2021年中考训练 十 四边形(含答案)

专题十四边形

一、单选题

1.（2020.台州）把一张宽为1cm的长方形纸片ABC。折叠成如图所示的阴影图案，顶点4,。互相重合，

中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2c/n的等腰直角三角形，则纸片的长（单位:a”）为（）

4⑺

七^>二。

BC

A.7+3B.7+4C.8+3D.8+4

2.（2020.台州）下是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等；②它是一个正方形;③它是一个矩形.

下列推理过程正确的是（）

A.由②推出③，由③推出①B.由①推出②，由②推出③

C.由③推出①，由①推出②D.由①推出③，由③推出②

3.（2020•台州）如图，已知线段AB,分别以4,B为圆心，大于象8同样长为半径画弧，两弧交于点C,

D,连接AC,AD,BC,BD,C。，则下列说法错误的是（）

A.A8平分/CAOB.CO平分/AC8C.ABVCDD.AB=CD

4.（2020•温州）如图，在△ABC中，ZA=40°,AB=AC,以CB,CO为边作£3BCDE,

则/E的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

5.（2020•湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会

随之改变，如图，改变正方形ABCO的内角，正方形ABCZ）变为菱形ABC。，若NZ）AB=30。，则菱形

A8C。的面积与正方形A8CO的面积之比是（）

B

6.（2020・金华・丽水）如图，。。是等边的内切圆，分别切A&BC,AC于点E,F,D,P是:瘠上

一点，则NEPr的度数是（）

A.65°B.600C.58°D.50°

7.（2020.金华•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形A8CQ与正方形

连结EG,8。相交于点。，8。与"C相交于点P.若GO=GP,)

A・1用B.g亚C.第一亚D.寸

8.（2019・绍兴）正方形ABC。的边A8上有一动点E,以EC为边作矩形ECFG,且边尸G过点。，在点E

从点A移动到点8的过程中，矩形ECFG的面积（）

A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变

二、填空题

9.（2020・衢州）如图，将一把矩形直尺A8C。和一块含30。角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB

在x轴上，点G与点A重合，点尸在AO上，三角板的直角边所交于点陆反比例函数产率80）

的图象恰好经过点F,M。若直尺的宽8=3,三角板的斜边FG=8亚，则仁。

10.（2019・湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板由边长为4也的正方形ABC。可

以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFG”内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其

中点0、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.

图2

11.（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCQ,ZPAD=30°,以点8为圆心，AB长为半径

作弧点A,与AP交于点A,M,分别以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E,连结EQ,则

ZADE的度数为。

12.（2018•湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线广©2+灰（”>（））的顶点为c,与x轴的

正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线产加（«>0）交于点B.若四边形ABOC是正方形，则人的值是

13.（2018•湖州）如图，已知菱形ABC。，对角线AC,8。相交于点。.若&AC=6,则BQ

14.（2018•宁波）如图，在菱形ABCQ中，AB=2,乙8是锐角，AE_LBC于点E,M是AB的中点，连结

MD,ME.若NEM£>=90。，则cosB的值为。

15.（2018・宁波）如图，正方形A8C。的边长为8,M是A8的中点，P是BC边上的动点，连结PM,以

点P为圆心，PM长为半径作。P.当。P与正方形A8C。的边相切时，8P的长为。

16.（2018・温州）如图，直线产_厚,*44与葭轴、飞轴分别交于48两点，C是08的中点，。是

48上一点，四边形OEZ）C是菱形，则AOAE的面积为.

17.（2018・杭州）折叠矩形纸片A8CD时，发现可以进行如下操作：①把AAOE翻折，点A落在。C边上

的点尸处，折痕为。E,点E在4B边上；②把纸片展开并铺平；③把△C£>G翻折，点C落在直线AE上

的点H处，折痕为OG,点G在BC边上，若A8=AO+2,EH=\,贝UA£>=。

18.（2018•绍兴）等腰三角形ABC中，顶角A为40。，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=8A,

则NPBC的度数为。

三、解答题

19.（2019・嘉兴）如图，在矩形ABC。中，点E,F在对角线8D.请添加一个条件，使得结论SE=Cr，成

立，并加以证明.

DFLAC,垂足分别为点E,Fo

21.（2020・衢州）如图，在5x5的网格中,

（1）在图1中画出一个以AB为边的Z3A8OE,使顶点。，E在格点上。

（2）在图2中画出一条恰好平分AABC周长的直线/（至少经过两个格点）。

五、综合题

22.（2020•衢州）【性质探究】

如图，在矩形438中，对角线AC,20相交于点O,AE平分/8AC,交BC于点瓦作。FL4E于点H,

分别交A8,AC于点F,Go

(1)判断AAFG的形状并说明理由。

(2)求证:BF=20G.

(3)【迁移应用】

蓑4时‘求臂的值。

记ADG。的面积为Si,△OBF的曲积为S2，当

(4)【拓展延伸】

若。尸交射线AB于点F,【性质探究】中的其余条件不变，连结EF。当"EF的面积为矩形ABCD面积

1

的4M时，请直接写出的值。

10

23.(2020.杭州)如图，在正方形ABC。中，点£在BC边上,连接AE、ND4E的平分线AG与CO边

交于点G,与3C的延长线交于点F,设追=如＞0)。

(1)若AB=2,2=1,求线段CF的长。

(2)连接EG,若EGJ_AF,

①求证：点G为CO的中点。

②求入的值。

24.(2020•宁波)如图

(1)【基础巩固】

如图1,在AABC中，。为A2上一点，求证：总£*=。蕊”.且哥

(2)【尝试应用】

如图2,在0点齿菇由中，E为BC上一点，F为8延长线上一点，NBFE=/A.若BF=4,BE=3,求A。

的长.

(3)【拓展提高】

1

如图3,在菱形ABCD中，E是A8上一点，F是AABC内一点，EF//AC,AC=2E尸，,£废超蒸=备£蜃短，

-S

AE=2,DF=5,求菱形ABC。的边长.

25.(2020・金华・丽水)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，

分别过OB,OC的中点。，E作AE,A。的平行线，相交于点F,已知08=8.

(1)求证：四边形AEFD为菱形.

(2)求四边形AEFD的面积.

(3)若点尸在x轴正半轴上(异于点D),点。在)，轴上，平面内是否存在点G,使得以点A,P,Q,G

为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由.

26.(2019・绍兴)如图，矩形ABCD中，AB=a,BC=b，点、M,N分别在边A8,CD上，点E,尸分别在边

BC,ADh,MN,EF交于点P,记k=MN:EF.

（1）若的值为1,当MN,所时，求女的值。

1

（2）若的值为号，求k的最大值和最小值。

T・

（3）若％的值为3,当点N是矩形的顶点，ZMPE=60°,MP=EF=3PEWi,求a力为的值。

27.（2019・绍兴）有一块形状如图的五边形余料A8CQE,AB=AE=6,BC=5,ZA=ZB=90°,ZC=135°.Z

E>90。.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所载矩形材料的面积尽可能大。

（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE,求矩形材料的面积。

（2）能否数出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说

明理由.

28.（2019・嘉兴）在6x6的方格纸中，点A,B,C都在格点上，按要求画图：

C：：：•：：C

图1图2

（1）在图1中找一个格点。，使以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形.

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段A8三等分（保留画图痕迹，不写画法）.

29.（2019・湖州）如图，已知在AABC中，D,E,尸分别是AB,BC,AC的中点，连结。F,EF,BF.

IT

(1)求证：四边形BEF。是平行四边形；

(2)若NAFB=90。，AB=6,求四边形8EFD的周长.

30.(2019・宁波)如图，矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形A3C。的边A。，8c上，顶点F、H在菱形

ABCD的对角线BD上.

(I)求证：BG=DE；

(2)若E为AO中点，FH=2,求菱形ABC。的周长。

31.(2019•杭州)如图，已知正方形ABCO的边长为【，正方形CEFG的面积为S,点E在。C边上,

点G在8C的延长线上，设以线段4。和OE为邻边的矩形的面积为8,且S=&.

(1)求线段CE的长.

(2)若点日为8c边的中点，连接印)，求证：HD=HG.

32.(2019・嘉兴)小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展.

(1)温故：如图1,在4。姐直:中，,就U醵;于点血，正方形漫.跳等的边小就在朝卷上，顶点步,

京分别在金国，般;上，若懿：=洛，,，眈=4,求正方形理典位的边长.

(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2,任意

画^总馥:，在*点上任取一点播，画正方形审磔立禁,使尊,,1/在龙邕边上，京在△总馥:内，连

结醒/并延长交.然;于点M画斯M_L龙直:于点画,弹烂，期期交,且浮于点.承，^.©!龙直:于点

&,得到四边形尸烂尊之域余.小波把线段呆相称为“波利亚线”.

推理：证明图2中的四边形好卷财羯^是正方形.

