2021高中数学直线方程解答题专项训练(含解析)

-1-…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2021直线方程解答题训练一、解答题1.（2020高二上·青铜峡月考）求符合下列条件的直线方程：（1）平行于直线3x+4y－12=0，且与它的距离是7的直线的方程；（2）垂直于直线x+3y－5=0，且与点P(－1，0)的距离是的直线的方程.2.（2020高二上·尚义期中）根据下列条件求直线的方程：（1）过点，且在两坐标轴上的截距之和为2；（2）过点，且在两坐标轴上的截距之差为2；（3）过点，且在两坐标轴上的截距相等．3.（2020高二上·宣城期中）根据下列条件，求直线方程：（1）过点A，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍；（2）经过点P且在两坐标轴上的截距相等．4.（2020高二上·天津月考）根据条件，求出下列直线的方程：（1）经过点倾斜角为；（2）经过点，.5.已知直线过点，根据下列条件分别求直线l的方程：（1）直线的倾斜角等于；（2）直线在轴、轴上的截距之和等于0．6.（2020高一下·河北期末）求出满足下列条件的直线方程．（1）经过点且与直线垂直；（2）经过点且在两条坐标轴上的截距相等．7.（2020高二上·宜宾月考）求满足下列条件的直线的方程：（1）求与直线平行，且过点的直线方程；（2）已知正方形的中心为直线和的交点，其一边所在直线的方程为,求其他三边的方程.8.求分别满足下列条件的直线l的方程.（1）斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;（2）经过两点，;（3）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.9.（2020高二上·济宁月考）求适合下列条件的直线方程：（1）已知，，求线段的垂直平分线的方程；（2）求经过点并且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程．10.（2021高二上·洮南月考）已知的两条高所在的直线方程为，若点A坐标为（1）.求垂心H的坐标；（2）.若关于直线的对称点为N，求点N到直线BC的距离．11.（2021高二上·北流开学考）已知直线过直线和的交点P．（1）若直线过点，求直线的斜率；（2）若直线与直线垂直，求直线的一般式方程．12.（2020高二上·古县期中）直线经过直线和直线的交点，且与直线垂直，求直线的方程.13.（2021高二上·抚松开学考）已知中，，，．（1）求中平行于边的中位线所在直线的一般式方程；（2）求边的中线所在直线的一般式方程．14.（2020高二上·湖北期中）求经过直线与直线的交点M，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线平行；（2）与直线垂直.15.（2020高二上·运城期中）已知直线l过点，根据下列条件分别求直线l的方程：（1）直线l的倾斜角为135°；（2）直线l在轴，轴上的截距之和为0.16.（2020高二上·绵阳期中）已知的顶点，直线的方程为边上的中线所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求边上的高所在直线方程．17.设直线l的方程为（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．18.（2020高二上·天津月考）已知直线与直线的交点为M.（Ⅰ）求过点M且与直线平行的直线l的方程；（Ⅱ）若直线过点M，且点到的距离为，求直线的方程.19.（2020高二上·上海期中）为已知实数，直线的方程为，直线的方程为.（1）讨论直线与的位置关系；（2）当直线与平行时，求这两条平行线的距离的最大值.20.在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．21.（2020高二上·运城期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.（1）求边所在直线方程；（2）求过顶点且与平行的直线．22.（2020高一下·浙江期中）已知点和点．（Ⅰ）求线段的垂直平分线的直线方程；（Ⅱ）若直线过点，且，到直线的距离相等．求直线的方程．23.（2020高一下·大庆期末）已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程（要求最终结果都用直线的一般式方程表示）.（1）边上的高线的方程；（2）边的垂直平分线的方程.24.（2020高二上·济宁月考）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．25.（2020高二上·会昌月考）已知三边所在直线的方程为AB：，BC：，CA：，求AC边上的高所在的直线方程．26.（2020高一上·吉林期末）已知直线的方程为（Ⅰ）若直线与平行，且过点，求直线的方程；（Ⅱ）若直线与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.27.（2021高二上·洮南月考）已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，（1）.求反射光线所在的方程；（2）.在直线l上求一点P，使；（3）.若点Q在直线l上运动，求的最小值．28.（2021高二上·洮南月考）在中，已知（1）.若直线过点且点到的距离相等，求直线的方程；（2）.若直线：为的平分线，求直线的方程.29.（2020高二上·南昌期中）已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.（1）若与平行，求的值；（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.30.（2021高二上·北流开学考）已知一个动点P在圆上移动，它与定点所连线段的中点为M．（1）求点M的轨迹方程；（2）过定点的直线与点M的轨迹方程交于不同的两点，且满足，求直线l的方程．31.（2021高二上·南昌开学考）已知直线，.（1）当时，求实数的值；（2）当时，求直线与之间的距离.32.（2021高二上·湖南月考）求满足下列条件的直线方程：（1）已知、、，求的边上的中线所在的直线方程；（2）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程.33.（2020高二上·嘉兴期中）已知直线：，直线：．（Ⅰ）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（Ⅱ）若，求直线的方程．

