2021年四川省凉山州中考数学试卷（含解析）

2021年四川省凉山州中考数学试卷

一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项

是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。

1.（4分）（2021•凉山州）|-2021|=（）

2.（4分）（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（）

IIIiI11.11III]1.

A.32104-2-3B.-1-2-30123

।i।i।i।i।।.

c.-3-2-1123D.-3-2-10123

3.（4分）（2021•凉山州）“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”

探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18

分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功.请将5亿这个数用科学记

数法表示为（）

A.5xl07B.5xl08C.5xl09D.5xlO10

4.（4分）（2021•凉山州）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（）

A.9B.±9C.3D.±3

6.（4分）（2021•凉山州）在平面直角坐标系中，将线段4?平移后得到线段AZ',点A（2,l）

的对应点月’的坐标为（-2,-3）,则点8（-2,3）的对应点8'的坐标为（）

A.（6,1）B.（3,7）C.（-6,-1）D.（2,-1）

7.（4分）（2021•凉山州）某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的

成绩如表所示：

成绩60708090100

人数3913169

则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（）

A.90,80B.16,85C.16,24.5D.90,85

8.（4分）（2021•凉山州）下列命题中，假命题是（）

A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合

C.若=则点3是线段AC的中点

D.三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心

9.（4分）（2021•凉山州）函数y=+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程

/+法+左-1=0的根的情况是（

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

10.（4分）（2021•凉山州）如图，AA3C中，NACB=90。，AC=8,BC=6,将AADE沿

DE翻折，使点A与点8重合，则CE的长为（）

C,”D.Z

44

11.（4分）（2021•凉山州）点P是。内•点，过点。的最长弦的长为lOcm,最短弦的长

为6a%,则OP的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

12.（4分）（2021•凉山州）二次函数>=依2+fcv+c（"H0）的图象如图所示，则下列结论中

不正确的是（）

A.abc>0B.函数的最大值为a-b+c

C.当一3都：1时，y.OD.4a-2b+c<0

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13.（4分）（2021•凉山州）函数>=在亘中，自变量x的取值范围是

X

x-1

"是方程ox+y=2的解，则。的值为____.

{'=3

15.（4分）（2021•凉山州）菱形中，对角线AC=I0,37）=24.则菱形的高等于.

16.（4分）（2021•凉山州）如图，将MBC绕点。顺时针旋转120°得到△A'B'C,已知AC=3,

BC=2,则线段钻扫过的图形（阴影部分）的面积为一.

17.（4分）（2021•凉山州）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形

共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…

照这样拼图，则第n个图形需要一根火柴棍.

三、解答题（共5小题，共32分）

18.（5分）（2021•凉山州）解不等式：上d-x<3-生工.

34

19.（5分）（2021•凉山州）已知x-y=2,---=1,求fy-孙2的值.

xy

20.（7分）（2021•凉山州）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带

来诸多不利影响.为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，

促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强

中小学生手机管理工作的通知》.为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再

见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其

中A表示“一等奖”，3表示“二等奖”，C表示“三等奖”，。表示“优秀奖”）.

获奖情况条形统计图获奖情况扇形统计图

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）获奖总人数为人，m=；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加

全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.

21.（7分）（2021•凉山州）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用

所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45。，再从C点

出发沿斜坡走2M米到达斜坡上力点，在点。处测得树顶端A的仰角为30。，若斜坡CF的

坡比为i=l:3（点E、C、5在同一水平线上）.

（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度：

（2）求大树43的高度（结果保留根号）.

A

22.（8分）（2021•凉山州）如图，在四边形ABCD中，=ZB=90。，过点。作。E_LA5

于E,若DE=BE.

（1）求证：DA=DC;

（2）连接AC交小于点F,若NM）E=3O。，AD=6,求小的长.

四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）

23.（5分）（2021•凉山州）若关于x的分式方程工-3=」上的解为正数，则，"的取值范

x-1\-X

围是.

24.（5分）（2021•凉山州）如图，等边三角形A8C的边长为4,C的半径为G，P为AB

边上一动点，过点P作OC的切线PQ,切点为Q,则的最小值为.

五、解答题（共4小题，共40分）

25.（8分）（2021•凉山州）阅读以下材料：

苏格兰数学家纳皮尔（J.帅/er,1550-1617年）是对数的创始人.他发明对数是在指数

书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（EWer,1707-1783年）才发现指数与对数之

间的联系.