⑶拓展：在(2)的条件下，于波利亚线呆狷上截取整脸=双斌,连结龙聚，熬场(如图3).当

惆"押潮"和，猜想N跳松的度数，并尝试证明.

答案解析部分

一、单选题

1.D

【解答】解：如图，过点M作于”，过点N作/VJL4W于J.

月⑺

由题意AEMN是等腰直角三角形，EM=EN=2,MN=磁,

•.,四边形EM4K是矩形，

：.EK=A'K=MH=\,KH=EM=2,

,：4RMH是等腰直角三角形，

：.RH=MH=1,RM=后,同法可证NW=4,

由题意AR=R4，=A，W=WZ)=4,

.'.AD=AR+RM+MN+NW+DW—4+^?，+4=8+小>

故答案为：D.

【分析】如图，过点"作"HLA'R于H,过点N作NJ_L4W于J.想办法求出AR,RM,MN,NW,WD

即可解决问题.

2.A

【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，

故①—②，①一③错误，

故选项B,C,。错误，

故答案为：A.

【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断.

3.0

【解答】解：由作图知AC=A£>=BC=B。，

四边形ACB。是菱形，

；.AB平分/CAD、CD平分NACB、ABLCD,

不能判断AB—CD,

故答案为：D.

【分析】根据作图判断出四边形ACB。是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的

对角线互相垂直平分可得出答案.

4.D

【解答】:在山i龙篦中，，£国=*。感，融=盛:,

:彦卢：=口翻幅-4d卷-2=胃0'：,

1/四边形髭直;激普是平行四边形，

二■京=?：0侬.

故答案为：装.

【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出NC的度数，再利用平行四边形的对角相等，

可求出/E的度数。

5.B

【解答】解：根据题意可知菱形围底篦的高等于.W曲的一半，

:菱形同酬"廿的面积为鼻硝正方形同馥&的面积为a避

，菱形*4逐寓:的面积与正方形,4宓贪&的面积之比是基

故答案为：B.

【分析】利用30。角所对的直角边等于斜边的一半，就可证得菱形息馥了招，的高等于金器的一半，由此

可得到菱形48C。的面积与正方形ABCZ)的面积，然后求出它们的面积之比。

6.8

【解答】解：连接OE,OF,

'：点EF分别是切点，；.ZOEB=ZOFB=90°,

•.,△ABC是等边三角形，AZB=60°,

ZE(7F=360°-ZOEB-ZOFB-ZB=120°,

：.ZP=l>ZEOF=60°.

故答案为：B.

【分析】连接OE,OF,根据切线的性质可得/。磴=/。尸8=90。，禾U用等边三角形的性质可得NB=60。,

根据四边形内角和等于360。，可求出NEOF的度数，根据圆周角定理可得/P=qNE。凡据此求出结论.

7.B

【解答】解：设AF=y,BF=x,

：.正方形EFG”的边长G”=y-x,

:.EG=^GF=E(y-x),

・・・正方形A8CO的面积为r+y2,正方形EFG”的面积为(y-x)2,

•:ED〃BG,:・NEDO=NGBO,

•:ED=BG,NEOD=NBOG,

:AEOD会GOB,

：.EO=GOt

.•.G屋EG至(y-x),

Ji,冷

•:GP=GO,

:.GP=£：(y-x),

:・GH:GP=后,

:，PH：PG=fi，l

,:DH〃GB,

:.△DHPSBGH,

•端=舞，即得卓卡1，二户内-A

...；/—,=，=.“苏

盘面京剧?躁挣："靖挈

故答案为：B.

【分析】设4F=y,BF=X,可得正方形EFG”的边长GH=y-x,即得EG幸GF幸(y-x)，根据正方形的

面积公式可得正方形A8CO的面积为/+)2,正方形EFGH的面积为(y-x)2,先证△EODgGOB,

可得EO=GO,可得G泊EG=@,(y-x),从而可得GP=GO=是(y-x),从而可得PH-.PG=ff_],由

工•,3"¥一

于DH"GB、可得ADHPsBGH,利用相似三角形对应边成比例可得。从GB=x:y=拒_>代入正方形的

面积进行计算即得结论.

