2023-2024学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）含解析

2023-2024学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.用配方法解方程x2−6x+5=0，配方后可得(

)A.(x+3)2=4 B.(x−3)2=42.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE=3，则BC的长为(

)A.3

B.4

C.5

D.63.下列说法正确的是(

)A.四边相等的四边形是正方形 B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是矩形4.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为(0,2)、(−1,0)，则点D的坐标为(

)A.(5,2)

B.(2,5)5.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若∠AOB=60°，BD=8，则AD的长为(

)

A.4 B.5 C.3 D.46.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=70°，对角线AC、BD相交于点O，E为BC中点，则∠COE的度数为(

)A.70°

B.65°

C.55°

D.35°7.在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有个(

)A.25 B.20 C.15 D.108.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色(若指针指在分界线上，则重转)，则配成紫色的概率为(

)A.16 B.13 C.129.某超市1月份营业额为100万元，2月、3月的营业额共400万元，如果平均每月营业额的增长率为x，则由题意可列方程(

)A.100(1+x)2=400 B.100(1+x)(1+2x)=400

C.100(1+x)(2+x)=40010.如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，且BG=CG，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG/​/CF；⑤S△FGC=725

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个二、填空题（本大题共5小题，共15分）11.方程x(x+2)=(x+2)的根为______．12.若x=2是方程x2+3x−2m=0的一个根，则m的值为______．13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=24，BD=10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE=______．

14.若一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根，则m的取值范围______15.已知α、β是方程x2+x−2=0的两个实数根，则代数式2α2+3α+β三、计算题（本大题共1小题，共12分）16.用指定方法解下列一元二次方程

(1)3(2x−1)2−12=0(直接开平方法)

(2)2x2−4x−7=0(配方法)

(3)x2+x−1=0(四、解答题（本大题共6小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题7.0分)

“端午节”所示我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的肉馅棕、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不用口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．

请根据以上信息回答：

(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？

(2)将两幅不完整的图补充完整；

(3)若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；

(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个恰好吃到的是C粽的概率．18.(本小题7.0分)

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：

(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？19.(本小题6.0分)

已知关于x，y的方程组ax+23y=−103,x+y=4与x−y=2,x+by=15的解相同．

(1)求a，b的值；

(2)20.(本小题7.0分)

如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF/​/AE．

(1)求证：四边形BECF是菱形；

(2)当∠A=

°时，四边形BECF是正方形；

(3)在(2)的条件下，若AC=4，则四边形ABFC的面积为

．21.(本小题8.0分)

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为t s．

(1)根据题意知：CE=______，CD=______；(用含t的代数式表示)

(2)t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的13？

(3)点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．

22.(本小题8.0分)

小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______

(2)性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系：______．

(3)问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CG，BE，GE，已知AC=4，AB=5．

①求证：四边形BCGE为垂美四边形；

②求出四边形BCGE的面积．

答案和解析1.【答案】B

解：x2−6x+5=0，

x2−6x=−5，

x2−6x+9=4，

(x−3)2=4．

故选：B2.【答案】D

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴DO=BO，

∵点E是CD的中点，OE=3，

∴BC=2OE=6，

故选：D．

根据矩形的性质可得O为BD中点，进而根据中位线定理可得结果．

本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形对角线互相平分的性质和中位线定理是解题关键．3.【答案】C

解：A、四边相等的四边形是菱形，说法错误，不符合题意；

B、对角线平分互相垂直且相等的四边形是正方形，说法错误，不符合题意；

C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，说法正确，符合题意；

D、对角线平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；

故选：C．

根据矩形、正方形、菱形的判定判断即可．

此题考查正方形的判定，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．4.【答案】A

解：∵点A、B的坐标分别为(0,2)、(−1,0)，

∴OB=1，AO=2，

∴AB=AO2+BO2=5，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=5，AD//BC，

∴点D坐标为(5.【答案】D

解：∵四边形ABCD是矩形，BD=8，

∴AC=BD=8，∠ABC=90°，

∴OA=OB=4，

∵∠AOB=60°，

∴△ABO是等边三角形，

∴AB=OA=4，

∴AD=BD2−AB2=43，

故选：D．6.【答案】C

解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ABC=70°，

∴∠BOC=90°，∠COB=12∠ABC=35°，

∴∠OCB=90°−35°=55°，

∵E为BC的中点，

∴OE=CE，

∴∠COE=∠OCB=55°．

故选：C．

由菱形的性质可求解∠COB=35°，结合直角三角形的性质可求得∠OCB=55°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得OE=CE，再利用等腰三角形的性质可求解．

