弹塑性力学习题解答

-.z.塑性：弹性：2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q试证及能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。证明：〔1〕将应力分量，和分别代入平衡微分方程、相容方程〔a〕〔b〕显然〔a〕、〔b〕是满足的〔2〕对于微小的三角板都为正值，斜边上的方向余弦,,将，代入平面问题的应力边界条件的表达式〔c〕则有所以，。对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。〔3〕对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。该题为平面应力的情况，首先，将应力分量及代入物理方程，得形变分量，，〔d〕然后，将〔d〕的变形分量代入几何方程，得，，〔e〕前而式的积分得到，〔f〕其中的和分别是y和*的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式〔f〕代入〔e〕的第三式得等式左边只是y的函数，而等式右边只是*的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有，，积分以后得，代入〔f〕得位移分量其中为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。从式〔g〕可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确的解答。2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力和切应力的表达式，并取挤压应力，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为，横截面对z轴〔中性轴)的惯性矩为，根据材料力学公式，弯应力；该截面上的剪力为，剪应力；并取挤压应力〔2〕经历证，上述表达式能满足平衡微分方程也能满足相容方程再考察边界条件：在的主要边界上，应准确满足应力边界条件：，；，。能满足在次要边界*=0上，列出三个积分的应力边界条件：满足应力边界条件。在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件：满足应力边界条件因此，他们是该问题的解答。3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次式的应力函数求解。解〔1〕相容条件：设(a)不管上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。〔2〕体力分量由应力函数得应力分量的表达式(b)(c)(d)〔3)考察边界条件：利用边界条件确定待定系数先考察主要边界上的边界条件：，将应力分量式(b)和式〔c〕代入，这些边界条件要求，得A=0，B=0。式(b)、〔c〕、〔d〕成为〔e〕〔f〕〔g〕根据斜边界的边界条件,它的边界限方程是,在斜面上没有任何面力，即,按照一般的应力边界条件，有将(e)、〔f〕、〔g〕代入得〔h〕〔i〕由图可见，，代入式〔h〕、(i)求解C和D,即得，将这些系数代入式(b)、〔c〕、〔d〕得应力分量的表达式4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q，如题4-12图所示.试求其应力分量。解〔1〕应力函数，进展求解由应力函数得应力分量〔2〕考察边界条件：根据对称性，得〔a〕〔b〕〔c〕〔d〕由式〔a〕得〔e〕由式〔b〕得〔f〕由式〔c〕得〔g〕由式〔d〕得〔h〕式〔e〕、〔f〕、〔g〕、(h)联立求解，得将以上系数代入应力分量，得4一13设有半径为r,外半径为R的圆筒受压力q，试求半径和外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。解此题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受压力q的情况下，取应力分量表达式〔B=0〕，外的应力边界条件要求，，由表达式可见，前两个关于的条件是满足的，而后两个条件要求由上式解得，(a)把A,B,C值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，〔b〕(c)式〔c〕中的取任何值等式都成立，