一元一次方程-基础与提优

第第第三讲一元一次方程本章思维导图学习要点与方法点拨：一、一元一次方程的概念，方程的解和解方程的概念；二、等式的基本性质是重点，是解方程中很多步骤的依据；三、解一元一次方程的步骤，以及应用一元一次方程解决实际问题。课前复习：等式和方程的概念，它们的相同点和不同点；根据题目意思找到等量关系，正确的列方程。模块精讲一元一次方程我们知道，相比于算术，方程能用更简便的方法解决问题。在初中数学中，方程是一个很重要的知识点。在小学里，我们学过了简单的方程的解法。但是，你真的了解方程吗？今天，我们就具体研究一下方程，把它的各个零部件拆开来一一研究。定义：含有未知数的等式叫做方程。请判断，下列哪个选项是方程？A、x－1B、x2＋5x＋6=0C、2＋3=5D、2所以，方程的定义里含有两个条件：①含有未知数；②是等式。两个条件必须同时满足才是方程。接下来，我们再观察一下，x2＋5x＋6=0和2x＋1=5这两个方程有什么不同呢……这两个方程的左边都是一个多项式，分别是2次多项式和1次多项式……在方程里，未知数的最高次数就是方程的次数。例如，x2＋5x＋6=0是二次方程。学习了方程的次数，我们再研究方程的另一个概念。这两个方程：5x＋6=0和2x＋4y=0有什么不同呢？含有的未知数不同。方程里的未知数，我们取一个名字：叫做方程的元。这里，5x＋6=0叫做一元方程，2x＋4y=0叫做二元方程，有几个未知数叫做几元方程。回到这一章的标题，一元一次方程，就是含有……需要注意的是，一元一次方程还有一个条件：必须是整式，也就是未知数不能在分母中。因此，必须满足三个条件：（1）只含有一个未知数：（2）未知数的次数都是1次；（3）等号两边都是整式。同时满足这三个条件，才能称为一元一次方程。请判断，下列哪个选项是一元一次方程？A、1x＋2=4B、9x＋2x2=10C、3x＋6=21D、x－使等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。例如：x=5就是方程3x＋6=21的解。那么，x=5是怎么求出来的呢？求解的过程就叫做解方程。判断一个数是不是方程的解……练习：1、方程必须满足的两个条件是__________、__________；2、下列各式是一元一次方程的是（）A、x＋2y=1B、x=1C、x－56D、x2=163、下列各式是一元一次方程的是（）A、x－8B、y－4=3C、a2－4a=－4D、1－12x=－复习：找等量关系列方程根据题目中的文字描述找到对应的等量关系：（1）某数的一半与4的和等于16，设某数为x；（2）某数与1的差的20％比16多10，设某数为x；（3）某超市5月份售出饮料x瓶，6月份销售量比5月份的2倍还多250瓶，两个月共售出3200瓶；（4）某日温差是10℃，这天的最高气温是x℃，最低气温是2/3·x℃.找出等量关系列方程；（5）小明的班中，男生占45％，女生有55人，小明班共有多少人？（可设共有x人，或设男生为x人）（6）某工厂11月的水电费一共2000元，其中水费比电费的2/3多150元。设电费为x元；（7）七年级某社团计划做一批“实验模型”，如果每人做5个，那么比计划多做9个；如果每人做4个，那么比计划少15个。设该社团有x人。等式的性质根据等量关系列出方程只是第一步，我们还必须解方程。解方程……我们必须掌握两个重要的性质。这就是等式的性质。等式的性质是解方程每一步的依据……等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。用字母表示：若a=b，则a±c=b±c。等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。用字母表示：若a=b，则ac=bc，ac=bc（c以前解方程时，“移项”这一步就是依据等式的性质1.“化系数为1”依据等式性质2……我们知道：方程是等式的一种，是含有未知数的等式。因此，解方程时，我们对方程做的每一步变形，都要符合等式的性质。我们解一个方程：－3x＋9=－6……解方程的步骤我们学习了等式的性质，那么解方程的目的就是利用等式的性质，把一个复杂的方程进行变形、化简，最终得到x=a的形式。我们看这几个方程：2x＋3x＋4x=18，14x＋18x=6，－5x＋2x－x=12.它们的特点是左边有多个含未知数的项，为了解出x，我们运用多项式……合并同类项，把左边整理成一个含有x的单项式。从而有9x=18，到了这里，我们需要把方程左边x的系数变成1，从而得到x=a的最终形式，这一步叫做“化系数为1”.