答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：由题可设所求直线为，则，解得或23，故所求方程为或；

（2）解：由题可设所求直线为，则，解得或9，故所求方程为或.【解析】【分析】（1）利用两直线平行斜率相等结合平行线间的距离求解公式，从而结合已知条件求出平行于直线3x+4y－12=0，且与它的距离是7的直线的方程。

（2）利用两直线垂直斜率之积等于-1结合点与直线的距离公式，从而求出垂直于直线x+3y－5=0，且与点P(－1，0)的距离是

的直线的方程。2.【答案】（1）解：在轴上的截距为5，所以在轴上的截距为，利用截距式可得方程为．

（2）解：在轴上的截距为5，所以在轴上的截距为3或7，利用截距式可得方程为或．

（3）解：①若直线在坐标轴上的截距不为零（或者说直线不过原点），则可设直线方程为，由已知过点，即，解得，∴的方程为，即；②若直线在两坐标轴上的截距为零（或者说直线过原点），则可设直线的方程为，代入点A的坐标，得．的方程为，即，∴所求直线的方程为或【解析】【分析】（1）利用点（0，5）的坐标求出直线在轴上的截距为5，再利用直线在两坐标轴上的截距之和为2，从而求出直线在轴上的截距为，从而利用直线的截距式方程，从而求出直线的方程。

（2）利用点（5，0）的坐标求出直线在x轴上的截距为5，再利用直线在两坐标轴上的截距之差为2，从而求出直线在y轴上的截距为3或7，从而利用直线的截距式方程，从而求出直线的方程。

（3）利用分类讨论的方法结合代入法和已知条件直线在两坐标轴上的截距相等，从而结合直线的截距式方程，进而求出直线的方程。3.【答案】（1）解：因为直线的倾斜角为，所以所求直线的倾斜角为又因过点A，所以所求直线为

（2）解：设直线在轴上的截距均为，若，即过点和，∴的方程为，即．若，则设的方程为，∵过点，∴，∴，∴的方程为，综上可知，直线的方程为或．【解析】【分析】(1)首先求出直线的倾斜角进而得出要求直线的倾斜角为，再由点斜式即可求出直线方程即可。

(2)根据题意对a分情况讨论求出不同情况下的直线与坐标轴的交点坐标，结合直线的截距式即可得出答案。4.【答案】（1）解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，所以直线的方程为：，即；

（2）解：设直线的方程为，因为直线过点，，所以，所以直线方程为.【解析】【分析】（1）先求解出直线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出直线的方程；（2）直接假设直线的截距式方程求解出直线的方程.5.【答案】（1）解：设直线的斜率为，由题意得.又直线过点，由直线的点斜式方程可得即直线的方程为：

（2）解：设直线在轴、轴上的截距分别为，，由题意得，即①若时，则直线过点（0，0），可得直线的方程为：.②若时，则直线的方程为：将代入得：，即.直线的方程为：.所以直线的方程为：或【解析】【分析】（1）设直线的斜率为，再结合直线的斜率与倾斜角的关系式，进而结合已知条件求出直线的斜率，再利用直线过点结合代入法，进而利用点斜式方程求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。

（2）设直线在轴、轴上的截距分别为，，再利用直线在轴、轴上的截距之和等于0，得出，再利用分类讨论的方法结合两点式求直线方程的方法和截距式求直线方程的方法，最后利用直线过点P结合代入法，进而求出a,b的值，从而求出直线的方程。

6.【答案】（1）解：因为所求的直线与直线垂直，所以所求的直线的斜率为3．又直线经过点，所以该直线方程为，即

（2）解：当所求的直线与两条坐标轴上的截距均为0时，因为直线经过点，所以该直线方程为；当所求的直线与两条坐标轴上的截距相等且不为0时，则设该直线方程为，将点代入方程得，即所求的直线方程为【解析】【分析】

（1）求出所求直线的斜率利用点斜式方程可得所求的直线方程；

（2）根据截距是否为零分类讨论，当截距不为零时可设直线的方程为，代入所过的点后求出b，从而得到所求直线的方程。

7.【答案】（1）解：过点与直线平行，即所求直线的斜率为，由点斜式方程，可得直线方程是，即

（2）解：联立方程组，解得交点坐标为，设与边所在直线平行的边的方程为，设与边所在直线垂直的边的方程为，又由正方形的中心到直线的距离为，所以点到其它边的距离也等于，所以，解得或，所以其它边所在的直线方程分别为，，.【解析】【分析】（1）过点与直线平行，斜率得到，利用点斜式方程，即可求解；由点斜式方程，可得直线方程是，即；（2）联立方程组，解得交点坐标为，分别设所求直线为，8.【答案】（1）解：设直线l的方程为y＝x＋b.令y＝0，得x＝－b，∴|b·(－b)|＝6，b＝±3.∴直线l的方程为y＝x±3

（2）解：当m≠1时，直线l的方程是，即y＝(x－1)当m＝1时，直线l的方程是x＝1

（3）解：设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.当a≠0，b≠0时，l的方程为；∵直线过P(4，－3)，∴.又∵|a|＝|b|，∴，解得，或.当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，∴l的方程为y＝－x.综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或或y＝－x【解析】【分析】(1)利用斜截式设出直线的方程再由截距的定义求出直线在x轴的截距b的值由此得出直线的方程。

(2)首先由两点式求出直线的方程整理化简即可。

(3)根据题意由截距式设出直线的方程再把点的坐标代入到直线的方程结合已知条件截距相等即可得到关于a与b的方程组求解出结果即可得出直线的方程。9.【答案】（1）解：由题知线段的中点坐标为，，所以线段的垂直平分线的方程为：，即.

（2）解：设直线在轴的截距为，轴截距为，当时，设，因为过，所以，即，直线.当时，设，因为过，所以，即，直线.综上直线或【解析】【分析】（1）首先求出线段的中点坐标，再利用点斜式即可得到答案.（2）分类讨论和的情况，再利用截距式即可得到答案.10.【答案】（1）设，由题意，，可得，故垂心；

（2）由（1）知：，

由“三条高线交于一点”得：，，又，可设，代入，解得：，，，可得，即，∴，整理后得：，设的对称点，则有，且MN的中点在l上，∴，整理得，解得，∴N到直线BC的距离为．【解析】【分析】（1）联立方程组直接求解即可；（2）先运用待定系数法求得直线AC的方程，再联立方程组求得交点C的坐标，再根据直线的点斜式方程求得直线BC的方程，同时根据点关于直线对称的点的坐标求法求得对称点N的坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可.

11.【答案】（1）由题意可知：联立方程组，解得，即交点，又因为直线过点所以直线的斜率为：．

（2）因为已知直线斜率为，所以直线斜率为，

所以直线l的方程为：，

即为：．【解析】【分析】（1）根据两直线的交点公式，结合直线的斜率公式求解即可；（2）根据两直线垂直的充要条件，结合直线的点斜式方程直接求解即可.12.【答案】解：由得，∴交点坐标为，又直线与直线垂直，∴直线的斜率为3，∴直线的方程为，即.【解析】【分析】联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集集合即可得到交点的坐标，根据直线

与直线

垂直，利用两直线垂直时斜率相乘为-1，可设直线的方程，把交点坐标代入即可得到直线方程。13.【答案】（1）因为，，，由中点坐标公式可知，线段的中点为，线段的中点为，所以BC边的中位线所在直线方程为：，整理得：．

（2）因为线段的中点为，所以边的中线所在直线的方程为：，整理得：．【解析】【分析】(1)依题意,可求得AB与AC的中点坐标，从而可求△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程；

(2)利用中点坐标公式可求BC边上的中点为(2,

3)

,从而可求BC边的中线所在直线的方程.14.【答案】（1）解：由，解得，所以交点.因为斜率，由点斜式得所求直线方程为，即.

