测量平差基础

第一章绪论第一节测量平差的重要性第三节补充知识第二节平差问题产生的原因第一节测量平差的重要性一、测量平差的定义与任务定义1、测量数据的处理的理论与方法。定义2、按数理统计的理论与方法处理测量数据。理论基础：数理统计线性代数高等数学微分 泰勒级数专业基础：普通测量学（数字测图）处理工具：计算机编程二、测量平差的任务：确定未知量的估值并评定其精度。线性代数微分 级数普通测量摄影测量工程测量变形观测地理信息系统测量平差大地控制测量工程控制测量GPS测量计算机编程数理统计三、测量平差的重要性理论基础数学工具计算工具数据处理理论方法直接处理数据控制测量数据处理第二节平差问题产生的原因一、实例说明

1、边长（距离）测量第一种情况：欲知直线度L（1）进行一次观测便可知（2）进行n次观测，得

L1、L2、···、Ln理论上应：

L1=L2=···=Ln

但由于有误差，实际上各自并不一定相等，出现了同一量的不同观测值不相等的矛盾。L1L2…Ln第二种情况：欲得L1、L2、L3的长度（1）观测了L1、L2，则

L3=L1-L2（2）也可直接观测L1、L2、L3理论上应：

L1=L2+L3实际上，由于观测值有误差，上式不一定成立，而是：

L1≠L2+L3于是产生了矛盾。L1L2L32、三角测量:欲知三角形三内角L1、L2、L3的大小（1）观测了三角形三内角L1、L2，则L3=180°－L1－L2（2）观测了三角形三内角L1、L2、L3，由于有误差，一般情况下：L1+L2+L3≠180°存在闭合差（观测值与理论值之差）w=L1+L2+L3－180°出现了三角形三内角观测值之和不等于180°的矛盾。L1L2L3那么，这些观测值之间的矛盾是怎么产生的呢？我们又如何来解决这些矛盾呢？二、测量平差产生的原因1、观测值之间的矛盾产生原因（1）、观测值存在误差（2）、有多余观测由于观测值之间存在矛盾，故必须进行数据处理—测量平差。注：总观测元素：对某个几何模型进行的所有观测，其个数用n表示。必要元素：确定一个几何模型所必要的元素，其个数用t表示。多余观测：在一个几何模型中，除必要元素之外的观测元素，其个数用r表示，r=n-t。几何模型：各种控制网的统称。1、示例设对某三角形三内角进行观测，得观测值：L1=58°30′40″，L2=61°20′10″，L3=60°08′58″ω=（L1+L2+L3）-1800=-12″若将L1，L2，L3分别加上一个改正数v1,v2,v3，使得：(L1+v1)+(L2+v2)+(L3+v3）=1800即：(v1+v2+v3)+(L1+L2+L3-1800)=0亦即：v1+v2+v3-12″=0三、测量平差的基本原理

从前面我们知道，由于观测值之间存在矛盾要进行平差，那么怎样进行平差呢？什么样的平差结果才是最佳估值？怎样评定平差结果的精度呢？这就是测量平差要解决的问题。L1L2L3满足方程的v1,v2,v3有无限多组，那么，按什么准则从无限多解当中选取合理的解呢？根据最优化数学方法，一般按如下准则，也就是最小二乘准则来解决该问题。由此可得唯一最优解：v1=v2=v3=4″2、平差原则—最小二乘原理（2）、不同精度独立观测，改正数v应满足：（1）、同精度独立观测，改正数v应满足：测量平差数学模型包括函数模型和随机模型，平差的基本模型有以下四种：3、测量平差数学模型1）、条件平差数学模型2）、附有参数的条件平差

3）间接平差模型（高斯－马尔柯夫模型）最基本模型1912年，A.A.Markov，对最小二乘原理进行证明，形成数学模型：最小二乘解：4）、附有限制条件的间接平差法4、测量平差的核心内容起动数据观测值L观测值的权阵P起始数据满足条件VTPV=min线性函数模型观测值的平差值参数的平差值单位权方差估值观测值的平差值协因数阵参数的平差值协因数阵平差结果

由观测值L、观测值的权阵P、起始数据推求观测值的平差值、参数的平差值、观测值的平差值方差、参数的平差值方差。注：函数模型：描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型。停止返回5、测量平差的任务：

对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求未知量的最可靠值。

评定测量成果的质量

由此可见，测量平差即数据调整，也就是依据某种最优准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。6、测量平差中要弄清的几个重要问题

1）、在一个测量平差问题中，怎样计算观测值个数n,必要观测数t,多余观测数r，这是进行测量平差首先要解决的问题。2）、各种函数模型的非线性形式及其线性形式怎样表示，怎样建立各种线性函数模型。特别是对于条件平差模型,怎样列出各种条件方程，对于间接平差模型，怎样列出误差方程。

3）、观测值的权阵怎么确定，权阵与协因数阵有什么关系，权与协因数有什么关系。4）、协方差传播律和协因数传播律是指什么？设向量F，W分别是随机向量X，Y的以下线性函数:F＝AX+BYW＝CX+DY

试求F和W的协方差阵D(XY)，并由此导出各种特殊情况下求方差和协方差的公式。5）、VTPV=min平差原则是怎样导出来的？按此原则求出的估值L，X有什么优越性？或为什么称L，X为最佳估计？什么是最佳估计？怎样证明它们是最佳估计（建议对各种不同的平差模型进行证明）。6）、以下单位权方差估值公式：是怎么求出来的。为什么从观测值方差阵中任意取出一个公因子都是单位权方差。7）、如何证明以下分布：

怎么由它构造t,F统计量，它们有什么作用。

8）、一个点的误差椭圆说明什么，怎么计算误差椭圆的有关参数。四、测量平差产生的历史

最小二乘法产生的背景18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未知数的最佳估值？

最小二乘的产生1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘，并利用其解决了上述问题。1806年，A.M.Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。《决定彗星轨道的新方法》1809年，C.F.GUASS，《天体运动的理论》

五、测量平差的发展1．从单纯偶然误差理论扩展到包含系统误差和粗差的理论与方法。2．提出了相关平差3．产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤波，推估和配置。4．形成了秩亏自由网平差理论5．出现后验定权方法，形成了方差－协方差估计理论。6．展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。7．展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估计方法。六、本课程应掌握的主要内容1、偶然误差理论：偶然误差的性质、精度指标及其估值、中误差及其估值、误差传播定律、权与定权的方法；2、测量平差的函数模型和随机模型、最小二乘原理及方法；3、测量平差的基本方法：条件平差、间接平差、附有未知参数的条件平差、附有限制条件的间接平差；4、误差椭圆。七、学习方法1、端正学习态度，充分认识学好测量平差对于学好测绘工程专业的重要性。2、学习测量平差教材时，要多设疑，自己多动手去推算和证明，不要轻易相信书上的结论,并不断根据已经学得的知识，预测后面的内容和可能的结论。

3、学好所编矩阵基础知识，还要复习、掌握数理统计的有关知识。

4、学习时，视野关注主干、核心内容，实用时注重细节。

5、对一个平差模型证明推导的某些公式，对另一个平差模型自己进行证明、推导。6、弄清前述8个问题。7、适当记笔记。第三节、补充知识一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵（1）由个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示，如：(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22……ann称为对角元素。(3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。(4)对于的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。如：(5)对于对角阵，若a11=a22=……=ann=1，称为单位阵，一般用E、I表示。（6）若aij=aji，则称A为对称矩阵。矩阵的基本运算：（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换性与可结合性。（3）设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵,则A、B相乘才有意义，C=AB，C的阶数为m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）二、矩阵的转置对于任意矩阵Cmn:将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。用：矩阵转置的性质：（6）若则A为对称矩阵。三、矩阵的逆给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。记为：A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵矩阵的逆的性质矩阵求逆方法：（1）伴随矩阵法：设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。矩阵求逆方法则：（2）初等变换法：经初等变换：四、矩阵的秩定义：矩阵A的最大线性无关的行(列)向量的个数r，称为矩阵A的行(列)秩。由于矩阵的行秩等于列秩，故统称为矩阵的秩，记为R(A)。对于矩阵的秩有性质：

五、矩阵的迹定义：方阵A的主对角元素之和称为该方阵的迹，记为

对于矩阵的迹有下面的性质：tr(AT)=tr(A)

tr(A+B)=tr(A)+tr(B)

tr(kA)=ktr(A) tr(AB)=tr(BA)

六、满秩矩阵

定义：若n阶方阵A的秩R(A)=n，则称A为满秩方阵。若m×n阶矩阵A的秩R(A)=m，称A为行满秩阵；若R(A)=n，则称A为列满秩阵。对于任意一m×n阶矩阵A，若R(A)=r，则A可分解为其中，R为列满秩阵，S是行满秩阵。这种分解不是唯一的。

七、幂等矩阵定义：称满足条件A2=AA=A的方阵A为幂等矩阵。幂等矩阵有下述重要性质：幂等矩阵A的特征值为0或1。(2)幂等矩阵A的秩，等于它的迹，即R(A)=tr(A)

(3)若方阵A为R(A)=r的幂等矩阵,则E-A也为幂等矩阵，且R(E-A)=n-r八、二次型和正定阵(1)xTAx＞0,称二次型是正定的，A为正定矩阵，记为A＞0(2)xTAx≥0,称二次型是半正定的，A为半正定矩阵，记为A≥0(3)xTAx＜0,称二次型是负定的，A称为负定矩阵，记为A＜0(4)xTAx≤0,称二次型是半负定的，A称为半负定矩阵，记为A≤0在测量平差中VTPV就是一个二次型。二次型及其有关定理，对于参数估计和假设检验是重要的。它为许多理论证明提供了基本工具。，式中A=AT，上式称为二次型，定义：设A称为二次型矩阵。若对于任意x≠0的函数，记为九、函数对向量的微分且函数对所有自变量可微，则对向量的偏导数定义为的n个元素若函数f是以n维向量为自变量构成函数向量时，则F对的微分为一阶矩阵：

利用这一定义，函数的泰勒级数展开式（取至二次项）可写为矩阵形式其中m元函数向量对于n维向量的微分有如下性质：(以下C为常数向量,F,G为函数向量)(1)

(3)(2)(4)当A为常数矩阵时=(5)当A=AT时，概率与数理统计内容随机变量误差分布曲线概率密度曲线数学期望方差第二章误差分布及精度指标第一节概述第二节偶然误差的规律性第三节衡量精度的指标第一节概述一、专业符号介绍观测真值向量观测向量误差向量L1L2L3s1s2s3ADCBh1h6h5h2h4h3观测值平差值向量观测值改正数向量未知参数真值向量未知参数改正数真值向量未知参数近似值向量未知参数平差值向量未知参数改正数平差值向量L1L2L3s1s2s3A(x1,y1)B(x2,y2)1、测量平差的研究对象——观测误差观测数据：用测绘仪器工具或其他手段获取的反映地球及其它实体的空间分布有关信息的数据。

任何量测数据不可避免地含有误差，如何处理含有误差的测量数据便成了一门研究课题。闭合、附合水准路线闭合、附合导线距离测量角度测量………..二、观测误差2、产生误差的原因测量仪器：i角误差、2c误差观测者：人的分辨力限制外界条件：温度、气压、大气折光等观测条件：测量仪器、观测者、外界条件三者综合起来为观测条件3、误差的分类系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。如大多数仪器误差，有规律的外界影响等。系统误差具有累积性，它的存在必然影响观测结果。削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数误差的分类偶然误差/随机误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。如照准误差、读数误差、毫无规律的外界影响等。不可避免，经典测量平差研究的内容粗差：错误，大误差三、误差构成的四种情况一、正态分布一）、一维正态分布正态分布是一种最常见的分布形式，一般随机变量都遵循正态分布，正态分布还是许多其他分布的极限分布。通常认为测量误差服从正态分布。其中,u为随机变量x的数学期望，σ为其标准方差。称随机向量x服从参数为u、σ的正态分布，记为x～N（u、σ

）。1、设一维随机向量X服从正态分布，则其分布密度函数为：第二节偶然误差的规律性2、标准正态分布若随机变量X的数学期望u=0，标准差σ=1，则称X服从标准正态分布，记为X～（0，1）。3、正态随机变量X出现在区间（u-kσ,u+kσ

）内的概率由此可得二）、n维正态分布设n维随机向量X=（x1，x2，···，xn）T服从正态分布，其联合分布密度函数为：其中观测值：对某量观测所得的值，一般用Li表示。1、几个概念真误差：观测值与真值之差，一般用

i=-Li表示。二、偶然误差的规律性真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用表示。观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2……Ln可表示为：

2、偶然误差的特性例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。

误差区间—△+△个数K频率K/n(K/n)/d△个数K频率K/n(K/n)/d△0.00~0.20450.1260.630460.1280.6400.20~0.40400.1120.560410.1150.5750.40~0.60330.0920.460330.0920.4600.60~0.80230.0640.320210.0590.2950.80~1.00170.0470.235160.0450.2251.00~1.20130.0360.180130.0360.1801.20~1.4060.0170.08550.0140.0701.40~1.6040.0110.05520.0060.030>1.60000000和1810.5051770.495

例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间—△+△个数K频率K/n(K/n)/d△个数K频率K/n(K/n)/d△0.00~0.20400.0950.475460.0880.4400.20~0.40340.0810.405410.0850.4250.40~0.60310.0740.370330.0690.3450.60~0.80250.0590.295210.0640.3200.80~1.00200.0480.240160.0430.2151.00~1.20160.0380.190130.0400.200…………………….………………2.40~2.6010.0020.01020.0050.0025>2.60000000和2100.4992110.501(K/n)/d△00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线用直方图表示:面积=[(K/n)/d△]*d△=K/n所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1

频数/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630

频数/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475对照前面两个表中的数据可知:当误差小时,误差分布曲线较高且陡峭，精度高当误差大时,误差分布曲线较低且平缓，精度低1）、有界性：在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；2）、单峰性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；3）、对称性：绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；4）、抵偿性：当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零即Lim——n

i=1nni=Limn

——n[]=0偶然误差的特性：即E(△)=03、偶然误差的分布密度函数设偶然误差△的分布密度函数为f(△),由性质3可知f(△)是△的偶函数，由性质2可知，在-∞～0区间f(△)是增函数，在0～∞区间是减函数,则可构造函数:其中A，k为常数。因为设偶然误差的方差D(△)=σ2:所以，偶然误差的分布密度函数为：提示：观测值定了，其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。

频数/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差偶然误差的分布密度函数第三节衡量精度的指标精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。

频数/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差

频数/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差

频数/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差可见：左图误差分布曲线较高且陡峭，精度高右图误差分布曲线较低且平缓，精度低一、方差/中误差f()00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差

面积为1方差：中误差：提示：越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。凡事是能体现以上定义的指标都有可作为衡量精度的指标。常用的精度指标有如下几种方差的估值：二、平均误差在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。则得平均误差与中误差的关系：平均误差的估值：三、或然误差ρ误差出现在（-ρ，ρ）之间的概率等于1/2，即f()0闭合差50%四、极限误差五、相对误差误差与观测值之比，一般用1/M表示。与长度（大小）有关的误差，有相对误差的指标相对中误差：σ/S=1/M相对真误差：△/S=1/M绝对误差：真误差、中误差、极限误差第五节精度、准确度与精确度一、精度—衡量偶然误差△的离散程度，指标中误差σ。当观测值只含有偶然误差△时：1、一维随机向量的精度指标：方差σ2或中误差σ2、多维随机向量X=[x1,x2,…,xn]T的精度指标：协方差阵DXX1）、协方差对于变量X，Y，其协方差为：当X、Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立时当X、Y间相关时用真误差△计算：对于向量X=[X1，X2，……Xn]T，将其元素间的方差、协方差阵表示为：矩阵表示为：2）、方差协方差阵向量方差协方差阵定义特点：I对称