它的理论依据就是等式的性质我们再看一个更一般的例子：3x－2=x＋43x－2－x=x＋4－x………………等式的性质13x－2－x＋2=x＋4－x＋2…………等式的性质1移项（移到等号另一边需要变号）3x－x=4＋2…合并同类项2x=6……合并同类项x=3……化系数为1（依据是等式的性质2）这里就是解方程的三个基本步骤：移项：合并同类项；化系数为1.移项：把含有未知数的项都移到等号左边，把常数项都移到等号右边；合并同类项：按多项式合并的规则合并；化系数为1：等号左边只剩x，右边是一个数字。练习：1、解方程4x－11=x＋4，并指出每一步变形的名称和理论依据。2、解方程32x－3=34x＋1除了三个基本步骤，我们还会碰到更复杂的方程，例如含有括号和含有分母。这时，第一步就是去括号和去分母。例如：7(2x－1)=3－2(2x＋3).我们在学习合并同类项时解决了怎么去括号的问题……另一类就是系数是分数的情况，例如：23x＋5=12x，这时我们首先要去分母，这一步类似于“通分”，找最小公倍数（这里是6），根据等式的性质2，我们可以在左右两边同时乘以6，注意每一项都要乘以6，包括常数项。可以得到：4x＋30=3x，这样就转化为我们熟悉的形式了。在我们不熟悉时，写上步骤（23x＋5）·6=12再看一个：3y-14－1=5y-76，最小公倍数为12，注意分子为多项式，要加括号：3(3y－1)－12=2(5y－7)。再去分母时的步骤：①找各个分母的最小公倍数；②都乘以最小公倍数，注意每一项都要乘，不能漏乘，包括常数项；③分子为多项式时，先用括号括起来。练习：1、解方程：（1）3x－2(x－3)=5(1－x)（2）3(a－2)=7(1－a)（3）2(x－2)=3(4x－1)＋9（4）7(3x＋2)=2(4x－3)－62、解方程：（1）3x-12=2x-23＋1（2）3x+1（3）x-13=1－x-92（4）3x5＋总结一下，解方程分为5步：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.解方程常见错误辨析（1）x-23=2－x+26（2）2x-15=1－2x-27（3）x+12(x－2)=12－x＋27(2x－1)=35－5(2x－2)2(x＋1)=3(x－1)＋12x－4=12－x＋214x－7=35－10x－102x＋2=3x－1＋13x=12＋2－424x=35－10＋72x－3x=－2x=10/3x=3/4x=2第（1）题的错误提醒我们：去分母时一定要加括号。第（3）题的错误提醒我们：去分母时常数项也要乘以公倍数。常见的错误：去分母不加括号；移项不变号；去括号忘记变号；系数化1时搞混谁除以谁；常数项不乘公倍数；去括号后面忘乘系数。方程的解我们再看解方程这部分的新题型：含有字母的方程。例1、已知y=4是关于y的一元一次方程y+83－m=5(y－m)的解，求m的方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。例如：x=3是方程5x－7=8的解。判断时，只要x=3代入方程，看左右两边是否相等……在例1，把y=4代入方程，可得到一个关于m的方程……例2、已知关于x的方程a-x2=bx-33的解是同样将x=2代入方程，化简可得3a=4b……例3、若x=1是关于x的方程2－m-x3=2x的解，求关于y的方程m(y－3)－2=m(2y思路不明确，先把x=1代入再看……可以求出m=1……总结：如果题目告诉方程的解，立即把解代入原方程，等式仍然成立，可以再求出参数。练习：1、已知关于x的方程6a－x=x2＋3的解是2、已知x=12是方程2a＋10x=12＋x的解，则关于y的方程ay＋2=1－3y的3、已知关于x的方程a-x3=bx-84的解是x=6，且4、已知关于x的方程3x－1=2x＋1和2m＋x=4有相同的解，求m的值。列方程解应用题列方程解应用题中最重要的是什么？根据题目意思，找到等量关系……例4、一次数学测验共有25道选择题，评分标准如下：答对1题得4分；答错或不答1题扣1分。已知王军同学得了75分，求他答对了多少道题？（讲解）例5、某班同学分成两组去植树，第一组22人，第二组26人，现在第一组遇到困难需要第二组支援。问从第二组调多少人去第一组，才能使第一组的人数是第二组的2倍？例6、一项工作，甲单独完成要9天，乙单独完成要12天，丙单独完成要15天，若甲、丙两人先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲的工作，则还要几天能完成这项工作的5/6？