（2）由垂直可得所求直线的斜率，由点斜式得所求直线方程为，即.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而求出所求直线的斜率，再利用两直线求交点的方法，联立二者方程求出交点坐标，再结合点斜式求出直线方程，再转化为直线的一般式方程。（2）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出所求直线的斜率，再利用两直线求交点的方法，联立二者方程求出交点坐标，再结合点斜式求出直线方程，再转化为直线的一般式方程。

15.【答案】（1）根据题意，直线l的倾斜角为135°，则其斜率，又直线l过点，则直线l的方程为，变形可得，即直线l的方程为，

（2）根据题意，分2种情况讨论：若直线l经过原点，直线l的方程为，即；若直线l不经过原点，则直线l的斜率，直线l的方程为，变形可得，综合可得：直线l的方程为或.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，进而求出直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线l的方程。

（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和直线l在轴，轴上的截距，从而求出直线的斜率，进而求出直线l的方程。

16.【答案】（1）解：联立，解得，可得；

（2）解：设，则的中点，则，解得，又，所以边上的高所在直线的斜率，所以边上的高所在直线方程为，即.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线求交点的方法，从而求出顶点C的坐标。

（2）设

，利用中点坐标公式求出AB的中点坐标，再利用两直线相交联立二者方程求出交点B的坐标，再利用两点求斜率公式结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线AC边上的高所在的直线的斜率，再利用点斜式求出

边上的高所在直线方程。17.【答案】（1）解：若，解得，化为．若，解得，化为，舍去．若且，化为：，令，化为，解得，可得直线的方程为：．综上所述直线的方程为：或

（2）解：直线的方程可化为∵不过第二象限，，【解析】【分析】(1)根据题意由直线截距的定义求出直线截距关于a的代数式结合已知条件计算出a的值由此求出直线的方程。

(2)根据直线的几何性质结合题意得到关于a的不等式组求解出a的取值范围。18.【答案】解：（Ⅰ）联立，解得：.

所以与平行的的直线方程为：，整理得：.（Ⅱ）当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设，即：.由题得：，解得：，；所以，所求直线的方程为：.【解析】【分析】（Ⅰ）联立直线方程可求出交点，根据所求直线过交点且与平行即可求解（Ⅱ）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用点到直线距离求解即可.19.【答案】（1）解：由题意，列方程组，因为，①当即时，相交；②当即时，，（i）当时，重合；（ii）时，

（2）解：当时，，此时恒过点，恒过点，所以当与线段垂直时，这两条平行线的距离最大，最大值为【解析】【分析】（1）转化条件为方程组解的个数，按照系数行列式、分类，即可得解；（2）求出直线所过定点即可得解.20.【答案】解：由方程组解得点A的坐标为(－1,0)．又直线AB的斜率kAB＝1，x轴是∠A的平分线，所以kAC＝－1，则AC边所在的直线方程为y＝－(x＋1)．①又已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，故直线BC的斜率kBC＝－2，所以BC边所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．②解①②组成的方程组得即顶点C的坐标为(5，－6)【解析】【分析】首先联立直线的方程求出交点的坐标再由已知条件结合点斜式求出直线的方程，再由直线垂直斜率的关系计算出kAC＝－1，由点斜式即可求出该直线的方程联立直线的方程求出交点的坐标由此得到顶点C的坐标。21.【答案】（1）解：由边上的高所在直线方程为，可知，又，故边所在直线方程为，即边所在直线方程为；

（2）解：联立，解得，所以顶点的坐标为；又因为所在直线的斜率为，故所求直线方程为，即．【解析】【分析】（1）由直线垂直的性质可得，再由点斜式方程即可得解；（2）联立方程求得顶点的坐标为，再由直线平行的性质及点斜式方程即可得解.22.【答案】解：（Ⅰ）因为点和点．所以线段的中点坐标为：，即，直线的斜率为：，因此直线的垂线的斜率为：，因此线段的垂直平分线的直线方程为：，化简得：；（Ⅱ）设直线存在斜率，设为，因为直线过点，所以直线的方程为：，又因为，到直线的距离相等，所以有，即；当直线不存在斜率，因为直线过点，所以直线的方程为：，因为点和点到直线的距离都是3，所以符合题意.因此直线的方程为：或.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，设AB的垂直平分线为直线m，由AB的坐标可得AB的中点坐标以及直线AB的斜率，由直线的点斜式方程可得直线m的方程，即可得答案。