II正定

III各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元相等时，为等精度观测。若：若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测量。3）、互协方差阵二、准确度——观测值的数学期望Ｅ(X)与其真值接近的程度。衡量系统误差大小的程度，指标偏差ε。当观测值误差△含有系统误差时：三、精确度——观测值X与其真值接近的程度，指标均方误差MSE(X)。随机向量X=[X1，X2，…，Xn]的均方误差的定义：四、精度、准确度与精确度的关系

XE（X）第三章协方差传播与权第二节协方差传播律第三节协方差传播律在测量上的应用第六节由真误差计算中误差及实际应用第四节权与定权的常用方法第五节协因数与协因数传播律第一节数学期望传播律第七节系统误差的传播本章在全书中有重要地位：起动数据观测值L观测值的权阵P起始数据满足条件VTPV=min线性函数模型观测值的平差值参数的平差值单位权方差估值观测值的平差值协因数阵参数的平差值协因数阵平差结果测量平差的任务之一就是精度评定，也就是求平差值的协方差阵。观测值方差DLL=D或权阵或协因数阵协方差传播律协因数传播律ABCL1L2S0α0实例：已知L1，L2的中误差，求C点坐标值的中误差协方差传播律：表述观测值函数的方差协方差与观测值的方差协方差的关系的公式。第一节数学期望的传播一、数学期望及其性质1、C为常数，E(C)=C2、E(CX)=CE(X)3、E(K1X1+K2X2+···+KnXn)=K1E(X1)+K2E(X2)+···+KnE(Xn)4、若x,y独立，则E(xy)=E(x)E(y)已知随机变量的数学期望求其函数数学期望二、随机矩阵的数学期望及其性质其性质与前相同。第二节 协方差传播律一、观测值线性函数的方差那么：证明：设：那么,根据方差的定义有：纯量形式

例1:设，已知，求的方差。例2:若要在两已知点间布设一条附合水准路线,已知每公里观测中误差等于±5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差不大于±10mm,问该路线长度最多可达几公里?二、多个观测值线性函数的协方差阵已知：则那么,根据协方差的定义有：几种特殊情况:例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为

，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。例4：设有函数，已知求:三、非线性函数的情况设有观测值X的非线性函数：已知：将Z按台劳级数在X0处展开：也可写为微分的形式:也可得四、多个非线性函数的情况线性化例5、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知点无误差，测角中误差为m

，边长中误差ms，试推导P点的点位中误差。ABP

mssmump协方差传播应用步骤:根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式写出观测量的协方差阵对函数进行线性化协方差传播a1b1a2b2abaNbN1(s)h12(s)h2…N(s)hNABTP1TP2TPN-1第三节协方差传播在测量中的应用一、水准测量的精度经N个测站测定A、B两水准点间的高差，其中第i站的观测高差为hi，则A、B两水准点间的总高差hAB为设各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均为则hAB的方差为：若水准路线敷设在平坦地区，前后两测站间的距离s大致相等，设A、B间的距离为S，则测站数N=S/s，代入上式得：如果S=1km，s以km为单位，则一公里的测站数为：而一公里观测高差的中误差即为：所以，距离为S公里的A、B两点的观测高差的中误差为二、同精度观测值的算术平均值的精度设对某量以同精度独立观测了N次，得观测值L1，L2，LN，它们的中误差均等于σ，N次观测值的算术平均值x的中误差为：由协方差传播律知，平均值x的方差中误差为例1、在高级水准点A、

（高程为真值）间布设水准路线，如下图，路线长分别为，设每公里观测高差的中误差为，试求：（1）将闭合差按距离分配之后的p1、p2点间高差的中误差；（2）分配闭合差后P1点的高程中误差。AP1P2B例2、在相同条件下，观测两个角度

A=15

00

00

，

B=75

00

00

，设对

A观测4个测回的测角精度（中误差）为3

，问观测9个测回的精度为多少？三、若干独立误差的联合影响四、交会定点的精度ABPL1L2S0α0oyxSαP′σασuσsσp已知L1，L2的中误差，求p点坐标值的中误差及点位中误差。五、GIS线元要素的方差A（X1，Y1）P（XP，YP）B（X2，Y2）SS1XY已知直线两端点数字化坐标A（XA，YA），B（XB，YB），其协方差阵为：求P点坐标及其协方差。第四节权与定权的常用方法一、权的定义称为观测值Li的权。权与方差成反比。实例：在如图的水准网中，已知各条路线的距离为：S1=1.5kmS2=2.5kmS3=2.0km

S4=4.0kmS5=3.0kmAP1P2P312345设每公里观测高差中误差为σkm，σ0是可任选取的常数。根据协方差传播律可得：取取（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个

0。（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。权的特性：（五）同类观测值定权时，由于单位权中误差与观测值中误差单位相同，权是无量纲的数值；不同类观测值定权时，某些类观测值的权是有量纲的数值。二、单位权中误差三、常用的定权方法1、水准测量的权:要求每站或每km高差精度相同。或2、同精度观测值的算术平均值的权设有n个人对某量以同精度独立观测了N1，N2，…，Nn

次，得n个平均值L1，L2，Ln，若每次观测的中误差均为σ。以角度测量为例3、边角定权ABCβ2β3S0α0β1S1S2注意权的单位第五节协因数与协因数传播律一、协因数与协因数阵不难得出：特点：I对称，对角元素为权倒数

II正定

III各观测量互不相关时，Qij=0（i≠j），为对角矩阵。当为等精度观测，单位阵。称QXX为协因数阵。二、权阵1、权阵的定义设观测值向量L=[L1，L2，…，Ln]T，其协因数阵为QLL，那么其权阵为：

由于DLL是对称矩阵，因此，PLL也是对称矩阵。若记权阵为：1）设独立观测值向量L=[L1，L2，…，Ln]T，单位权中误差为σ0，组成向量和矩阵：2、权与协因数的关系2）当观测值向量L=[L1，L2，…，Ln]T的元素相关时，σij≠0，Qij≠0,Pij≠0。权阵的特点：

I对称，对角元素不一定就是相应观测值的权

II正定

III各观测量互不相关时，Pij=0（i≠j），为对角矩阵。当为等精度观测，单位阵。三、协因数传播律1、协因数传播律设有观测值X，其协因数阵为QXX，方差阵为DXX，由协因数与协因数阵定义可知：Y和Z是X的线性函数：如果函数是非线性函数，则先线性化再用协因数传播律求函数的协因数。2、权倒数传播律设独立观测值向量L=[L1，L2，…，Ln]T，其权分别为P1,p2,…,pn,如果有函数：

Z=f(L1,L2,…,Ln)

线性化由于观测值独立，则：例题：P48～P51例1、同精度观测了L1

，L2

，令P1=P2=1，求L3的权。L1L3L2l1l3l2L2L1四、控制网权阵（协因数阵）的确定

在如图的水准网中，已知各条路线的距离为：S1=1.5kmS2=2.5kmS3=2.0km

S4=4.0kmS5=3.0km

又各高差观测值独立，Pi=C/Si,取C=3.0km,则：AP1P2P3123451、水准网取C=1.5km2、测角网1）、角度为独立观测值(测回法）观测值：L1

，L2

，L3测回数：N1,N2,N3L1L3L2各测回为等精度独立观测，一测回中误差为σ，根据同精度观测值算术平均值定权方法有：Pi=Ni/C,取C=1，则：2）、相关观测值的情况用全圆测回观测L1，L2，L3l1l3l2L3L2L1l1l3l2L2L13、测边网独立观测了六条边S1～S6S1S4S3S6S5S2则权阵为3、边角网ABCβ2β3S0α0β1S1S2则权阵为第六节由真误差计算中误差及其实际应用一、用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式设有一组同精度独立观测值L1，L2，…，Ln，它们的数学期望为μ1，μ2,…,μn,真误差为△1,

△2,…,△n,有

△i的数学期望为E(△i)=0，它们的中误差也等于σ。由于Li和△i都服从正态分布，所以可以将它们写为

：

由中误差的定义，观测值Li的中误差为当n为有限值时由于L1，L2，…，Ln是同精度独立观测值，可设它们的权P1=P2=···=Pn=1,可见σ为单位权中误差。

现在设L1，L2，…，Ln

是一组不同精度的独立观测值，它们所对应的数学期望，中误差和权分别为：Li和△i都服从下列正态分布由权的定义可得：可见，若知道单位权中误差σ0与观测值Li的权Pi,则可计算其中误差σi。

从前面可以看到，为了求得单位权中误差σ0，应需要得到一组精度相同且其权为1的独立的数学期望为0的真误差，为此，令：利用不同精度观测值的真误差求单位权中误差σ0：根据权倒数传播律知可得：可见，△′是一组同精度且权为1，数学期望E(△′)=0的误差，由于△

是独立的真误差，所以，△′

也是一组独立的真误差，根据前面的知识就可得到当n为有限值时即有观测值Li的方差（中误差）为：二、由真误差计算中误差的实际应用1．由三角形闭合差求测角中误差ω1ω2ω3ωn2、由双观测（成对观测）值之差求中误差h1′h1h2′h2h4h3BM1h3′h4′BM2123水准测量L1′L1′L1′L1′L1″L3″L2″L4″距离测量设对量X1，X2，…，Xn

各测两次，得独立观测值为设已知各观测对(Li′与Li″相同)的权分别为例题见P54第七节系统误差的传播

前几节所讲的问题，是以观测值只含有偶然误差为前提的。也就是说，要求在测量过程中设法消除系统误差，但由于种种原因，观测成果中总是或多或少地存在残余的系统误差，这些系统误差的数值和符号随着观测条件的变化而变化。由于系统误差产生的原因多种多样，它们的性质各不相同，因而只能对不同的具体情况采用不同的处理方法，不可以得到些通用的处理方法。所以，对于残余的系统误差对成果的影响，也不可能有严密的计算方法。这里仅讲估计系统误差的概念和一种在某些情况下可以应用的近似估算方法。第四章平差数学模型与最小二乘原理第一节测量平差概述第二节测量平差的数学模型第三节参数估计与最小二乘原理一、必要观测、多余观测