对数的定义:一般地，若优=N(a>0且a工1),那么x叫做以a为底N的对数，记作x=log“N,

比如指数式24=16可以转化为对数式4=log,16,对数式2=log,9可以转化为指数式32=9.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

logw(M-N)=loguM+log(lA^(a>0,awl,M>0,N>0),理由如下：

设log„M=m,log“N=n,则A/=a"',N=a",

:.M-N=a"'-a"=am+",由对数的定义得，"+〃=log"(M•N).

又，?z+“=log“M+logoN,

log,,(M•N)=log,,M+logoN.

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

(1)填空：①1(^32=,②logs27=,③log,l=；

(2)求证：log„—=log,,M-log„N(a>0,axl,M>0.N>0)；

(3)拓展运用:计算logs125+logs6—logs30.

26.(10分)(2021•凉山州)如图，A4O8中，ZABO=90°,边08在x轴上，反比例函数

La

y=-(x>0)的图象经过斜边0A的中点M,与相交于点N,5^=12,AN=-.

x2

(1)求Z的值；

(2)求直线的解析式.

27.(10分)(2021•凉山州)如图，在RtAABC中，ZC=90°.AE平分NfiAC交3C于点E,

点。在旗上，DELAE,。是RtAADE的外接圆，交AC于点F.

(1)求证：BC是。的切线；

(2)若。的半径为5,AC=8,求S^DE.

28.(12分)(2021•凉山州)如图,抛物线y=o/+法+c("0)与x轴交于A、B两点,

与y轴交于C点，AC=JT5,OB=OC=3OA.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P,使四边形P54C的面积最大，求出点P的坐标；

(3)在(2)的结论下，点〃为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点。，使点、P、B、M、

。为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标：若不存在，请说明理

由.

2021年四川省凉山州中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项

是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。

1.（4分）（2021•凉山州）|-2021|=（)

A.2021B.-2021C.—D.———

20212021

【分析】根据绝对值解答即可.

【解答】解：-2021的绝对值是2021,

故选：A.

【点评】此题主要考查了绝对值，利用绝对值解答是解题关键.

2.（4分）（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（)

iIIIIII.

A.3210-1-2-3B.

C.-3-2-1123D.

【分析】注意数轴的三要素以及在数轴上，右边的数总比左边的数大即可做出判断.

【解答】解：A选项，应该正数在右边，负数在左边，故该选项错误；

3选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误；

C选项，没有原点，故该选项错误；

O选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确；

故选：D.

【点评】本题考查了数轴的画法，画数轴的时候要注意原点，正方向，单位长度要画全.

3.（4分）（2021•凉山州）“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”

探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15EI7时18

分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功.请将5亿这个数用科学记

数法表示为（）

A.5xl07B.5x10sC.5xl09D.5xlO10

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axlO",其中L,31<10，”为整数,

且〃比原来的整数位数少1,据此判断即可.

【解答】解：5亿=500000000=5*10*.

故选：B.

【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为。xlO",其中L,

确定。与〃的值是解题的关键.

4.（4分）（2021•凉山州）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解.

【解答】解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C.是轴对称图形，故本选项符合题意；

D.不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴，

图形两部分沿对称轴折叠后可重合.

5.（4分）（2021•凉山州）国的平方根是（）

A.9B.±9C.3D.±3

【分析】求出病=9,求出9的平方根即可.

【解答】解：y/8i=9,

J丽的平方根是±3,

故选：D.

【点评】本题考查了对算术平方根，平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力.

6.（4分）（2021•凉山州）在平面直角坐标系中，将线段A3平移后得到线段AE,点A（2,l）

的对应点A的坐标为（-2,-3）,则点8（-2,3）的对应点8'的坐标为（）

A.(6,1)B.(3,7)C.(-6,-1)D.(2,-1)

【分析】根据点A到A确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标.

【解答】解：A(2,l)平移后得到点儿的坐标为(-2,-3),

向下平移了4个单位，向左平移了4个单位，

8(-2,3)的对应点8'的坐标为(-2-4,3-4),

即(-6,-1).

故选：C.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移

减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键.

7.(4分)(2021•凉山州)某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的

成绩如表所示：

成绩60708090100

人数3913169

则这个班学生成绩的众数、中位数分别是()

A.90,80B.16,85C.16,24.5D.90,85

【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数要把数据

按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数.

【解答】解：90出现的次数最多，众数为90.

这组数据一共有50个，已经按大小顺序排列，第25和第26个数分别是80、90,所以中位

数为(80+90)+2=85.

故选：D.

