高二数学（江苏,理科）（新高三）暑期作业复习方法策略讲-第讲转化-破解全国通用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第11讲转化-—破解“空间中的线面关系"空间平行与垂直关系的证明与探索是历年高考的重点与热点，也是难点,它多与空间角的求解综合在一起来考查空间想象能力．破解平行、垂直关系的方法是转化，抓住平行关系、垂直关系各自的内在联系,通过转化完成平行与垂直关系的证明与探索．1．梳理知识网络,基础知识了然于胸．eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（\a\vs4\al(空间直线，与直线的，位置关系）\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（共面\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（相交,平行—-公理4-—等角定理）),异面-—异面直线所成的角)），\a\vs4\al（空间直线,与平面的，位置关系)\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（直线在平面内——公理1，\a\vs4\al(直线与平面相交—-,直线与平面垂直)\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（判定，性质，直线与平面所成的角)）,直线与平面平行\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(判定，性质)))），\a\vs4\al(空间平面，与平面的，位置关系)\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（平行\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(判定,性质)),相交\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（公理3，二面角——平面与平面垂直\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(判定，性质）))））)））2．理清“平行"的联系，转化平行关系．如图,理清平行关系的内在联系，使线线平行、线面平行、面面平行融为一个有机的整体，是转化平行关系的关键．直线与直线平行是平行关系的一个起点，要利用公理4、初中平面几何知识来判定两直线的平行，要梳理平面几何中与直线平行的相关知识．在直观图中，直线平行是直观的,因为直观图属于平行投影，在平行投影下，两平行直线的投影往往也是平行的．3．理清“垂直”的联系，转化垂直关系．如图，理清垂直关系的内在联系，使线线垂直、线面垂直、面面垂直融为一个有机的整体，是转化垂直关系的关键．两直线垂直是转化垂直关系的一个起点，依据初中平面几何知识判定两相交直线的垂直,要梳理平面几何中与直线垂直的相关知识．空间直线的垂直主要利用直线与平面垂直转化出来．4．把握空间几何体中的平行、垂直关系．不仅把握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的几何体的结构特征，总结这些空间几何体的性质,还要理清其中的平行、垂直关系．如直棱柱，侧棱平行，侧面是矩形，侧棱与底面垂直,侧面与底面垂直等．例1如图所示,在三棱柱ABC－A1B1C1中,点D为AC的中点，点D1是A1C1的中点．证明：BC1∥平面AB1D1。解后反思证明线面平行,既可以联想线面平行的判定定理，转化为证明线线平行；也可以联想面面平行的性质,转化为证明面面平行．利用判定定理证明线面平行时，往往要找一个过该直线的平面，证明该直线与交线平行．利用面面平行的性质定理证明线面平行时，往往要找一个过该直线的平面，证明该平面与已知平面平行．例2把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC,∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD。解后反思1．证明面面垂直,联想判定定理，转化为证明线面垂直．而证明线面垂直，还需转化为线线垂直．2．在哪一个平面内取哪条直线，证明它垂直于另一个平面，是证明面面垂直的难点．在充分把握已知条件的基础上，直觉与推理相结合，运用反证法的思想，是选准直线的好方法．比如，如果在平面ACD内取一直线证明它垂直平面ABD，肯定不选CD,因为如果CD⊥平面ABD，则CD⊥BD，事实上CD与BD不可能垂直，排除CD;若选AD,则AD⊥平面ABC，则平面ABD⊥平面ABC。又平面BCD⊥平面ABC，故平面BCD与平面ABD的交线BD也垂直于BC，又CD⊥BC，故BD⊥BC不可能，这样排除了AD.3．证明线、面位置关系想判定定理(证明线面平行也可以联想面面平行性质，证明线面垂直也可以联想面面垂直性质)，已知线、面位置关系想性质．例3如图,在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．(1)求证：DF⊥AP.（2)在线段AD上是否存在点G,使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点的位置,并证明你的结论；若不存在，说明理由．解后反思G点的寻找过程就是垂直关系不断转化的过程，蕴含了分析法的思想．假设在线段AD上存在点G,使GF⊥平面PBC,则GF⊥BC，由OF⊥BC,可知BC⊥平面GOF，于是BC⊥GO。由BC∥AD，得GO⊥AD,由AB⊥AD，得GO∥AB，则GO是三角形ABD的中位线,故G点是AD的中点．总结感悟1．证明、探索空间中线、面的平行(垂直)关系,就是利用平行（垂直)的内在联系,不断转化平行（垂直)关系的过程．2．利用判定定理证明线面平行时，往往要找一个过该直线的平面，证明该直线与交线平行．利用面面平行的性质定理证明线面平行时，往往要找一个过该直线的平面，证明该平面与已知平面平行．3．利用反证法、分析法的思想是探索垂直关系的绝好方法．A级1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是________．①AB∥CD;②AD∥CB；③AB与CD相交；④A，B，C,D四点共面．2．关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是________．（填序号）①m∥α,n∥β且α∥β，则m∥n；②m⊥α，n⊥β且α⊥β,则m∥n;③m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n。3．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．4．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P,A，B是定点，则动点C的轨迹是__________________．5．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则在三棱锥P－ABC的四个面中,互相垂直的面有________对．6．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于_____________________________________________．B级7．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC,PA＝2AB，则下列结论正确的是________．