下面介绍常见的几种类型的应用题：1、比例分配问题例7、某机关有A、B、C三个部门，三个部门的公务员人数分别是84、56、60.现在需要裁员，如果三个部门的人数比例保持不变，裁员后使这个机关仅留下公务员150人，那么C部门留下的公务员是多少人？（讲解）先求出不变的比例关系84:56:60=21:14:15，再设裁员后三部门的人数分别是21k，14k，15k，即有方程：21k＋14k＋15k=150，解得k=3，则C部门留下15k=45人。练习：甲、乙、丙三个粮仓共存粮食80吨，已知甲、乙两个粮仓存粮数之比是1:2，乙、丙两个粮仓存粮数之比是1:2.5，求甲、乙、丙三个粮仓各存粮多少吨？2、和、差、倍、分问题例8、某市文艺团为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，筹得票款6950元。已知成人票每张8元，学生票每张5元。问成人票和学生票各售出多少张？解法1：设售出的学生票为x张；解法2：设售出的学生票款总额为x元，3、行程问题例9、甲、乙两人在一条长400m的环形跑道上跑步，甲的速度是360m/min，乙的速度是240m/min。（1）两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？（2）两人同时同地反向跑，问多长时间后两人第一次相遇？（1）属于追及问题：甲走的路程－乙走的路程=400m；（2）属于相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程=400m。例10、轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需5小时，水流速度为2千米/时，求两个码头之间的距离。水中航行问题的等量关系：①顺水速度=静水速度＋水流速度，逆水速度=静水速度－水流速度；②顺水航程=逆水航程；③航程=速度×时间。解法1：设静水速度为x千米/时，顺水航程=4(x＋2)，逆水航程=5(x－2)。先求出x再求距离；解法2：设两个码头的距离为x千米，静水速度=x4－2=x54、工程量问题例11、一项工程，甲队单独做需10小时完成，乙队单独做需15小时完成，丙队单独做需20小时完成。开始时三个队合做，中途甲队另有任务，由乙、丙两队完成。从开始到工程完成共用了6小时，问甲队实际做了几小时？工程问题可把总工程量看做1，则甲、乙、丙的工作效率为1/10，1/15，1/20。设甲、乙、丙合做了x小时，有1105、打折销售问题例12、某商店将某种服装按成本价提高40％后标价，又以8折（标价的80％）优惠卖出，结果每件仍获利15元，问这种服装每件的成本价是多少元？利润问题的等量关系：利润=售价－进价(成本价)，利润率=利润进价×100设成本价为x，有：x·(1＋40％)·80％－x=15.6、调配问题例13、现有甲、乙两项工程，甲工程的工作量是乙工程工作量的2倍，第一组有19人，第二组有14人（假设人均工作效率相同），怎样调配两组的人数，才能使两项工程同时开工又同时完工呢？19＋x=2(14－x)或2(19－y)=14＋y。7、分段收费问题例14、某城市按以下规定收取每月的水费：用水量不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超出部分仍按每吨1.2元收费，而超出部分则按每吨2元收费。如果某用户5月份水费平均每吨1.4元，那么该用户5月份应交收费多少元？设5月份用水x吨，由于1.4＞1.2，因此x＞6，有：1.4x=1.2×6＋(x－6)×2。方程思想的应用－121830例15、已知右边所示的表格中，各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n.请根据表格中填好的三个数，求出m、n的值。（讲解）根据题意：右边的数=左边的数＋m，下面的数=上面的数＋n看－12这一格，右边一格就是－12＋m，再往右一格就是－12＋2m，而这一格是18，可得方程：－12＋2m=18，即可求出m.m=15，可得－12右边是3.这样3和30在同一列，同理求出n。例16、如图，把正整数1,2,3,4，……，2009排列成一个表。1234567（1）把四个相邻的数框起来，这四个数的和能否等于416？891011121314（2）被框住的四个数之和能否等于166？15161718192021首先要找出排列的规律：一排是7个数，依次排列。