确定平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有种选择第一节测量平差概述

确定平面三角形的形状与大小s1s3s26个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等

确定如图四点的相对高度关系ADCBh1h6h5h2h4h3必要观测:能够唯一确定一个几何模型所必要的观测一般用t表示。特点:1、给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。

2、必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。

3、确定几何模型最大独立观测个数多余观测:观测值的个数n与必要观测个数t之差一般用r表示，r=n-t。4、确定几何模型最大独立观测个数为t,那么再多进行一个观测就相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。观测值:为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。n<t，则无法确定模型n=t，唯一确定模型，不能发现粗差。n>t,，可以确定模型，还可以发现粗差。二、测量平差

必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测，每个多余观测必然可用这t个元素表示，r个多余观测即形成r个条件。ADCBh1h6h5h2h4h3实际上：ABCL2L3S0α0L1S1S2可见，有多余观测就存在观测元素之间的函数关系，就可以建立函数模型，而误差的存在又导致了观测值之间的矛盾，使得观测值之间不能满足应有的函数关系。

可将上式左端在（L1，L2，L3，S1，S2）处用泰勒级数展开，进行线性化。设观测值向量为L=[L1，L2，…Ln]T，以上各方程均可表示为：F（L1，L2，…Ln）=F（L）=0，这种形式的方程称为条件方程。测量平差就是根据观测值和未知量的关系组成方程（函数模型），在一定的平差准则下求未知量的估值，并评定成果精度。第二节测量平差的函数模型一、条件平差法ABCL2L3S0α0L1S以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。

2、条件平差的未知量（待求量）为观测值的真值或观测值的真误差△。

3、在条件平差中，总观测数为n,必要观测数为t,多余观测数为r,方程个数为c=r。

3、条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程个数。1、条件平差的函数模型为：二、间接平差法

选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，称为观测方程。以此为平差的函数模型，成为间接平差法。ABCL2L3S0L1S

在间接平差中,总观测数为n,必要观测数为t,参数个数为u,多余观测数为r,方程个数为c=r+u=n.

尽管间接平差法是选了t个独立参数，但多余观测数不随平差不同而异，其自由度仍是r=n-t。可见,间接平差的函数模型为:三、附有参数的条件平差法

设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有参数的条件平差法。ABCL2L3S0L1SABCL2L3S0L1S

2、在附有参数的条件平差中，n个总观测值，t个必要观测，r个多余观测，选择了u个独立参数，方程总数由r个增加到c=r+u个。3、附有参数的条件平差的自由度为r=c-u。可见1、附有参数的条件平差的函数模型为四、附有限制条件的间接平差法

如果采用间接平差，就要选出t个独立量为平差参数，按每一个观测值与所选参数间函数关系，组成n个观测方程。如果在平差问题中，不是选t个而是选定u>t个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。在选定u>t个参数进行平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此平差方法为附有限制件的间接平差法。ABCL2L3S0L1S

2、在附有限制条件的间接平差中，n个总观测值，t个必要观测，r个多余观测，选择了u＞t个参数，方程总数由r个增加到c=r+u个，其中有s=u-t个限制条件方程。3、附有参数的条件平差的自由度为r=c-u。可见1、附有限制条件的间接平差的函数模型为注意：

1、各种平差模型所列方程组中，方程之间必须独立。

2、选取参数的目的：（1）、直接求出某些未知量的估值（2）、便于列立方程第三节函数模型的线性化一、函数的泰勒级数展开：为了线性化，取X的近似值为取的近似值为L

将F按泰勒级数在（X0，L）处展开，并略去二次以及以上项：设函数二、平差函数模型的线性化1、条件平差法：2、间接平差法3、附有参数的条件平差法4、附有限制条件的间接平差法第四节测量平差的数学模型数学模型函数模型随机模型：条件平差间接平差附有参数的条件平差附有限制条件的间接平差数学模型函数模型随机模型：条件平差间接平差附有参数的条件平差附有限制条件的间接平差第五节参数估计与最小二乘原理一、参数估计及其最优性质

对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差为例：

条件的个数r=n-t<n，即方程的个数少，求解的参数多，方程多解。其它模型同。1、测量平差中的估计量1）、参数的平差值2）、观测值的平差值3）、未知量的方差与协方差（协因数与单位权方差）2、参数的最优性质

唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。

数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘估计。1）、无偏性：1、最小二乘法实例：匀速运动的质点在时刻

的位置y表示为：实际上：二、最小二乘原理写成矩阵：间接平差函数模型y2、最小二乘原理与极大似然估计

按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计准则的估值相同。

设观测向量为L，L为n维随机正态向量，其数学期望与方差分别为：其似然函数为：以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E（