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°。8．（2016·全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：(1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β,那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。（3)如果α∥β,m⊂α，那么m∥β.（4)如果m∥n,α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的编号）9．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为eq\f（9，4)，底面是边长为eq\r（3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．10。如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD,BA⊥AD,CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．11。如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是________．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成的角为60°。12。如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB＝60°，边长为a。侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ,则θ＝________．13．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°,AC＝BC＝eq\f（1,2)AA1,D是棱AA1的中点．(1)证明:平面BDC⊥平面BDC1;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

第11讲转化——破解“空间中的线面关系”题型分析例1证明方法一如图所示，连结A1B交AB1于O，连结OD1.由棱柱的定义，知四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1。又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1。方法二如图所示，连结C1D，BD,D1D。点D，D1分别为AC,A1C1的中点，四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥DC1。又∵AD1⊂平面AB1D1，DC1⊄平面AB1D1，∴DC1∥平面AB1D1。由D，D1分别为AC，A1C1的中点，易知D1D∥AA1，且D1D＝AA1，由B1B∥AA1，且B1B＝AA1，B1B∥D1D且B1B＝D1D，所以B1D1∥BD，又∵B1D1⊂平面AB1D1，BD⊄平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.又DC1∥平面AB1D1.BD∩DC1＝D，BD,DC1⊂平面BC1D,∴平面AB1D1∥平面BC1D，∴BC1⊂平面BC1D,∴BC1∥平面AB1D1。例2证明因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DC⊥BC，DC⊂平面BCD，所以DC⊥AB.又AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC,CD⊂平面ACD。所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABD，故平面ABD⊥平面ACD。例3（1)证明取AB的中点E，连结EF，则PA∥EF。设PD＝DC＝a，易求得DE＝eq\f(\r（5)，2)a，FE＝eq\f(1,2）PA＝eq\f（\r(2),2)a,DF＝eq\f（1,2）PB＝eq\f（\r(3）,2)a.∵DE2＝EF2＋DF2，∴DF⊥EF，又EF∥PA，∴DF⊥PA。（2）解在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点．取AD的中点G，连结PG、BG，则PG＝BG.又F为PB的中点，故PB⊥GF。连结AC、BD,其交点为O，连结OF，GO。∵OF是三角形PBD的中位线,∴OF∥PD，∴OF⊥BC,∵GO为三角形ABD的中位线，∴GO∥AB，由AB⊥BC，得GO⊥BC，∵GO、OF是平面GOF内的两条相交直线，∴BC⊥平面GOF，∴BC⊥GF，∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线，∴GF⊥平面PBC.线下作业1．④解析充分性：A,B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD。必要性显然成立．2．③3．6解析各中点连线如图,只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．4．去掉两点的一个圆解析∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．5．3解析∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC,∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC。同理可证：平面PAB⊥平面PAC。6．60°解析如图,可补成一个正方体，∴AC1∥BD1。∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1成60°的角．7．④解析设AB长为1,由PA＝2AB得PA＝2，又ABCDEF是正六边形,所以AD长也为2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD为直角三角形．因为PA＝AD，所以∠PDA＝45°，所以PD与平面ABC所成的角为45°.8．②③④解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定,故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④。9.eq\f（π，3）解析如图所示:SABC＝eq\f(1，2)×eq\r（3）×eq\r（3)×sineq\f（π,3)＝eq\f（3\r(3），4)。∴VABC－A1B1C1＝SABC×OP＝eq\f（3\r（3），4）×OP＝eq\f(9，4)，∴OP＝eq\r(3).又OA＝eq\f(\r（3）,2）×eq\r(3）×eq\f(2，3)＝1，∴tan∠OAP＝eq\f（OP，OA)＝eq\r(3)，又0〈∠OAP<eq\f（π,2)，∴∠OAP＝eq\f(π，3）.10．平行解析取PD的中点F,连结EF，AF，在△PCD中，EF綊eq\f(1,2)CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD。11．④解析由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1，B1