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些

学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一

定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的

数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

8.(4分)(2021•凉山州)下列命题中，假命题是()

A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合

C.若AB=BC,则点5是线段AC的中点

D.三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质对A进行判断；根据等腰三角形的性质对5进

行判断；根据线段的中点定义对C进行判断；根据三角形外心的定义对。进行判断.

【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以A选项不符合题意；

8、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以8选项不符合

题意；

C、若A、B、C在同一直线上，且=则点B是线段AC的中点，所以C选项符

合题意；

。、三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心，所以。选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题

非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只

需举出一个反例即可.

9.(4分)(2021•凉山州)函数丫=履+。的图象如图所示，则关于x的一元二次方程

/+笈+%-1=0的根的情况是()

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

【分析】先利用一次函数的性质得％<0，b<0,再计算判别式的值得到△=〃-4(k-l),

于是可判断△>()，然后根据判别式的意义判断方程根的情况.

【解答】解：根据图象可得々<0,6<0,

所以从>0,-4k>0,

因为△=层-4(1)=从_软+4>0,

所以△>(),

所以方程有两个不相等的实数根.

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程+〃x+c=O（aHO）的根与△=〃-4ac有

如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的实数

根；当时，方程无实数根.也考查了一次函数图象.

10.（4分）（2021•凉山州）如图，A/WC中，ZACB=90。，AC=8,BC=6,将沿

£）£翻折，使点A与点5重合，则CE的长为（）

【分析】在RtABCE中，由3炉=C6+8C2,得到（8-X）2=X2+6:即可求解.

【解答】解：设CE=x,则AE=8-x=E8,

在RtABCE中，BE2=CE2+BC2,

即（8-x）2=x2+62,

解得x=Z,

4

故选：D.

【点评】本题考查的是翻折变换（折叠问题），明确A£=BE是本题解题的关键.

11.（4分）（2021•凉山州）点尸是。内一点，过点P的最长弦的长为10a”，最短弦的长

为16cm,则OP的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径；最短弦即是过点P且垂直于过点尸的

直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长.

【解答】解：如图所示，于点P.

根据题意，得

AB=10cm,CD=6cm.

CDVAB,

CP——CD=3ctn.

2

根据勾股定理，得OP=y/co2-cp2=V52-32=4（cm）.

故选：B.

【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理.正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的

弦.

12.（4分）（2021•凉山州）二次函数y=ad+/zx+c（aH0）的图象如图所示，则下列结论中

不正确的是（）

A.abc>0B.函数的最大值为a-6+c

C.当-3聂/1时，y..OD.4a-2b+c<0

【分析】利用抛物线开口方向得到a<0,根据抛物线的对称性得到6=2〃<0,根据抛物线

与y轴的交点位置得到c>0,则可对A进行判断；利用二次函数的最值问题可对8进行判

断；利用抛物线与X轴的交点与图像可对C进行判断；利用x=-2,），>0可对。进行判断.

【解答】解：・抛物线开口向下，

.,.a<0,

・抛物线的对称轴为直线x=--=-1,

2a

:.h=2a<09

抛物线与y轴的交点坐标在X轴上方，

/.c>0>

abc>0,所以A不符合题意；

当x=-l时，函数的最大值为：a-（-l）2+b-[-Y）+c=a-b+c,故8不符合题意；

由图可知，抛物线与x轴的另一交点为（-3,0）,所以-3期：1时，y..0,故C不符合题意：

当x=-2时，y>0,

所以，u•（—2）"+b-（-2）+c>0>

即4（7—2/?+c>0,故。符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大

小，当a>0时，抛物线向上开口，当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数匕和二次项系

数a共同决定对称轴的位置：当。与〃同号时，对称轴在y轴左；当a与人异号时，对称轴

在y轴右，常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与），轴交于（0,。）.抛物线与x轴交点个

数由判别式确定：△=加一4">0时,抛物线与x轴有2个交点；△=〃-4ac=0时，抛物

线与x轴有1个交点；△=从一4*<0时，抛物线与x轴没有交点.

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13.（4分）（2021•凉山州）函数》=立且中，自变量x的取值范围是_x…-3且xw0_

X

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0列不等式

组求解.

【解答】解：根据题意得：lx+3-0,

解得“...-3且xw0.

故答案为汇…—3且x00.

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围.考查的知识点为：分式有意义，分母不为0,

二次根式有意义，被开方数是非负数.

|y—1

14.（4分）（2021•凉山州）已知彳一.是方程奴+y=2的解，则。的值为1_.