8.0

【解答】解：如图，连接。区过点E作EHLCD于点H,过点。作OWLEC于点M

AB

E

•.•正方形ABCD矩形ECFG

/.四边形AEDH是矩形

：.EH=DC=AD,FC=DM

1'I

.,.SAD£C=盍DCEH=mEGDM

：.DCEH=ECDM

'/S如彩ECFG=FC-EC=EC-DM

Sii：/j®ABCD=AD-DC—DC-EH

•'•S矩形ECFC=SifMABCD

在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积保持不变。

故答案为：D

【分析】连接。E,过点E作EHLCD于点H,过点。作。于点M,易证四边形是矩形，

利用正方形和矩形的性质，可证得E4=£>C=A£>,FC=DM,再根据同一个三角形的面积相等，可证得

DCEH=ECDM,因此可得到在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积等于正方形ABCD的

面积，即可得出答案。

二、填空题

9.40亚

【解答】解：过点M作，垂足为N,

则MN=AD=3,

在RmFMN中,NMFN=30。,

FN—因MN=3袤，

：.AN=MB=S曷39=5扬

设O4=x,则OB=x+3,

：.F(x,8&,M(x+3,5:志‘)，

二8月=(x+3)x5属

解得，x=5,

：.F（5,8节，

.*.*=5x8亚=40技

故答案为：40

【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN,FN,进而求出AN、MB,表示出点F、点

”的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点尸的坐标，进而确定k的值即可.

164幅

【解答】解：如图，延长EO交GH于点K,取②中三角形斜边中点J,连结JK,由图1知K7一定过②

中三角形的直角顶点，

F

由图1可得：

EO=8,OK=2,KJ=4,

：.EK=EO+OK=S+2=\Of

在RtAKGJ中,

■■KG=输？"济=承，

设正方形EFGH边长为小则HK="-2后,

在Rt^KEH中，

"：E^EbP+HK1,

即1。2=层+（G2套'）2,

解得：a=4后或a=-2后（舍去），

二正方形EFGH边长为4薪

故答案为：4,标.

【分析】由图1可得：EO=8,OK=2,KJ=4,EK=10,在R〃KGJ中，根据勾股定理求得KG长,

设正方形EFGH边长为a,则HK=a-2蠢，在中，根据勾股定理建立一元二次方程，解之即可

求得答案.

11.15°或45°

【解答】解：如图，

;正方形A8CQ

/.ZDAB=90°,NBAD=45。,AD=AB

'：ZDAP=30°

：.ZBAM=90°-30°=60°

由题意可知

.二△ABM是等边三角形，

：.AM=AB=BM

由题意可知

当点E的位置在直线PA上方，与点8重合，此时/AOE2=45。；

当点E的位置在直线E4下方，此时点B(£2)与点e关于直线PA对称，

BA=AE,2=AM=AD

：.ZMAEi=60°fZADEi=ZAEiD

：.ZDAEi=3600-ZDAB-ZBAM-ZMAEi

=360o-90°-60o-60°

=150°

AZADEi=(180°-150°)4-15°

故答案为：15。或45°

【分析】根据题意画出图形，利用正方形的性质及作图，可证AA8M是等边三角形，易证AM=A8=BM,

就可求出/8AM的度数，再分情况讨论：当点£的位置在直线PA上方，与点8重合，此时/AOE2=45。；

当点E的位置在直线PA下方，此时点B(£2)与点自关于直线PA对称，利用轴对称的性质，可得到

BA=AE,2=AM=AD,从而可证得/AOEI=/AEI。，求出/MAEI的度数，再利用/D4Ei=36(T-/D4B-N

BAM-ZMAE,,求出NQAEi的度数，然后利用三角形内角和定理求出/儿汨的度数即可。

12.-2

【解答】解：•・,四边形A8OC是正方形,

，点B的坐标为（-：孝”-：聿，）.

抛物线y=ax1过点B,

解得：bi=0（舍去）,bz=-2.

故答案为：-2.

【分析】根据正方形的性质得出B点的坐标，根据抛物线上点的坐标特点，将B点坐标代入抛物线y=ax2

即可得出方程，求解即可得出人的值。

13.2

【解答】解：：四边形A8CZ）是菱形，AC=6,

J.AC1.BD,0A=与AC=3,BD=2OB.

在??公。48中，：/AOZ）=90°,

..tanABAC-国=豆，

.•.08=1,

.\BD=2.

故答案为2.

【分析】根据菱形的性质得出ACLBD,O4=^AC=3,BD=2OB.在RdOAB中根据正切函数的定义得出

心鬻仔即可得出。B的长，进而得出的的长。

【解答】解：延长。M交CB的延长线于H,

•••四边形ABC3为菱形,

：.AB=AD=BC=2,AD//BC,

：.NADM=/H,

又是A8的中点,

：.AM=BM=1,

在△AOM和中，

（区蒸芝濯州

；：溪风藏即=混密监层,

A(A4S)，

:.DM=HM,AD=BH=2,

VEM1DM,

:・EH=ED,

设BE=x,

:.EH=ED=2+x,

VAE1BC,

ZAEB=ZEAD=90°,

：.AEr=AB2-BEr=ED2-AD\

即22-^=(2+x)2-22,

化简得：r+ZrZO,

解得：口后1，

在放"BE中，

cosB=.&iE\_

故答案为：鱼J.