）=0得：按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的作为X的估计量。由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小值时，lnG才能取得极大值，换言之，的估计量应满足如下条件：即最小二乘原则。最小二乘原理中的P阵为观测值权阵，P=Q-11、当观测值L1，L2，…，Ln独立时2、当观测值L1，L2，…，Ln相关时此时，权阵不具有权的意义，只在运算时起着权的作用例、设对某物理量进行了n次同精度观测得试用最小二乘原理求该量的估值。第五章条件平差第一节条件平差原理第二节条件方程第三节精度评定第四节水准网平差示例第一节条件平差原理一、线性条件方程的矩阵形式1、平差值线性条件方程设有r个平差值线性条件方程2、改正数线性条件方程式中Wi=(i=1,2,…,r)称为条件方程的闭分差，或称不符值令则有:二、条件平差的基础方程及其解1、数学模型及平差准则2、基础方程及其解按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数Φ：求其一阶偏导数，并令其为0：二、条件平差的计算步骤根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r。根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r。解算法方程，求出联系数K值。将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值为了检查平差计算的正确性，常用平差值重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。BADh1h4h2h3CBADh1h4h2h3C例3、A、B、C三点在同一直线上，测出了AB、BC、AC的长分别为l1=200.010m,l2=300.010m,l3=300.070m,l4=500.090m。令100m量距权为单位权，试按条件平差法求各段的平差值。l1l3l2l4解：1、列条件方程

n=4,t=2,故r=2，c=2，可列两个条件方程2、定权，pi=100/Si3、组成法方程，并解算4、代入原方程检查。h1=+1.596mn1=3h2=-0.231mn2=4h3=+4.256mn3=12h4=-5.642mn4=6123第二节条件方程一、水准网列条件的原则：1、闭合水准路线2、附合水准路线包含的线路数最少为原则h1h7h5h6h3h4h2h8AODCBBAFGEDCh1h6h7h2h5h4h3二、测角网4个必要的起算数据为：一个已知点（2个坐标）一个方位（1个）一个尺度（1个两已知点（4个坐标）列条件的原则：将复杂图形分解成典型图形。条件类型：图形条件、圆周条件、极条件、固定方位条件、固定边长条件、固定坐标条件三角锁b1c1a1a4b2c4b4a2c2c3b3a3大地四边形a1a2b1b2a3BDb4a4Ob3CA中心多边形ABCDa1b3b1c1a2a3b2c3c2AFEDCBG16543211109872220211918171615141312S、T条件方程个数:p=7,q=2,n=22,t=2p-4-q=8c=r=n-t=148个图形条件3个极条件1个圆周条件1个边长条件1个方位条件

三、测边网边角网ADCBh1h3h2S1S2S3S4S6S5β1β2β31)、以角度改正数表示的条件方程2）、角度改正数与边长改正数的关系式ACBhbhchaScSaSb角度改正数方程式的规律：任意角的改正数等于其对边改正数与其两夹边的改正数与相应邻角余弦乘积的负值之和，再乘以除以该角对边的高。角值用余弦定理计算。那么，由V1+V2+V3+ω=0得：在具体计算图形条件的系数和闭合差时，一般取边长改正数的单位为cm，高h的单位为km，取2.062，而闭合差的单位为（″）。由观测边长计算系数中的角值（图3-10），可按余弦定理或下式计算：四、以坐标为观测值的条件方程1、直角与直线型的条件方程，β0为90°、270°或0°、180°。j(Xj,Yj)h(Xh,Yh)k(Xk,Yk)五、距离型的条件方程j(Xj,Yj)k(Xk,Yk)S0第三节精度评定一、计算单位权中误差（该公式证明在后面）二、协因数阵

因为

所以

将以上结果列于下表，以便查用。条件平差各量的协因数LWKVLQ-AQT

-QvvWAQNaa-I-AQ0K-I0V-Qvv-QAT0000Q-QVV

由表可知：与V、W、K是不相关的统计量，即相互独立。三、观测值真误差（粗差）对平差值的影响四、平差值函数的中误差ABCDa1b3b1c1a2a3b2c3c2设平差值函数为：条件平差公式汇编

条件平差的函数模型和随机模型是

条件方程

AV+W=0

法方程：

改正数方程：观测量平差值：平差值函数：

其权函数式为

单位权方差的估值：

平差值函数的方差：

例1、如图同精度观测了6个角得L1=45°30′46″,L2=67°22′10″,L3=67°07′14″,L4=69°03′14″,L6=52°32′22″,L6=58°24′18″,求各观测值的平差值及平差后CD边长的相对中误差。第四节平差示例A132BDC456例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条件平差求各点的高称平差值。路线号观测高差（m）路线长度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B解：1、列条件方程2、定权取C=1，则：3、形成法方程4、解算法方程5、计算改正数6、计算平差值7、计算高程平差值作业1：线号高差（m）路线长度（km）点号高程（m）11.1004A5.00022.3982B3.95330.2004C7.65041.0002

53.4042

63.4524

A

oooBC123456P1P2P3如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表

试用条件平差法求P1、P3、P3点高程的平差值。第一节间接平差原理第二节误差方程第三节精度评定第四节平差示例第六章间接平差1、数学模型及平差准则第一节间接平差原理二、基础方程和它的解按函数极值的求法，极值函数：求其一阶偏导数，并令其为0：代入误差方程：即为法方程式三、间接平差法平差步骤1、选择t个独立的未知参数2、将每个观测值表示成未知参数的函数，形成误差方程。3、形成法方程4、求解法方程5、计算改正数6、精度评定1、2、3、4、5、例题〔7-1〕如图所示的水准网中，已知水准点A的高程是HA=237.483m，为求B、C、D三点高程，进行了水准测量，测得高差和水准路线长度si,见表7-1。试按照间接平差方法求B、C和D的高程平差值。ADCB12354水准路线观测高差(m)路线长度(km)123455.8353.7829.6407.3842.2703.52.74.03.02.5解：n=-5,t=3,r=2,选取B、C、D三点的高程为参，u=3，c=r+u=5、1、根据所示水准路线列出误差方程，即参数的近似值选为未知参数近似值的改正数为：将上式代入到误差方程有

