2024届一轮复习人教A版 不等式的性质一元二次不等式的解法 课件（43张）

内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】

1.两个实数比较大小的依据(1)a-b>0⇔a__b.(2)a-b=0⇔a__b.(3)a-b<0⇔a__b.>=<2.不等式的基本性质(1)对称性:a>b⇔____.(2)传递性:a>b,b>c⇒____.(3)可加性:a>b⇒a+c>b+c.(4)可乘性:a>b,c>0⇒______;a>b,c<0⇒______.(5)加法法则:a>b,c>d⇒________.(6)乘法法则:a>b>0,c>d>0⇒______.(7)乘方法则:a>b>0⇒_____(n∈N,n≥1).(8)开方法则:a>b>0⇒_________

(n∈N,n≥2).b<aa>cac>bcac<bca+c>b+dac>bdan>bn3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象

判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根___________________________________________________没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集_______________________Rax2+bx+c<0(a>0)的解集___________∅__有两个相异实根x1,x2(x1<x2)有两个相等实根x1=x2=-{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x1<x<x2}∅【常用结论】1.倒数性质，若ab>0，a>b，则<.2.若a>b>0，m>0，则<.3.(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心是将分式不等式转化为整式不等式.4.不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或

【知识点辨析】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a>b⇔ac2>bc2. (

)(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1，x2)，则必有a<0. (

)(3)不等式ax2+bx+c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ=b2-4ac≤0. (

)提示：(1)×.由不等式的性质，c≠0时，ac2>bc2⇔a>b；反之，c=0时，a>bac2>bc2.(2)√.由一元二次不等式的解集可知，正确.(3)×.当a=0，b=0，c>0时也成立.【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽视二次项的系数为正考点二、T12忽略根的大小考点二、T33忽视不等式与相应函数的关系考点三、角度2,3【教材·基础自测】1(必修5P67练习BT1改编)下列结论不正确的是 (

)A.若a>b,c>0,则ac>bcB.若a>b,c>0,则C.若a>b,则a+c>b+cD.若a>b,则a-c>b-c【解析】选B.A.满足不等式基本性质的可乘性.B.若a>b,c>0,则的大小关系不确定,因此不正确.C、D满足不等式基本性质的可加性.2.(必修5P67习题3-1AT2(1)改编)已知a=1,b=,则a,b,c的大小关系是 (

)

A.a>b>c B.a>c>b

C.b>c>a D.c>b>a【解析】选A.由,所以b>c,又b<1,c<1,综上,a>b>c.3.(必修5P78练习AT1改编)不等式x2+2x-3>0的解集为 (

)A.{x|-3<x<1} B.{x|-1<x<3}

C.{x|x<-3或x>1} D.{x|x<-1或x>3}【解析】选C.根据题意,方程x2+2x-3=0有两个根,即-3和1,则x2+2x-3>0的解集为{x|x<-3或x>1}.4.(必修5P77例5改编)设集合A={x|x2+x-6≤0},集合B为函数y=的定义域,则A∩B等于(

)A.(1,2) B.[1,2] C.[1,2) D.(1,2]【解析】选D.A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},由x-1>0得x>1,即B={x|x>1},所以A∩B={x|1<x≤2}.5.(必修5P80习题3-3BT3改编)已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则实数a的取值范围是 (

)A.(4,+∞) B.(-∞,4)

C.(-∞,2) D.(2,+∞)【解析】选A.设f(x)=x2-ax+3,若方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则只需要f(1)<0,即f(1)=1-a+3<0,得a>4,即实数a的取值范围是(4,+∞).考点一比较大小与不等式的性质【题组练透】

1.(2019·泉州模拟)若a>b>c,ac<0,则下列不等式一定成立的是 (

)A.ab>0 B.bc<0

C.ab>ac D.b(a-c)>02.若a=20192022×20222019,b=20192019×20222022,则a________b(用“>,<”填空).

3.设m=,n=,则m________n(用“>,<”填空). 世纪金榜导学号

【解析】1.选C.因为a>b>c,ac<0,所以a>0,c<0,b的符号不确定,故A,B,D不正确,C中,a>0,故ab>ac,正确.2.<1,所以a<b.答案:<3.m-n=<0,所以m<n.答案:<【规律方法】1.用同向不等式求差范围的技巧

⇒

⇒a-d<x-y<b-c.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.2.比较大小的三种常用方法(1)作差法:直接作差判断正负即可.(2)作商法:直接作商与1的大小比较,注意两式的符号.(3)函数的单调性法:把比较的两个数看成一个函数的两个值,根据函数的单调性比较.【秒杀绝招】

1.特殊值排除法解T1,取条件范围内的特殊值代入排除不成立的选项,即可得出正确选项.2.转化法解T3,比较大小时可以结合函数的单调性,根据不等式的特点构造函数f(x)=解题.考点二一元二次不等式的解法

【典例】1.(2020·牡丹江模拟)不等式x(2-x)<0的解集是 (

)A.(2,+∞) B.(-∞,2)

C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)

2.若不等式ax2+2x+c<0的解集是∪,则不等式cx2-2x+a≤0的解集是 (

)A. B.C.[-2,3] D.[-3,2]3.设a>1,则关于x的不等式(1-a)(x-a)<0的解集是________.

