复变函数与积分变换总结

《复变函数与积分变换》复习要点：(1)复数的运算和复函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数）值的计算；(2)判别复函数的连续性、可导性和解析性（包括Cauchy－Riemann方程）；(3)求复积分（包括利用Cauchy－Goursat基本定理和留数定理）；(4)求共轭调和函数；(5)求复函数的Taylor级数和Laurent级数；(6)求留数及其在积分中的应用；(7)Fourier正逆变换公式以及七条常用性质（线性、位移、微分、积分、卷积、乘积、相似性质）；(8)Laplace正逆变换公式以及七条常用性质（线性、微分、积分、位移、延迟、卷积、相似性质）；(9)利用Laplace变换求解线性微分方程（组）；(10)的Fourier变换公式和Laplace变换公式．Fourier变换公式：；；；；；；．Laplace变换公式：；；；；；；．计算题．例1．计算．解：；；．（大写L）（大写Z）例2．问函数在何处连续？何处可导？何处解析？．解：．在实平面处处连续，在复平面处处连续．，仅在直线上可导；但直线不含邻域，无处解析．例3．计算，其中曲线Ｃ为：(a)圆周的正向；(b)圆周的正向．解：记．(a)在曲线Ｃ内部解析，根据Cauchy－Goursat基本定理，．(b)有奇点：，三级极点．利用留数定理，．例4．．30(2),(3)．（共轭调和函数）例5．．11(4)，12(3),16(3),(5)．例6．．1(2),(7),8(3),9(5)．例7．《积分变换》．3(1),16．例8．．3,5(3),(6)．5(3)据例1，，利用线性性质和象函数位移性质得：．5(6)．例9．．1(2),(3),(8),3(1)(利用性质计算)．例10．．3(3),(7),．1(10)．例11．．1(6),4(2)．2007/2008学年第一学期《复变函数与积分变换B》课程考核试卷A√、B□课程代码：22000142学分/学时数2.5/40任课教师_______课程性质：必修□、限选□、任选□考试形式：开卷□、闭卷√适用年级/专业_全校工科类各专业_考试时间100分钟……………………学号姓名__________得分_______________注意：务请考生保持卷面整洁、少涂改，否则适当扣分．一．填空题(每小题5分，共15分．可以增补一个中间式）：1．计算函数值：=_______________________________________________________________；=_______________________________________________________________________________．2．函数在处的Taylor级数为___________________________________________；其收敛半径为________________________________________________________________________．3．若C是圆周的正向，则的值为_________________________________．二．（10分）试问函数(其中)在何处连续？何处可导？何处解析？为什么？三．（12分）计算积分I=，其中曲线C为：(a)圆周的正向；(b)圆周的正向．四．（8分）试将函数在区域内展开成Laurent级数．五．（10分）试指出在有限复平面内的孤立奇点及其类型，并求各孤立奇点处的留数．六．（16分）(1)试求的Fourier变换；(2)试求的Fourier变换．七．（16分）(1)设函数以为周期，且．试求的Laplace变换(k为常数)；

(2)试求的Laplace变换(k为常数)．八．（13分）试用积分变换法求解初值问题：（其中为未知函数）．2007/2008学年第一学期《复变函数与积分变换A》课程考核试卷A√、B□课程代码：22000141学分/学时数3/48任课教师________课程性质：必修□、限选□、任选□考试形式：开卷□、闭卷√适用年级/专业_全校工科类各专业_考试时间_100分钟…………………学号姓名__________得分_______________注意：务请考生保持卷面整洁、少涂改，否则适当扣分．一．填空题(每小题6分，共18分．可以增补一个中间式）：1．复数=_______________________________，其主值为______________________________．2．在＝0处的Taylor级数为_____________________________________________；收敛半径为___________________________________________________________________________．3．计算积分的值_____________________________________________________________．二．（10分）试求解析函数，其中，，．三．（13分）计算积分I=，其中曲线C为：(a)圆周的正向；(b)圆周的正向．四．（9分）试将函数在区域内展开成Laurent级数．五．（5分）计算广义积分