7.【答案】B

【解析】【分析】

此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．

由摸到红球的频率稳定在0.2附近，得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．

解：设白球个数为x个，

∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，

∴口袋中得到红色球的概率为0.2．

∴55+x=0.2．

解得：x=20．

即袋中的白球大约有20个．

8.【答案】C

解：列表如下：

红蓝红(红，红)(蓝，红)蓝(红，蓝)(蓝，蓝)蓝(红，蓝)(蓝，蓝)由表格知共有6种等可能出现的结果数，其中能配成紫色的结果数有3种，

则P(配成紫色)=36=12，

故选：C．

9.【答案】C

解：设平均每月增长率为x，

100[(1+x)+(1+x)2]=400．

即：100(1+x)(2+x)=400，

故选：C．

如果平均每月增长率为x，根据某超市一月份营业额为100万元，二月、三月的营业额共40010.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形的面积计算等知识的综合运用；解折叠问题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

依据HL即可判定Rt△ABG≌Rt△AFG；依据∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，即可得到∠EAG=12∠BAD；依据勾股定理列方程，即可得到DE=4，CE=8，进而得出CE=2DE；依据三角形外角性质，即可得到∠AGB=∠GCF，即可得到AG//CF；根据GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，即可得到S△GFC=35×S△GCE=725．

【解答】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，

由折叠的性质得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，

∴∠AFG=90°=∠B，AB=AF，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

AG=AGAB=AF，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，故①正确；

∴∠BAG=∠FAG，

由折叠可得，∠DAE=∠FAE，

∴∠EAG=12∠BAD=45°，故②正确；

由题意得：EF=DE，BG=CG=6=GF，

设DE=EF=x，则CE=12−x．

在直角△ECG中，根据勾股定理，得CE2+CG2=GE2，

即(12−x)2+62=(x+6)2，

解得：x=4，

∴DE=4，CE=8，

∴CE=2DE，故③正确；

∵CG=BG，BG=GF，

∴CG=GF，

∴∠GFC=∠GCF．

又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，

∴∠AGB=∠AGF，

∵∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，

∴∠AGB=∠GCF，

11.【答案】x1=1，解：x(x+2)−(x+2)=0，

(x+2)(x−1)=0，

x+2=0或x−1=0，

x=−2或1．

故答案为：x1=−2，x2=1．

将12.【答案】5

解：把x=2代入，得

22+3×2−2m=0，

解得：m=5．

故答案是：5．

把x=2代入已知方程得到关于m的新方程，通过解新方程求得m的值即可．13.【答案】12013解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=BC，AC⊥BD，AO=OC，DO=BO，

∵AC=24，BD=10，

∴AO=12，OD=5，由勾股定理得：AD=13，

∴BC=13，

∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=BC×DE，

∴12×24×10=13×DE，

解得：DE=12013，

故答案为：12013．

根据菱形的性质得出AD=BC，14.【答案】m<45且解：∵一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根，

∴△=b2−4ac=42−4×m×5=16−20m>0，

解得：m<45，

∵m≠0，

∴m的取值范围为：m<45

且m≠0．

故答案为：m<45

15.【答案】3

解：∵α、β是方程x2+x−2=0的两个实数根，

∴α+β=−1，αβ=−2，α2+α−2=0，

∴α2+α=2，

∴2α2+3α+β

=2(α2+α)+α+β

=2×2−1

=3．

故答案为：3．

根据一元二次方程的解的定义和根与系数的关系得到α2+α−2=0，α+β=−116.【答案】解：(1)3(2x−1)2−12=0，

移项，得

3(2x−1)2=12，

两边都除以3，得(2x−1)2=4，

两边开平方，得2x−1=±2，

移项，得2x=1±2，

解得：x1=32，x2=−12；

(2)2x2−4x−7=0，

两边都除以2，得x2−2x−72=0，

移项，得x2−2x=72，

配方，得x2−2x+1=92，即(x−1)2=92，

解得：x−1=±322，

即x【解析】(1)方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；

(2)方程利用配方法求出解即可；

(3)方程利用公式法求出解即可；

(4)方程利用因式分解法求出解即可．

此题考查了解一元二次方程−因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．17.【答案】解：(1)60÷10%=600(人)．

