专题：圆与相似三角形

相似三角形与圆相似三角形与圆综合探究题，综合性强，有一定的难度，有时还会作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握相似三角形与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求证：2、如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC.求证：AD·BC=OB·BDAPDBCO3．如图，是圆的直径，厘米，是圆的切线，为切点．过作，交于点，连结．APDBCO（1）求证；（2）若切线的长为12厘米，求弦的长．4、已知：如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，延长AB到点C，使BC＝AB，D是⊙O上一点，DC＝．求证：(1)△CDB∽△CAD；ABCDO(2)CDABCDO5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E.⑴求证：⑵若，，求DE的长6．如图10，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于、两点，连接，，7、如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4.（1）求证:～；（2）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，求的度数.AEFODBC8．如图，在中，斜边，为的中点，的外接圆与交于点，过作的切线交的延长线于点．AEFODBC（1）求证：；（2）计算：的值．9．如图，为⊙O的直径，于点，交⊙O于点，于点．CBCBAOFDE（2）当∠A=30°，AF=时，求⊙O中劣弧的长．10．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，CEDAFOB连结DE、BE，且CEDAFOB（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．11、AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合。AODBHEC（AODBHEC（2）连HB，若CD=AB=2，求HD+HO的值。12.如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r.(1)求证：；(2)若BD=3，DE=4，求AE的长.13．如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)求sin∠E的值．BCDAOE14.如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，过B点作BC∥OD交⊙O于点C，连接OC、AC，ACBCDAOE（1）求证：△COE∽△ABC；（2）若AB=2，AD=，求图中阴影部分的面积.15、如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC。⑴求证：AC2=AE·AB；⑵延长EC到点P，连结PB，若PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由。OOPFEDCBA·16．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC。ABCDOP求证：（1）ABCDOP（2）。17.将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD。求证：DB∥CF。当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB。18．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC．（1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的长；（2）求证：AE2＝EB·EC．19．如图，是的两条割线，是的直径，．AOBDCAOBDCP（2）若，试求的值．20.如图，为⊙的直径，平分交⊙于点，的延长线于点，交的延长线于点，（1）求证：是⊙的切线；（2）若⊙的半径为5，求的长．21．已知：如图，为⊙的直径，弦,切⊙于,联结．（1）判断是否为⊙的切线，若是请证明；若不是请说明理由．（2）若,,求⊙的半径． 22．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60，AB与PC交于Q点．QPCBAO（QPCBAO（2）求证：；（3）若∠ABP=15，△ABC的面积为4，求PC的长．23．如图，四点在上，的延长线相交于点，直径，且OABOABCDE（2）计算的值（3）探究：的取值范围24．如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．(1)求证：PA·PB=PC·PD；(2)设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD：(3)若AB=8，CD=6，求OP的长．25.如图，点T在⊙O上，延长⊙O的直径AB交TP于P,若PA=18,PT=12,PB=8.ABOPT(1)求证：△ABOPT(2)求证：PT为⊙O的切线；(3)在eq\o(\s\up8(︵),\s\do0(AT))上是否存在一点C,使得BT2=8TC?若存在，请证明；若不存在，请说明理由.26．如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）点是的中点，交于点，若，求的值．OONBPCAM27.如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E．（1）证明：BE＝CE（2）证明：∠D＝∠AEC；（3）若⊙O的半径为5，BC＝8，求△CDE的面积．·ABOCPEF28．(10年中考)如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接A·ABOCPEF求证：（1）AF∥BE；（2）△ACP∽△FCA；（3）CP=AE．29．如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．30、已知，AB是⊙O的直径,P是⊙O上一点,作PC⊥AB于C,PB交⊙O于D,DC交⊙O于E,EB与PC的延长线交于F,连结AE,弧DB上有一动点M,连结PM、AM（1）∠AEB的度数是，根据是如果弧DE=弧AE，弦ED=3cm，⊙O的半径为2cm，则cos∠MAB=。（2）求证：PC·CF=EC·CD(3)若AM交PC与G,△PGM满足什么条件时,PM与⊙O相切?说明理由31．已知点在线段上，点在线段延长线上．以点为圆心，为半径作圆，点是圆上的一点．（1）如图，如果，．求证：；（2）如果（是常数，且），，是，的比例中项．当点在圆上运动时，求的值（结果用含的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以为半径的圆和以为半径的圆的位置关系，并写出相应的取值范围．32．已知：如图，点，是两圆的外公切线，、是切点，经过、，分别交于、于的直径，．（1）求证：；（2）求证：；FBADCME（3）如果的直径长为8FBADCME33．图12-1所示，在中，，，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动．（1）点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置．若不能，请说明理由．（2）当时，设，，求与之间的函数解析式，写出的取值范围．图12-2图12-1（3）在满足（2）中的条件时，若以为圆心的圆与相切（如图12-2），试探究直线与的位置关系，并证明你的结论．图12-2图12-134.如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME