赢在课堂高二数学人教A版选修2-2课件1.4 生活中的优化问题举例

1.4

生活中的优化问题举例目标导航预习导引目标导航预习导引121.优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.

目标导航预习导引122.利用导数解决优化问题的根本思路预习交流某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=+81x-234,那么使该生产厂家获得最大年利润的年产量为万件.

答案:9解析:y'=-x2+81.令y'=0得x=9,x=-9(舍去).当0<x<9时,y'>0,函数f(x)单调递增;当x>9时,y'<0,函数f(x)单调递减.故当x=9时,y取最大值.一二三知识精要典题例解迁移应用一、利润最大(本钱最低)问题1.经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的本钱与利润及利润增减的快慢,以产量或单价为自变量很容易建立函数关系,从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.2.关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润=收入-本钱.(2)利润=每件产品的利润×销售件数.一二三知识精要典题例解迁移应用【例1】

某工厂每天生产某种产品最多不超过40件,并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x∈N*)件之间的关系为元.(注:正品率=产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数.(2)求该厂的日产量为多少件时,日利润最大,并求出日利润的最大值.P=

每生产一件正品盈利4000元,每出现一件次品亏损2000思路分析:(1)根据利润=盈利-亏损,建立y与x的函数关系式,注意x∈N*,1≤x≤40.(2)对函数求导,利用单调性确定最值.一二三知识精要典题例解迁移应用一二三知识精要典题例解迁移应用一二三知识精要典题例解迁移应用一二三知识精要典题例解迁移应用二、费用(用料)最省问题实际生活中有关费用(用料)最省是生活、生产中常见的问题,解决这类问题的关键是首先设出自变量,建立函数关系式(注意定义域),然后利用求导的方法求出函数的最值及相应自变量的值.【例2】如下图,设铁路AB=50,B,C之间距离为10,现将货物从A运往C,单位距离铁路费用为2,公路费用为4,问在AB上何处修筑公路至C,可使运费由A至C最省?一二三知识精要典题例解迁移应用思路分析:可从AB上任取一点M,设MB=x,将总费用表示为变量x的函数,转化为函数的最值求解.一二三知识精要典题例解迁移应用一二三知识精要典题例解迁移应用某地需要修建一条大型输油管道通过120km宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为xkm的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x3+x)万元,设余下的工程费用为y万元.(1)试将y表示为x的函数;(2)需要修建多少个增压站才能使y最小.一二三知识精要典题例解迁移应用一二三知识精要典题例解迁移应用三、面积(体积)最大问题(1)求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围,利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数,然后利用导数的方法来解.(2)必要时,可选择建立适当的坐标系,利用点的坐标建立函数关系或曲线方程,以利于解决问题.一二三知识精要典题例解迁移应用【例3】如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r,短半轴长为r.方案将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记CD=2x,梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式,并写出其定义域;(2)求面积S的最大值.一二三知识精要典题例解迁移应用思路分析:表示面积时,首先要建立适当的平面直角坐标系,借助椭圆的方程,可表示出等腰梯形的高.一二三知识精要典题例解迁移应用一二三知识精要典题例解迁移应用用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解:设容器底面短边的边长为xm,那么另一边长为(x+0.5)m,由题意知x>0,x+0.5>0,且3.2-2x>0,故0<x<1.6.设容器的容积为Vm3,那么有V=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6).于是V'=-6x2+4.4x+1.6.令V'=0,有15x2-11x-4=0,一二三知识精要典题例解迁移应用∵当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数;当x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数,∴V在x∈(0,1.6)时取极大值V(1)=1.8,这个极大值就是V在x∈(0,1.6)时的最大值,即Vmax=1.8.这时容器的高为1.2

m.∴当高为1.2

m时,容器的容积最大,最大值为1.8

m3.案例探究思悟升华导数在解决实际问题中的应用某分公司经销某种品牌产品,每件产品的本钱为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式.(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).案例探究思悟升华思路分析:审条件→三个量:产品的本钱、管理费、销售量↓建联系→每年的总支出可由销售量和每件的支出决定,分公司一年的利润L由销售价、销售量和总支出决定↓找思路→由于管理费a元不确定,故需对a的范围进行讨论案例探究思悟升华解:(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为:L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11].案例探究思悟升华1.应用分类讨论思想在解含有参数的问题时,一定要注意分类讨论.如本例中销售价x由于管理费