三角函数最值恒等变换

三角函数最值与综合应用一、求三角函数最值的一般方法1.用三角发求解三角函数的最值常见的函数形式（1），其中，（2）可先降次，整理转化为一次形式。（3）可转化为只有分母含或函数式，或的形式，有正、余弦函数的有界性求解。2.用代数发求三角函数的最值常见的函数形式（1）可转化为的二次函数式。（2），令，则转化为的最值，一般可用图像。（3），一般用万能公式转化为关于的二次方程，由“判别式法”求其最值；或转化为关于的函数式后噶偶早应用“均值不等式”及“单调性”求其最值，也可以将函数式转化为的形式，由正余弦的有界性求最值。3.用解析法求三角函数的最值常见的函数形式或可转化为椭圆上的动点与定点连线的斜率的最值问题。二、求三角函数值域的常用方法求三角函数的值域除了判别式、总要不等式、单调性等方法除外，结合三角函数的特点还有以下常用方法：1.涉及正、余弦函数以及，其中，都可以考虑利用有界性处理2.型,其中,再利用有界性处理。3.形如或的函数求最值是都可以通过适当变换，通过配方法来求解。4.形如，在关系式中是，可以考虑换元法处理，如令，则。把三角问题化归为代数问题解决5.形如型或能确定所给函数在某区间上单调，可考虑利用单调性求解。求下列函数的值域（1）（2）变式1.求函数的值域变式2.求函数的最值及对应的的集合Ⅰ练习：一、选择题1.（2009全国Ⅱ）若将函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则的最小值为（）A.B.C.D.2.（2008湖南）函数在区间上的最大值是（）A.B.C.D.二、填空题3.（2009全国Ⅰ）若，则函数的最大值为4.（2008辽宁）已知，，且在区间有最小值，无最大值，则三、解答题5.（2010辽宁）在中，分别为内角的对边，且（1）求的大小（2）求的最大值6.(2009陕西)已知函数，的图像与轴的交点中，相邻连个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为。（1）求的解析式；（2）当时，求的值域7.（2008安徽）已知函数（1）求函数的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数在区间上的值域8.（2008福建）已知向量，，，且为锐角。（1）求角的大小（2）求函数的值域三角恒等变换方法与技巧：1.和角公式中要注意公式成立的条件。2.三角函数式的化简原则：尽量使函数种类最小，次数相对较低，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求出具体值的应该要求出具体值。3.要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如，，，的半角，是倍角。4.要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角之间关系的特殊性化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活掌握个公式的正用、逆用、变形等。例三角函数式的化简与证明化简（从角入手，化复交为单角）（从名入手，化异名为同名）（从从幂入手，降幂处理）（从行入手，配方法）变式：求证：练习：一、选择题1.（2010新课标全国）若，是第三象限角，则（）A.B.C.D.2.（2010福建）计算的结果等于（）A.B.C.D.3.（2010江西）是等腰直角三角形斜边上的三等分点，则（）A.B.C.D.二、填空题4.（2010全国Ⅱ）已知是第二象限角，,则5.（2010浙江）函数的最小正周期是三、解答题6.（2010天津）已知函数。（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（2）若，，求的值。7.（2010安徽）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且（1）求角的值（2）若，求（其中）8.（2010江西）已知函数（1）当时，求在区间上的取值范围；（2）当时，，求的值9.（2010湖北）已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值，并求使取得最大值的集合三角函数最值与综合应用习题一选择题1.若函数，对任意的都有，则等于（）A.2或0B.-2或2C.0D.-2或02.已知函数，且此函数的图像如图所示，则点的坐标是（）A.B.C.D.3.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线其图像的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为（）A.B.C.D.4.已知函数，给出下列四个命题：①若，则；②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图像关于直线对称；其中真命题是（）A.①②④B.①②C.②③D.③④5函数的最大和最小正周期分别为（）A.B.C.D.二、填空题6.已知函数的图像关于直线对称，则7.已知函数，则函数的最小正周期为三、解答题已知，，与之间有关系式，其中用表示；（2）求的最小值，并求此时与夹角的大小。三角恒等变换选择题1.已知，，那么等于（）A.B.C.D.2.若，则的值为（）A.B.C.D.3.若，，则的值为（）A.B.C.D.4.设，，则的