♦

【分析】延长。M交CB的延长线于H,由菱形的性质和平行线的性质可得：AB=AD=BC^2,ZADM=ZH-,

由全等三角形的判定44S得AAOW丝△BHM,再根据全等三角形的性质得AO=B〃=2,根据等腰

三角形三线合一的性质可得EH=ED,设BE=x,则EH=ED=2+x,根据勾股定理得AE^AB^BE^EI^-AD2,

代入数值解这个方程即可得出8E的长.

15.3或4杰

【解答】解：①如图1,当。P与边cr＞相切时，切点为c,

:.PM=PC=R,

是AB的中点，正方形A8CD的边长为8,

:.BM=4,BP=8-R,

在RMBM中,

即心=(8-R)2+42,

解得：R=5,

：.BP=8-R=8-5=3.

②如图2,当当。P与边AQ相切时，设切点为K,连结PK,

：.PK±AD,

四边形A8PK为矩形，

；.PK=PM=8,

是48的中点，正方形48C。的边长为8,

：.BM=4,

在RMBM中，

：.Ph^=PB2+BM~,

即82=PB2+42,

解得：PB=4.窿,

综上所述：PB的长度为3或4区.

故答案为：3或4.再,.

［分析］0如图1,当。P与边CD相切时，切点为C,根据切线和正方形的性质得PM=PC=R,BM=4,BP=8-R,

在&AW?何中，根据勾股定理即可得

汽2=0次)2+42,解之即可得凡从而求得BP；

②如图2,当当OP与边相切时，设切点为K,连结尸K,根据切线的性质得由矩形判定和性

质得PK=PM=8,在RdP8M中，根据勾股定理即可得82=P"+42,解之即可得PB长.

16幸

【解答】解：把产0代入y=_虚x+4得出产4,.♦.8(0,4);；.08=4;：C是OB的中点，.\OC=2,二,四

.飞:

边形。匹C是菱形,.•.。氏0。=2;0后〃0。,把)=0代入＞-=-gx+4得出产融,略,0);；.04=砥,

设亚,^a),...风“盅工+2),延长DE交OA于点尸，工亚x+2,OF=x,在Rt^OEF中利用勾股定

一*禹T百亨

理得：承嵬4J=承，解得：制=0(舍)，及=因；：.EF=\,：.S^AOE=^-OAEF=2$..

故答案为：2叔

【分析1根据直线于坐标轴交点的坐标特点得出,A,B两点的坐标，得出0B,04的长，根据C是08的中

点，从而得出0C的长，根据菱形的性质得出OE=OC=2;DE〃OC；设出。点的坐标，进而得出E点的坐

标，从而得出EA。尸的长，在心尸中利用勾股定理建立关于x的方程，求解得出x的值，然后根据三

角形的面积公式得出答案。

17号十事或3

【解答】•••当点”在线段4E上时

把AAOE翻折，点4落在。C边上的点尸处，折痕为DE,点E在AB边上

二四边形尸E是正方形

：.AD=AE

"：AH=AE-EH=AD-\

•.,把ACDG翻折，点C落在直线4E上的点”处，折痕为DG,点G在BC边上

：.DC=DH=AB=AD+2

在R&OH中，AD^A^DH2

：.AD2+(A£>-1)2=(AO+2)2

解之：AD=3+2技，AD=3-2鑫(舍去)

.•.4。=3+2宓

当点”在线段BE上时

则AH=AE-EH=AD+\

在中，AD^A^DFf

：.AD2+(AD+\)2=(AD+2)2

解之：AD=3,A3=-l(舍去)

故答案为：冬4■今g或3

【分析】分两种情况：当点，在线段AE上；当点”在线段BE上。根据①的折叠，可得出四边形AOFE

是正方形，根据正方形的性质可得出AO=AE,从而可得出(或A”=AO+1),再根据②的折叠可

得出DH=AD+2,然后根据勾股定理求出AD的长。

18.30°或110°

【解答】解：此题分两种情况：①点P在A8的左侧，连接PA,如图,

BC

.•.BC=PA」.•等腰三角形48c中，顶角A为40。，/A3C=70解8=AC,又：台々%,.•.AC=8P,...四边形

APBC是平行四边形，：.AC//PB,：.ZCAB=ZPBA=40°,：.ZPBC=ZPBA+ZABC=110°,

②点P在在A8的右侧，连接P4,如图，

；.BC=PA,•等腰三角形ABC中，顶角A为40°,；./ABC=70:AB=AC,又；BP=BA,：.AC=BP,^EMBP

与ABAC中，•：AB=BAAP=BCAC=BP,：.ZiABP丝△BAC,；.ZABP=ZBAC=40°,：.ZPBC=ZABC-Z

A8P=30°.

