食堂的前。分钟只开放了两个打饭窗口；某一天食堂排队等候的学生数y（人）

与打饭菜时间x（分钟）的关系如图所示.

（1）求〃的值；

（2）求排队到第16分钟时，食堂排队等候打饭菜的学生人数；

（3）若要在开始打饭菜后8分钟内让所有排队的学生都能进食堂后来到食堂窗口的学生随

到随吃，那么小陪应该建议食堂王经理一开始就需要至少同时开放几个打饭窗口？

【答案】解：⑴由图象知，520+12a-2xl0a=424,

：.a=12；

（2）设当12SE20时，y与x之间的函数关系式为丫=丘+6,

12k+b=424

由题意，得

20k+b=0

fk=-53

解得:ib=1060‘

'.y=-53x+1060,

当x=16时，y=212,

即排队到第16分钟时，食堂排队等候打饭菜的学生有212人.

(3)设需同时开放〃个打饭窗口，

由题意知10”XQ520+12X8

解得：n>7.7,

•.•〃为整数，

••ft“小=8.

答：至少需要同时开放8个打饭窗口.

11.如图，在平面直角坐标系中，直线yi=H+6与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点8

(0,3)，点C是直线y2=-3+5上的一个动点，连接8C,过点C作C3LA8于点D

(1)求直线％=履+6的函数表达式：

(2)当BC〃x轴时，求8。的长；

⑶点E在线段OA上，OE=^OA,当点。在第一象限，且△88中有一个角等于NOEB

时，请直接写出点C的横坐标.

【答案】解：(1)把A(4,0),B(0,3)代入

得到产，,

l4k+b=0

解得：4,

b=3

/._yi——x+3.

4

(2)：8C〃x轴,

・••点C的纵坐标为3,

当y=3时，3=-4+5,

4

解得X=-p,

5

：.C(―,3),

5

；CDLAB,

4,13

直线CO的解析式为y=--x+——,

315

3128

y=­T'x+ST=---------

125

由，,解得•

413.2791

y

15125

：128279

.D(125,125),

：.BD=产+⑶釜)2=||

IZb

(3)如图，当乙BCQ=NB£。时，过点A作AM_L3C交3C的延长线于M,点M作MN_Lx

轴于N.

:・ian/BEO=----=2,

OE

\-CD_LAB,AMLAB,

：.CD//AM,

：.ZAMB=NBCD=ZBEO,

AR

：.tanZAMB=—=2,

AM

=AB=VOB2OA2=V32+42=5,

1R

：.AM=—AB=—

22f

NAOB=NANM=NBAM=90。，

：.ZBAO+ZABO=90°fZBAO+ZMAN=90°f

：./MAN=NABO,

：.AABOsAMAN,

.AB=pB=OA

**AM-AN-MN，

..•，~~3~_~~~4~~~，

yANMN

2

：.AN=—,MN=2,

2

M(——2),

2

直线BM的解析式为y=-三x+3,

.•.点C的横坐标为擀

当NCBD=NBEO时，同法可得点C的横坐标为空■.

47

12.在平面直角坐标系xOy中，点1）与点B关于过点（/,0）且垂直于x轴的

直线对称.

（1）以AB为底边作等腰三角形ABC,

①当f=2时•，点5的坐标为；

②当/=0.5且直线AC经过原点。时，点C与x轴的距离为；

③若△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1,则f的取值范围是.

（2）以AB为斜边作等腰直角三角形A8D,直线，〃过点（0,b）且与x轴平行，若直线加

上存在点P,△AB力上存在点K,满足PK=1,直接写出6的取值范围.

【答案】解：（1）①如图1中，

图1

由题意A(1,1),A,B关于直线x=2对称,

：.B(3,1).

故答案为(3,1).

②如图2中,

图2

由题意A(-0.5,1),直线/：x=0.5,

,/直线AC的解析式为y=-2x,

：.C(0.5,-1),

.•.点C到x轴的距离为1,

故答案为1.

③由题意A(r-1,0),B(f+1,0),

：AABC上所有点到y轴的距离都不小于1,

G1或11W-1,

解得仑2或区-2.

故答案为仑2或也-2.

(2)如图3中,

二—~-------r-—>>------------

图3

VA(r-1,0),B(r+1,0),

：.AB=-t+\-(f-1)=2,

,/ZVIB。是以AB为斜边的等腰直角三角形，

.•.点/)到AB的距离为1,

，.1当点。在AB匕方时，若直线m上存在点P,/XABD上存在点K,满足PK=\,则0<^<3.

当点。在AB下方时，若直线m上存在点P,AABD上存在点K,满足PK=1,则-1W丛2.

13.笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远

的.1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系.其中笛卡尔的思想核心是：

把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决

几何问题的目的.

某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线y=kx+b(原0)

一Yi-y2Yi-yq

上的任屈二点A(X|>yi),B(X2,J2)>C(X3,J3)声X3),满足-------=-------

xl-x2*xl-x3

Yo-Yo

—±=k,经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线y^kx+h(原0)上

x2-x3

Yi-y

任意两点的坐标M(汨，yi)N5,>2)(x注我)，都有」_^9的值为鼠其中k叫直线y

xl-x2

=h+b的斜率.如，尸(1,3),Q(2,4)为直线y=x+2上两点，则kpQ==1,即

1-2

直线y=x+2的斜率为1.

(1)请你直接写出过后(2,3)、F(4,-2)两点的直线的斜率区F=

(2)学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任