[y=3

【分析】把方程组的解代入方程，得到关于。的一元一次方程，解方程即可.

【解答】解：把=1代入到方程中得：。+3=2,

b=3

a=-1,

故答案为：-1.

【点评】本题考查了二元一次方程的解，把方程组的解代入方程，得到关于。的一元一次方

程是解题的关键.

15.（4分）（2021•凉山州）菱形中，对角线AC=10,瓦>=24.则菱形的高等于

120

73—'

【分析】由题意得，菱形的面积=‘*AC・8r>='xl0x24=120,设菱形的高为人，则菱形

22

的面积=3C〃=13/z=120,即可求解.

【解答】解：由题意得，菱形的面积=！xAC-8Q=」xl0x24=120,

则AB=\IAO2+BO2=13,

设菱形的高为〃，

则菱形的面积=BC/=13〃=120,

解得〃=空，

13

故答案为坦

13

【点评】本题考查的是菱形面积的计算方法，利用两种不同方法求解菱形面积是本题解题的

关键.

16.（4分）（2021•凉山州）如图，将AABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C,已知AC=3,

BC=2,则线段45扫过的图形（阴影部分）的面积为—.

一3-

【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ev+SM%-S埸物g-S.c，由旋

转的性质就可以得出Ss阮=5A5c就可以得出45扫过的图形的面积=S府形心,一$扇形ww求

出其值即可.

【解答】解：AABC绕点C旋转60。得到△AaC,

...AABC三△A6C,

1

S拄BC=sA.B.C，ZBCB=NAC4'=120°.

AB扫过的图形的面积=S扇形AS+S^BC—S扇形3C51—SA>B'Cf

「.A3扫过的图形的面积=S扇形AC4-S扇形3c夕，

4cl网1204•3?120^-225万

.•.A3扫过的图形的面积=------------------=一.

3603603

故答案为：—.

3

【点评】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，

解答时根据旋转的性质求解是关键.

17.（4分）（2021•凉山州）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形

共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…

照这样拼图，则第〃个图形需要_（2〃+1）_根火柴棍.

图1图2图3

【分析】根据数值的变化找出变化规律，即可得出结论.

【解答】解：设第〃个图形需要%（〃为正整数）根火柴棒,

观察发现规律：第一个图形需要火柴棍：3=lx2+l,

第二个图形需要火柴棍：5=2x2+1；

第三个图形需要火柴棍：7=3x2+I,…，

.•.第〃个图形需要火柴棍：2/7+1.

故答案为：（2〃+1）.

【点评】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找

出变化规律是关键.

三、解答题（共5小题，共32分）

18.（5分）（2021•凉山州）解不等式：--x<3--.

34

【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为

1可得.

【解答】解：去分母，得：4（l-x）-12x<36-3（x+2）,

去括号，得：4-4x-12x<36-3x-6,

移项、合并，得：-13x<26,

系数化为1得，x>-2.

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的性质是关键，尤

其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

19.（5分）（2021•凉山州）已知x-y=2,---=1,求Vy—孙？的值.

xy

【分析】将』-工=1变形后得到了-犬=个，再将多项式因式分解后整体代入可得结论.

【解答】解：」,=1,

xy

.\y—x=xy•

'x-y=2,

:.y-x=xy=^2.

.,.原式=xy（x—y）=-2x2=-4.

【点评】本题主要考查了因式分解的应用，将要求的代数式因式分解，并整体代入是解题的

关键.

20.（7分）（2021•凉山州）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带

来诸多不利影响.为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，

促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强

中小学生手机管理工作的通知》.为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再

见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其

中A表示“一等奖”，3表示“二等奖”，C表示“三等奖”，。表示“优秀奖”）.

获奖情况条形统计图获奖情况扇形统计图

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:

（1）获奖总人数为40人,m=

（2）请将条形统计图补充完整;

（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加

全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.

【分析】（1）用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等奖”

人数所占的百分比得到m的值；

（2）利用“三等奖”人数为12补全条形统计图；

（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结

果数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：（1）获奖总人数为8+20%=40（人），

加％=8-6*100%=30%,

40

即，〃=30；

故答案为40；30；

（2）“三等奖”人数为40-4-8-16=12（人），

条形统计图补充为:

获奖情况条形统计图

获奖等级

（3）画树状图为:

开始

男女女女

小/t\/N八

女女女男女女男女女男女女

共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6,

所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率=色=工.