取10km观测高差为单位权观测，则：2、 组成法方程：3、 解法方程：4、 计算改正数：5、 计算平差值：例[7-2]A、B、C三点在同一直线上，测出了AB、BC、AC的长分别为l1=200.010m,l2=300.010m,l3=300.070m,l4=500.090m。令100m量距权为单位权，试按间接平差法求各段的平差值。l1l3l2l4解：1、列误差方程

n=4,t=2,故r=2，选取l1、l2的平差值为未知参数，u=2，可列4个误差方程2、定权，pi=100/Si3、组成法方程，并解算一个平差问题，无论采用条件平差还是间接平差，其最小二乘解是唯一和一致的。即与具体的平差方法无关！与条件平差的结果比较，结果完全一致。可见：一、确定待定参数的个数第二节误差方程在间接平差中，待定参数的个数必须等于必等于必要观测的个数t，而且要求这t个参数必须是独立的。这样才有可能将每个观测量表达成这个t个参数的函数，而这种类型的函数式正是间接平差函数模型的基本形式。水准网测角网测边网边角网GPS网采用GPS尺度与方位不采用GPS尺度与方位二、参数的选取高程控制网：待定点的高程平面控制网：待定点的二维坐标三维控制网：待定点的三维坐标三、误差方程的组成1、水准路线的误差方程ijXiXjhij当i点已知时：当j点已知时：2、方向的误差方程（测方向三角网）——定向角未知数设j、k的坐标为未知参数：即：零方向的方位角jk的方位角为：Ljk、Ljl为观测值N零方向jklαjk为非线性函数，要进行线性化。对上式在初始近似值处进行Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：1)、当j点已知时：2）、当k点已知时：3）、当j、k点已知时：4）、同一边的正反坐标方位角的改正数相等，与坐标改正数的关系也相同。例7-3、如图，A、B、C为已知点，D为待求坐标点，在四个测站上共观测了10个方向，以D点坐标为平差参数，列出误差方程。A1DCB5691087432解、1、列误差方程：n=10,待求量为D点坐标，4个测站定向角，故必要观测数为t=2+4=6,r=4,将D点坐标和4个测站定向角设为未知参数，u=6,c=r+u=10。根据前面的内容有误差方程：1）、计算D点的近似坐标（可用前方交会余切公式或支导线）、待定边的近似坐标方位角与近似边长、各定向角近似值。定向角近似值计算：2）、计算坐标方位角改正数的系数。边长S，坐标增量ΔX，ΔY以m为单位，坐标改正数以dm或cm为单位。3）、计算误差方程的常数项ljk.4）、将系数和常数项代入下式得到各方向误差方程。2、组成法方程，并解算法方程。3、求出各平差值。3、测角网函数模型Li为观测角值，设待定点j,h,k坐标为参数：Li的观测方程为：误差方程为：jkhLI例7-3、如图，A、B、C为已知点，D为待求坐标点，同精度观测了6个角，以D点坐标为平差参数，列出误差方程。A1DCB564321）、计算D点的近似坐标（可用前方交会余切公式或支导线）、待定边的近似坐标方位角与近似边长。解、1、列误差方程：n=6,待求量为D点坐标故必要观测数为t=2,r=4,将D点坐标设为未知参数，u=2,c=r+u=6。根据前面的内容有误差方程：2）、计算坐标方位角改正数的系数。边长S，坐标增量ΔX，ΔY以m为单位，坐标改正数以dm或cm为单位。3）、计算误差方程的常数项ljk.4）、将系数和常数项代入上式得到各方向误差方程。4、距离的误差方程（测边网）jk设j、k的坐标为未知参数：jk的距离为：为非线性函数，要进行线性化。对上式在初始近似值处进行Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：当j点已知时：当k点已知时：例7-5：如图，A、B、C为已知点，D为待定点，同精度观测了三个边长，列出误差方程并求平差值。CAL3L1DBL2解、1、列误差方程：n=3,待求量为D点坐标，故必要观测数为t=2,r=1,将D点坐标设为未知参数，u=2,c=3。根据前面的内容有误差方程：1）、计算D点的近似坐标2）、计算坐标方位角改正数的系数。3）、计算误差方程的常数项ljk.4）、将系数和常数项代入上式得到各方向误差方程。ABDhL1L2l5、坐标转换模型

设某点在新坐标系的坐标为（xi，yi)，在旧坐标系的坐标为（x´i，y´i)，旧坐标系原点在新坐标系的坐标为（x0，y0)，将旧坐标系加以平移、旋转和尺度因子改正，使点的坐标转换为新坐标。xyX´y´oo´(x0,y0)αixixi′yi′yia,b,c,d为所求的未知量，若两坐标系有n个公共点，令新坐标系坐标为观测值，旧坐标无误差，则可列出误差方程：6、拟合模型1）、高程拟合:数字高程模型、GPS水准的高程异常拟合模型等。已知n个点的数据为（xi，yi，Zi），其中Zi是高程或向程异常，为观测值，（xi，yi）为坐标，Zi是xi，yi的函数，