则相邻22232425262728的数的关系是：右边的数=左边的数＋1，………………下面的数=上面的数＋7ab设框住的四个数是a、b、c、d，即有a＋b＋c＋d=416，cd又b=a＋1，c=a＋7，d=a＋8……练习：1、在某月的日历表上，可以用一个矩形圈出2×2个位置的4个数（如6,7,13,14）。设圈出的最小数为x，则圈出的最大数可以表示为________________；2、有一个左右对称的等式：12×8□=□8×21，也就是，将等号左边的式子从右往左写，就得到等号右边的式子，其中未知的一个数字用□代替。若设□代表的数字是x，则可得方程（）A、12×(8＋x)=(10x＋8)×21B、12×(8x＋10)=(10x＋8)×21C、12×8x=(x＋8)×21D、12×(80＋x)=(10x＋8)×213、三个连续的奇数的和是75，这三个数分别是_______，_______，________。提优试题例17、（1）（2）（3）例18、（1）（2）例19、（1）（2）课后巩固——列方程解应用题专项测试一、选择题。（每题3分）1.现在儿子的年龄是8岁，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，（）年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍。A.6 B.5 C.4 2.某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（）A. B.C. D.3.一个两位数，它的十位数字加上个位数字的7倍，还是等于这个两位数，这样的两位数有（）。A.2个 B.3个 C.4个 D.5个4.把含酒精60%的溶液9000克，变为含酒精40%的溶液则需加水量是（A.4500克 B.3500克 C.450克5.某商品的销售价为225元，利润率为25%，那么该商品的进价应该为（）A.180元 B.200元 C.225元 D.250元6.甲、乙二人去商店买东西，他们所带钱数的比是7：6，甲用掉50元，乙用掉60元，则二人余下的钱数比为3：2，求二人余下的钱数分别是（）A.140元、120元 B.60元、40元C.80元、80元 D.90元、60元7.一蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管20小时可注满水池，两管齐开只需12小时，那么单开乙管需（）小时。A.32 B.30 C.8 D.8.某电视机厂10月份产量为10万台，以后每月增长率为5%，那么到年底再能生产（）万台。A. B.C. D.9.甲、乙两人练习百米赛跑，甲的速度是6.5米/秒，乙的速度是7米/秒，若乙让甲先跑1秒，则乙追上甲需（A.14秒 B.13秒 C.7秒 D.6.5秒二.填空题。（每空2分）1.三角形三边长之比为7：5：4，若中等长度的一边长的两倍比其它两边长的和少3cm，则三角形的周长为___________。2.某中学的实验室需含碘20%的碘酒，现有含碘25%的碘酒350克，应加纯酒精________3.要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4cm的圆钢______cm。4.甲仓库有煤360吨，乙仓库有煤520吨，从甲仓库取出x吨，运到乙仓库，这时甲仓库有煤______吨，乙仓库有煤______吨，如果这时甲仓库的煤数是乙仓库煤数的一半，那么根据这个条件列出的方程是_________。5.一项工程，甲独做a天可以完成，乙独做b天可以完成，那么甲每天的工作效率是_______，乙每天的工作效率是________；如果两人合做m天，那么甲完成这项工程的________，乙完成这项工程的________，两人共完成这项工程的_________，还余下工程的_________。6.若一艘轮船在静水中的速度是7千米/小时，水的速度为2千米/小时，那么这艘轮船逆流而上的速度为_________，顺流而下的速度为7.甲、乙两人同时从相距27千米的A、B两地相向而行，3小时后相遇，如果甲比乙每小时多走1千米本题的一个等量关系式是_______________________。设乙的速度为每小时x千米，则甲的速度为每小时_______千米；列出相应的方程为____________________________；解得，甲的速度为每小时________千米，乙的速度为每小时________千米。三、解答题。（每题5分）1.在一次区里举办的知识竞赛中，某校代表队的平均分是88分，其中女生的平均成绩比男生高10%，而男生人数比女生人数多10%，问男、女生的平均成绩各是多少分？2.已知圆柱的底面直径是60毫米，