故答案为：30。或110。

【分析】此题分两种情况：①点尸在AB的左侧，连接PA,根据等腰三角形的性质由等腰三角形ABC中，

顶角A为40°,得出NABC=70》B=AC,又BP=BA,故AC=B尸，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边

形得出：四边形APBC是平行四边形，根据平行四边形的对边平行得出AC〃PB,根据二直线平行内错角相

等得出/CAB=NPBA=40。,根据/PBC=NPBA+/ABC得出答案；，②点P在在AB的右侧，连接PA,根据

等腰三角形ABC中，顶角A为40。，.•.得出NA8C=7(T,AB=AC,又BP=8A,故AC=8P由SSS判断出AABP

丝ABAC,根据全等三角形的对应角相等得出/ABP=/B4C=40。,根据得出答案。

三、解答题

19.解:添加条件：BE=。尸或OE=8尸或AE〃C尸或NAEB=/。尸C或ND4E=NBC尸或/AEO-NCPB或/

BAE-NDCF或ZDCF+ND4E=90°等.

若选择BE=DF.

证明：在矩形4BCD中，AB//CD,AB=CD,

：./ABE=NCDF.

,:BE=DF,

AABE学ACDF(SAS).

：.AE^CF.

【分析】利用矩形的性质和平行线的性质，易证AB=CZ）,NABE=NCDE,添加条件要使AE=CF,可证AABE

丝△CDF,因此若利用SAS,则可添力口或。E=8凡若利用A4S或ASA,可添加另外两组角中的一

组角相等，或添加AE〃CF,或添加AE_LBQ,CFVBD,证明即可。

20.证明：•.•四边形A3C。是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD.

：.ZBAE=ZDCF

'：BELAC,DFLAC,

：.ZAEB=ZCFD=9Q°

：./\ABE^/\CDF

：.AE=CF

【分析】根据平行四边形的性质及平行线的性质，可证得再根据垂直的定义证明/AEB=

ZCFD,利用全等三角形的判定可证得△ABEg/XCDF,然后利用全等三角形的性质，可证得结论。

四、作图题

21.（I）解：如图平行四边形ABDE即为所求（点。的位置还有6种情形可取）.

（2）解：如图，直线/即为所求,

雷2

【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一）.（2）利用数形结合的思想解决问题

即可.

五、综合题

22.（1）解：如图1中，AAFG是等腰三角形.

D

图1

理由：TAE平分N8AC,

AZ1=Z2,

9

：DF±AEf

：.ZAHF=NA〃G=90°,

*：AH=AHf

「•△A”/丝△AaG(ASA),

：.AF=AGf

「•△A尸G是等腰三角形.

(2)解：如图2中，过点。作OL〃A8交。户于3则NA尸G=NOLG.

图2

*：AF=AGf

：.ZAFG=ZAGF,

NAGF=NOGL,

：.ZOGL=ZOLGt

：.OG=OL,

*：OL//AB,

：・4DLOs丛DFB,

**筱芸一工笳FV"

・・•四边形A3CD是矩形,

：.BD=20Df

：.BF=20Lf

：.BF=20G.

(3)解：如图3中，过点。作。KLAC于K,则/。K4=/CD4=90。,

BEC

图3

'：ZDAK=ZCAD,

：.△A£)Ks”c。，

・Xcs

.・语二策"

11

VSi=奇OG・DK,S2=^•BF>AD,

二.二.

又•.♦BFuZOG,Ji=i,

,薄

.X2CB

二被‘谓二

设C£)=2x,AC=3x,则AD=2后x,

.••J©一3正

且耨一CD~3

(4)由〃N8AE的值为较或；&骐.