【解题导思】序号联想解题1由不等式想到x的系数变为正数后解不等式2由不等式的解集想到对应方程的根、根与系数的关系求系数3由不等式想到不等式变形、求根、根的大小写解集【解析】1.选D.因为x(2-x)<0,所以x(x-2)>0,所以x>2或x<0,所以不等式的解集为(-∞,0)∪(2,+∞).2.选C.不等式的解集是∪,所以-和是方程ax2+2x+c=0的两个实数根,由,解得:a=-12,c=2,故不等式cx2-2x+a≤0,即2x2-2x-12≤0,即x2-x-6≤0,解得-2≤x≤3,所以所求不等式的解集是[-2,3].3.因为a>1时,1-a<0,且a>,则关于x的不等式可化为(x-a)>0,解得x<或x>a,所以不等式的解集为∪(a,+∞).答案:∪(a,+∞)【规律方法】1.解不含参数的一元二次不等式首先将二次项的系数变为正数,若对应的方程有根,求根后根据图象写解集;若无根,直接根据图象写解集.2.解含参数的一元二次不等式(1)先讨论二次项系数为0的情况,二次项系数为零时不等式变为一次不等式或常数不等式,易得不等式的解集;(2)再讨论二次项系数不为0的情况,利用“Δ”或“十字相乘法”求根,若有根,则讨论根的大小后根据图象写解集;若无根,则根据图象写解集.【变式训练】1.(2019·西安模拟)不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),则不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0的解集为 (

)

【解析】选B.因为不等式的解集为(-4,1),则不等式对应方程的实数根为-4和1,且a<0;由根与系数的关系知,,所以,所以不等式化为3a(x2+1)-a(x+3)-4a>0,化为3(x2+1)-(x+3)-4<0,即3x2-x-4<0,解得-1<x<,所以该不等式的解集为.2.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6≤0},B=,那么集合A∩(∁UB)等于 (

)A.[-2,4)

B.(-1,3]C.[-2,-1]

D.[-1,3]【解析】选D.因为A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x≥4},故∁UB={x|-1≤x<4},所以A∩(∁UB)={x|-1≤x≤3}.考点三一元二次不等式恒成立问题

命题精解读考什么:(1)求恒成立问题中的参数范围.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养,以及数形结合、分类与整合等数学思想.怎么考:与基本初等函数、导数结合考查一元二次不等式与其对应的函数、方程的关系问题.学霸好方法1.恒成立问题的解题思路(1)利用等价条件直接求范围(2)分离参数后转化为最值问题(3)转化为相应的函数,利用函数的图象解题(4)转换变元,利用转化后对应函数的性质解题2.交汇问题:与基本初等函数的定义域、值域交汇时,借助函数的性质解题.【命题角度1】在R上的恒成立问题【典例】若不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为 (

)A.a<-或a>B.a>或a<0C.a>D.-<a<

【解析】选C.不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,则,即解得a>,所以实数a的取值范围是a>.【题后反思】在R上的恒成立问题列不等式组的依据是什么?提示:在R上的恒成立,可以依据对应的二次函数的图象,列出等价条件求解.【命题角度2】

给定区间上的恒成立问题【典例】若不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,则实数m的取值范围是 世纪金榜导学号(

)A.m≤-3或m≥0 B.m≥-3

C.-3≤m≤0 D.m≤-3【解析】选D.因为不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,所以只需m≤(x2-4x)min,x∈[0,1],令f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,x∈[0,1],所以f(x)min=f(1)=-3,所以m≤-3.【题后反思】定区间上的恒成立问题如何解?提示:将参数分离出来后,转化为求另一侧函数的最值,是求参数范围的常用方法.【命题角度3】给定参数范围的恒成立问题【典例】(2020·六安模拟)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是 (

)世纪金榜导学号A.[-1,3] B.(-∞,-1]

C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)【解析】选D.方法一:特殊值法:当x=-1时,由x2+px>4x+p-3,得p<4,故x=-1不符合条件,排除A,B;当x=3时,由x2+px>4x+p-3,得p>0,故x=3不符合条件,排除C;方