122

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，I,

再从中选出符合事件A或3的结果数目机，然后利用概率公式计算事件A或事件3的概

率.也考查了统计图.

21.（7分）（2021•凉山州）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用

所学知识测量河对岸大树A3的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45。，再从。点

出发沿斜坡走2加米到达斜坡上。点，在点。处测得树顶端A的仰角为30。，若斜坡B的

坡比为i=l:3（点E、C、3在同一水平线上）.

（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；

（2）求大树四的高度（结果保留根号）.

【分析】(1)作O"_LCE于H,解RtACDH,即可求出

(2)过点。作。G_L43于点G,设BC=x米，用x表示出AG、DG,根据tanNADG=—?

DG

列出方程，解方程得到答案.

(解答］解:(1)过点£＞作，CE于点H,

由题意知co=2jid米,

斜坡CF的坡比为1=1:3,

.DH_1

,•—―，

CH3

设DH=x（米），C〃=3x（米）,

DH2+CH-=DC2,

x2+（3x）2=（2屈了,

•.x=2,

:.DH=2（米），C〃=6（米）,

答:王刚同学从点C到点。的过程中上升的高度为2米;

(2)过点。作Z)G_L于点G,

ADHB=NDG8=ZABC=90°,

.•・四边形为矩形,

;.DH=BG=2米,0G=84=（x+6）米,

ZACB=45°,

BC=AB=x（米）,

AG=（x-2）米,

ZADG=30°,

/.—=tan30°=—

DG3

.x2c

x+63'

/.x=6+4x/3,

AB=（6+4百）（米）.

答:大树AB的高度是（6+4百）米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰

角俯角的概念是解题的关键.

22.（8分）（2021•凉山州）如图,在四边形AB8中,ZADC=ZB=90°,过点。作

于E,若DE=BE.

（1）求证：DA=DC；

（2）连接AC交于点尸，若NAPE=30。，AD=6,求£）尸的长.

【分析】（1）作Z）G_LQ,交3c的延长线于点G,然后即可得得到四边形DEBG的形状，

再根据题目中的条件，可以证明A3和ASG全等，然后即可得到结论成立；

（2）根据正方形的性质、勾股定理和三角形相似，可以得到砂的长，然后根据DE的长,

即可得到小的长.

【解答】（1）证明：作Z）G_L3D,交3c的延长线于点G,如右图所示，

DEVAB,ZB=90°,DG1BC,

NDEB=ZB=NBGD=90°,

四边形是矩形，

又DE=BE,

四边形OE8G是正方形，

:.DG=BE,NEDG=90°,

:.DG=DE,ZEDC+NCDG=90°,

ZADC=90°,

.-.ZEDC+ZADE=90°,

.\ZADE=ZCDG,

在AAD石和ACDG中，

ZADE=ZCDG

<DE=DG,

ZAED=ZCGD

:./VLDE=ACDG(ASA),

DA=DC;

(2)ZADE=30°,AT>=6,ZE>E4=90°,

:.AE=3,DE=>JAD2-AE2=762-32=3>/3,

由(1)知，MDE^ACDG,四边形。£BG是正方形，

:.DG=DE=3/,AE=CG=3,BE=DG=BG=3y/3,

:.BC=BG-CG=3/-3,AE=AE+BE=3+3y/3,

■.FG.LAB,BC±AB,

:.FEHCB,

:.^AEFs^ABC,

.AE_EF

即3_EF

3+3月-3石-3'

解得EF=6-3g,

力尸=DE-E尸=36一(6-36)=3/-6+3g=6G-6,

即£>F的长是6>/5-6.

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形

的判定与性质，解答本题的关键是证明AADE和ASG全等和求出M的长，利用数形结合

的思想解答.

四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）

23.（5分）（2021•凉山州）若关于x的分式方程工±-3=」上的解为正数，则，"的取值范

x-1l-x

围是_m>—3旦w—2_.

【分析】先利用机表示出X的值，再由X为正数求出机的取值范围即可.

【解答】解：方程两边同时乘以（尤-1）得，2x-3（x-]）=-m,

解得x=m+3.

尤为正数，

二.帆+3>0,解得加>—3.

二xwl,

二.机+3工1,即加工一2.

的取值范围是m>—3且相w—2.

故答案为：加>—3且利w—2.

【点评】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不

等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键.

24.（5分）（2021•凉山州）如图，等边三角形ABC的边长为4,C的半径为6，P为AB

边上一动点，过点尸作C的切线PQ,切点为Q,则尸。的最小值为3.