5T3-1

【解答】(4)设OG为“，AG为鼠

①如图4,连接EF,当点F在线段48上时,点G在线段OA上

C

BE

图4

；AF=AG,BF=2OG,

.\AF=AG=kfBF=2a,

.\AB=k^-2afAC=2(2+〃),

2222

：.AD=[2(k+a)]-(Z+2。),：.AD=3lc+4kaf

由NABE=NQAF-90。，NBAE=NADF,^LABE^/XDAF,

・谢釐小F

•f=3®'

..M-.;f.转，疏+一破

..妥十当「'券'11

根据题意得，10xJx2ax檄春匚细Lo(&+2。)，

.\AD2=\0ka,

即103=3F+4履，

/.k=2af

，4。=2'^^a,

:.BE=看谈+2雄4病，AB=4a,

!-----------1­।--r---\at.

②如图5,当点尸在线段A8的延长线上时，点G在线段OC上，连接后尸.

图5

：AF=AGfBF=20G,

\AF=AG=k,BF=2a,

\AB=k-2afAC=2Qk-a)

・・A£>2=AC2-C£>2=[2(k-a)]2-(%-2a)?=3心-Aka

・・NA8E=N£)A尸=90°,ZBAE=ZADF,

,•XAB"XDNF,

・“疫一室’

•鼠期一初’

:.BE=,裁看一酬.

，侬.

根据题意得，lOx2ax区"繁回=AOCk-2a）,

：.AD2=\Qka

即\0ka=3k2-4ka,

：.k=号a,

：.AD=.野［卷5.a,

：.BE=»­M=枷乙@la

【分析】（1）如图1中，AA尸G是等腰三角形.利用全等三角形的性质证明即可.（2）如图2中，过点

。作。乙〃A8交。产于L,则NAFG=/OLG.首先证明OG=OL,再证明8F=2OL即可解决问

题.（3）如图3中，过点。作。K,AC于K,则N£>KA=NCD4=90。，利用相似三角形的性质解决

问题即可.（4）设OG=a,AG=k.分两种情形：①如图4中，连接EF,当点F在线段A8上

时，点G在OA上.②如图5中，当点F在A8的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF.分别求

解即可解决问题.

23.（1）解：四边形ABC。是正方形,

J.AD//BC

:.NDAF=NF,

又AG平分/D4E

：.ZDAF=ZEAF

：.NEAF=NF,

：.EA=EF

又二;1=1,AB=BC=2,

：.BE=EC=\,

在RaABE中，由勾股定理得，EA=标

:.CF=EF-EC=.蓝-1

(2)解：®'：EA^EF,EG±AF

：.AG=GF

XVZAGD^ZFGC,ZDAG^ZF

：./\DAG^/\CFG

：.DG=CG,

点G是CO的中点。

②设C£>=2,则CG=1,

由①知，CF=AD=2

由题意△EGCS^GFC,

【分析】(1)利用正方形的性质可知A£>〃8C,再利用平行线的性质和角平分线的性质，可证得NE4F=

NF,利用等角对等边可证得E4=ER结合已知，利用勾股定理求出E4,EC的长，即可求出CF的长。

(2)①利用等腰三角形的性质，可得到AG=GF,再证明AD4G丝△CFG,利用全等三角形的对应边相等,

可证得。G=CG,即可证得结论；②利用已知条件易证△EGCS^GFC,利用相似三角形的性质，求出EC,

BE的长，然后求出CE与BE的比值。

24.(1)解：VZACD=ZB,ZA=ZA

：./\ADC^/\ACB

：.AC2=ADAB

(2)解：•.•四边形ABC。是平行四边形,

：.AD=BC,/A=/C,

又

AZBFE=ZC,—6分

又,：NFBE=/CBF,

:.ABFES/\BCF,

:.BP=BEBC,

：.BC2=薪5二

赵霆一嗦

：.AD=琴

(3)解：如图，分别延长EF,0c相交于点G,

D

•・•四边形ABC。是菱形，

1

：.AB//DCf/BAC=尚/BAD,

一,

-AC//EF,

・・.四边形AEGC为平行四边形，

：.AC=EG,CG=AE,NEAC=NG,

1

•：NEDF=焉NBAD,

：.NEDF=NBAC,

：.ZEDF=ZG,

又,：NDEF=NGED,

:.AEDFSAEGD,

：.DE2=EFEG,

y,-：EG=AC=2EF,

：.DEr=2EP,

：.DE=.亚EF,

V..:_&固

乂・孙靖=’BE?