答：本次参加抽样调查的居民由600人；

(2)600−180−60−240=120，120÷600×100%=20%，100%−10%−40%−20%=30%；

补全统计图如图所示：

(3)8000×40%=3200(人)．

答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人；

(4)如图：

P(第二次吃到C粽)=312=14．

答：他第二个恰好吃到的是C【解析】本题主要考查的是条形统计图、扇形统计图以及概率的计算，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．

(1)利用频数÷百分比=总数，求得总人数；

(2)根据条形统计图先求得C类型的人数，然后根据百分比=频数÷总数，求得百分比，从而可补全统计图；

(3)用居民区的总人数×40%即可；

(4)首先画出树状图，然后求得所有的情况以及他第二个恰好吃到的是C粽的情况，然后利用概率公式计算即可．18.【答案】解：(1)设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，由题意，得

(40−x)(20+2x)=1200，

解得：x1=20，x2=10，

∵要扩大销售，减少库存，

∴每件衬衫应降价20元；

(2)设商场每天的盈利为W元，由题意，得

W=(40−x)(20+2x)，

W=−2(x−15)2+1250

∴a=−2<0，

∴x=15时，W最大=1250元．【解析】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程(二次函数关系式)是解题的关键．1)设每件衬衫应降价x元，根据“商场盈利=单件盈利×销售数量”，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，再结合减少库存即可确定x的值；

(2)设每件衬衫降价x元时，商场所获得的利润为y元，根据“商场盈利=单件盈利×销售数量”，即可找出x关于y的二次函数关系式，配方后根据二次函数的性质即可得出每件衬衫降价多少元时盈利最大．19.【答案】解：(1)由题意得，关于x，y的方程组ax+23y=−103,x+y=4与x−y=2,x+by=15的相同解，就是方程组x+y=4x−y=2的解，

解得，x=3y=1，

∴3a+23=−103，3+b=15，

解得，a=−43，b=12；

(2)当a=−43，b=12时，关于x的方程x2+ax+b=0【解析】本题考查二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法以及勾股定理的逆定理，掌握一元二次方程的解法和勾股定理的逆定理是得出正确答案的关键．

(1)关于x，y的方程组ax+23y=−103,x+y=4与x−y=2,x+by=15的解相同．首先求出方程组x+y=4x−y=2的解，进而确定a、b的值；

(2)将a20.【答案】解：(1)证明：∵EF垂直平分BC，

∴BF=FC，BE=EC，

∴∠FCB=∠FBC，

∵CF/​/AE

∴∠FCB=∠CBE，

∴∠FBC=∠CBE，

∵∠FDB=∠EDB，BD=BD，

在△FDB和△EDB中

∠FDB=∠EDBBD=BD∠FBD=∠EBD

∴△FDB≌△EDB(ASA)，

∴BF=BE，

∴BE=EC=FC=BF，

∴四边形BECF是菱形；

(2)45

【解析】(1)证明：∵EF垂直平分BC，

∴BF=FC，BE=EC，

∴∠FCB=∠FBC，

∵CF/​/AE

∴∠FCB=∠CBE，

∴∠FBC=∠CBE，

∵∠FDB=∠EDB，BD=BD，

在△FDB和△EDB中

∠FDB=∠EDBBD=BD∠FBD=∠EBD

∴△FDB≌△EDB(ASA)，

∴BF=BE，

∴BE=EC=FC=BF，

∴四边形BECF是菱形；

(2)解：当∠A=45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：

若四边形BECF是正方形，则∠ECB=∠FCB=45°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE=45°，

∵∠A=45°，

∴∠AEC=90°，

由(1)知四边形BECF是菱形，

∴四边形BECF是正方形；

故答案为：45；

(3)解：由(2)知，四边形BECF是正方形，AE=BE=CE=22，

∴四边形ABFC的面积为(22+42)×222=12，

故答案为：12．

(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；

(2)若四边形BECF是正方形，则∠ECB=∠FCB=45°，而∠ACB=90°21.【答案】解：(1)∵动点D、E同时出发，动点E从C出发向点B移动，

∴CE=3t cm，

∵动点D从点A出发向点C移动，

∴CD=(8−4t)cm，

故答案为：3t cm，(8−4t)cm．

(2)当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的13时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的14，

根据题意得12×3t(8−4t)=14×12×8×6，

整理得t2−2t+1=0，

解得t1=t2=1，

答：t=1，即运动1秒时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的13．

(