【分析】连接CP、CQ，作CH±AB于，，如图，根据等边三角形的性质得到AB=CB=4,

ZBCH=-ZACH=1x60°=30°,根据直角三角形的性质得到BH=-AB=4,

222

CH=^-BC=^-x4=2y[3,由切线的性质得到CQ_LP。，根据勾股定理得到

PQ=JC产-CQ?=，C尸-3,推出当点P运动到H点时，CP最小，于是得到结论.

【解答】解：连接CP、CQ,作CHJLAB于H,如图,

等边三角形ABC的边长为4,

..AB=CB=4,ZBCH=-ZACB=-x60°=30°,

22

:.BH=~AB=4,CH=—BC=—X4=2>5,

222

PQ为C的切线，

：.CQrPQ,

在RtACPQ中，PQ=JCP2-CC=Jc产-3,

点P是AB边上一动点，

，当点P运动到"点时，CP最小，

即CP的最小值为26，

PQ的最小值为712-3=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行

计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也

考查了等边三角形的性质.

五、解答题（共4小题，共4（）分）

25.（8分）（2021•凉山州）阅读以下材料：

苏格兰数学家纳皮尔（J.即/",1550-1617年）是对数的创始人.他发明对数是在指数

书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（EWer,1707-1783年）才发现指数与对数之

间的联系.

对数的定义:一般地,若优=N（a>0且。*1）,那么*叫做以。为底N的对数，记作x=log,,N,

2

比如指数式2"=16可以转化为对数式4=log216,对数式2=log,9可以转化为指数式3=9.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

logfl（M-Ny=logaM+logaN（a>0,axl,M>0,N>0）,理由如下：

设log“M=m,log“N=n,则M=a"',N=a",

:.M-N=am-a"=am+",由对数的定义得〃?+〃=log“(M•N).

又m+n=log„M+log“N,

log“(M•N)=log„M+log„N.

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

(1)填空：①k>g?32=5,②log：27=,③log〃=；

,M

(2)求证：logw—=logwM-lognN(a>0,awl,M>0,N>0)；

(3)拓展运用：计算logs125+log56-logs30.

【分析】(1)直接根据定义计算即可；

m

(2)先设log“M=〃?，log,N=〃，根据对数的定义可表示为指数式为：M=afN=a",

计算丝的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；

N

M

(3)根据公式：log“(M-N)=log,,M+log,,N和log,,—=log,,M-log,,N的逆用，将所求式

子表示为：logs。25x6+30),计算可得结论.

53

【解答】解：(1)log,32=log,2=5,log327=log33=3,log71=log77°=0；

故答案为：5,3,0；

(2)设log“M=〃?，log«N=〃，则〃=腔，N=a",

由对数的定义得加一〃=log,,《，

又m-n=log“M一logaN,

...log,,=log,,M-log,,N(a>0,axl,M>0,N>0)；

(3)原式=log5(125x6+30)

=log,25

=2.

【点评】本题考查了有理数的混合运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题

的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系.

26.（10分）（2021•凉山州）如图，AAOB中，NAfiO=90。，边03在x轴上，反比例函数

LQ

y=—（x>0）的图象经过斜边。4的中点M,与45相交于点N,5^=12,AN=-.

x2

（1）求］的值;

（2）求直线MN的解析式.

k【分析】（1）设N（q,b）,则A（a,b+3，M（ga，m+\）,由反比例函数y=々x>0）的图象经

11Q719

过斜边Q4的中点M,得人=/入（5&+（）=4人，〃=］,根据SM°B=12得54（。+g=12,可得

3

a=4,故左=4x二=6；

2

（2）由（1）知：M（2,3）,N（4,|）,设直线MN解析式为y=,nr+",用待定系数法即可得到

答案.

【解答】解：(1)设N(a,b),则OB=a,BN=b,

AN=g,

2

9

:.AB=h+—,

2

9

A(a,Z?4—),

2

M为(M中点，

而反比例函数），=£（x>0）的图象经过斜边OA的中点M,

X

119

二.《=耳a•（耳。+［）=ab,

解得：/?=3,

2

S^OB=n,ZABO=90。，

I19

—O8・A8=12,即一如+二)=12,

222

将b=3代入得：Lq(3+q)=12,

解得a=4,

.・.2V(4,-),A/(2,3),

，，3，

:.k=4x—=6；

2

3

(2)由(1)知：M(2,3),N(4,—),

2

设直线MN解析式为y=

3=2m+〃m=-—

,■•■3,，解得J,

n