（Ⅱ）根据题意，分析可得当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时满足题意，由此分情况讨论求出直线l的方程，综合即可得答案．23.【答案】（1）解：直线的斜率为，所以，边上的高线的方程为，即

（2）解：线段的中点为，所以，边的垂直平分线的方程为，即【解析】【分析】（1）求出直线的斜率，进而可得出边上的高线的点斜式方程，化为一般式方程即可；（2）求出线段的中点坐标，进而可得出边的垂直平分线的点斜式方程，化为一般式方程即可.24.【答案】（1）解：设，因为直线与直线垂直，且点在直线上，所以，解得，故.

（2）解：设由题知：，所以，解得，即.，直线，即：.，点到直线的距离，所以.【解析】【分析】（1）首先设，根据题意得到，再解方程组即可.（2）首先设，得到，从而得到，解方程得到，再求出和点到直线的距离，即可得到答案.25.【答案】解：由解得交点的坐标为．设交于点，∴，∴边上的高所在的直线方程为，即．【解析】【分析】先解方程组解出B的坐标，再由高线BD和CA垂直，斜率之积等于-1，求出高线的斜率，利用点斜式写高线的方程，并化为一般式即可得结果．26.【答案】解：（Ⅰ）由直线与平行，可设的方程为.将带入，得，解得，直线的方程为（Ⅱ）由直线与垂直，可设的方程为，令，得，令，得，故三角形面积，化简得，即，直线的方程是.【解析】【分析】（1）由于两直线平行，可设直线方程为，将点代入，可求得直线的方程；（2）由于两直线垂直，故设直线方程为，然后求出横截距和纵截距，利用所围成三角形面积建立方程，求出的值.27.【答案】（1）设线段AB中点D，点A关于直线l的对称点，直线AC与直线l交于，因为直线AC与直线l垂直，并且过点A，所以其方程为，即，由，，解得，，即M坐标为．因为A、C两点关于直线l对称，所以关于点M对称，所以，，所以根据光线反射定律，反射光线经过B、C两点，由直线的两点式方程得：直线BC方程为，即反射光线所在直线的方程为

（2）设线段AB的垂直平分线为m，因为，所以点P在直线m上，又因为点P在直线l上，所以点P为直线l与m交点，由，的坐标可知，线段AB中点，直线AB斜率为，所以其垂直平分线m斜率，因其经过点D，由直线的点斜式方程得直线m的方程为，即．与直线l的方程联立

解方程组得P点坐标为

（3）设点Q坐标为，令，则，当且仅当最小时，u取得最小值.即点Q到线段AB中点D距离最小，因为点Q在直线l上，所以点Q是点D在直线l上的射影，此时DQ是点D到直线l的距离，由点到直线距离公式得．所以．【解析】【分析】（1）先根据两直线垂直的判定定理求得直线AC的方程，再联立方程组求得直线AC与直线l的交点M，即为AC的中点，根据中点坐标公式求得点C的坐标，再根据直线的两点式方程直接求解即可；（2）根据线段的垂线的性质易知，点P在线段AB的垂直平分线m上，根据两直线垂直的判定定理以及直线的点斜式方程求得直线m的方程，再联立直线m与直线l的方程组求解即可；

（3）根据两点间距离公式，结合点到直线的距离公式求解即可.28.【答案】（1）点到的距离相等，直线过线段的中点或，①当直线过线段的中点时，直线斜率不存在，则的方程为；②当时，则斜率，则的方程为，即；综上，的方程为或；

（2）直线为的平分线，所以点关于直线的对称点在直线上，则有，解得，即，直线的斜率，直线的方程为，即【解析】【分析】（1）根据两直线平行的判定定理以及直线的点斜式方程，结合分类讨论思想求解即可；（2）根据点关于