：.DG=圣DF=5乱

：.DC=DG-CG=5杼2

【分析】(1)利用两个角相等的两个三角形相似，再根据相似三角形的性质列比例式即可得出结果；

(2)由平行四边形的性质得出AZ>=BC,ZA=ZG再根据两个角分别相等的两个三角形相似求出&BFE

s^BCF,于是由对应边成比例可得8产=BEBC,则BC的长可求，AD的长也可知；

(3)分别延长EF,OC相交于点G,由两组对边分别平行可得四边形4EGC为平行四边形，可得△EOF

s^EGD,于是由相似三角形的性质得出。序=EF-EG,结合EG=AC=2EF,可得DE车EF,再根据相似

三角形的性质列式，两者结合可得求得OG的长，则。C的长可求.

25.(1)证明：-：DF//AE,EF//AD,

四边形AEFD是平行四边形.

；四边形A80C是正方形，

：.OB=OC=AB=AC,NACE=NABD=R".

,:点D,E是OB,OC的中点,

:・CE=BD,

：.△ACEdAAD(SAS),

：.AE=ADt

・・・必斯。是菱形.

***S&ABD==AB'BD=巳※蝴/0=:售，

国察

S^ODE=二ODOE=，&＞：⑹=疆，

:・S&AED=S正方形ABOC—2S&ABD—S&ODE

=64—2漱1息一8=24,

•'S箜形A£"£)=2SAA£D=48.

(3)解：由图1,连结Ab与OE相交于点K,易得ZkAOK的两直角边之比为1:3.

1)当A尸为菱形一边时，点。在1轴上方，有图2、图3两种情况：

如图2,AG与PQ交于点H,

菱形PAQGs菱形ADFE,

.•.△APH的两直角边之比为1:3.

过点“作“NJ_x轴于点N,交AC于点M,设

•.•HN〃OQ,点H是尸。的中点，

...点N是。P中点，

:.HN是40PQ的中位线，

：.0N=PN=8—t.

又；N1=N3=9O°-N2,NPNH=NAMH=90°,

：.AHMAs/\PNH,

・MS_1

=-

,,ww•丁

：.HN=3AM=3t,

:.MH=MN-NH=8-3t.

,:PN=3MH,

/.8-Z=3(8-30，解得f=2.

；.O尸=2ON=2(8—。=12,

.•.点P的坐标为(12,0).

如图3,ZAPH的两直角边之比为1:3.

图3

过点“作H/_Ly轴于点/,过点尸作PN_Lx轴交出于点N,延长3A交/N于点M.

VZ1=Z3=9O°-Z2,ZAMH=ZPNH,

：.△AMHs^HNP,

・国£=MH.__

,_设

一Ww筝

:.PN=3MH=3t,

：.AM=BM~AB=3tS,

：.HN=3AM=3(3t-S)=9f—24.

又•・・”/是AOP。的中位线，

・•・OP=21H,

:.HI=HN,

.,.8+f=9r—24,解得f=4.

O尸=2H/=2(8+f)=24,

二点尸的坐标为(24,0).

2)当AP为菱形一边时，点。在x轴下方，有图4、图5两种情况:

如图4,△PQH的两直角边之比为1:3.

过点H作HMLy轴于点M,过点P作PNLHM于点、N.

•.♦MH是AQAC的中位线，

.才彳》

:.HM=啃~=4.

又；/1=/3=90°—/2,ZHMQ=ZN,

：.4HPNs/\QHM,

.迎_喀_1则呐_」谢_4

-HM'~-F则尸"铲时一驾’

：.OM=2.

设,HN=t,则MQ=3f.

•・・MQ=MC,

，3/=8—解得f=

：.OP=MN=4+t=萼，

・•.点P的坐标为（萼，0）.

过点“作轴于点M,交AC于点/,过点。作于点N.

・・・〃/是△ACQ的中位线，

ACQ=2HI,NQ=CI=4.

VZ1=Z3=9O°-Z2,NPMH=/QNH,

:.XPMHSXHNQ,

则M”=LNQ=

冬冬£

设PM=K则HN=3f,

♦：HN=H1,

.*.3z=8+v-,■解»得t=—.

>能

：.OP=OM-PM=QN-PM=^-t=

.♦.点P的坐标为（0）.

s

过点“作轴于点M,交AB于点/,过点P作PNLHM于点N.

•・・”/〃不轴，点”为4尸的中点，

/.A/=/B=4f:.PN=4.

VZ1=Z3=9O°-Z2,NPNH=NQMH=90。,

:ZNHs^HMQ,

.喀西济西济1雨⑶丹nHIMHMJd

••sr=sirsir号贝.-Pi,H~

•；///是AABP的中位线，

:.BP=