2021年中考人教版数学二轮复习 题型7 圆的综合题

题型七圆的综合题

®类型1折叠问题

1」2014河北25］图⑴和图⑵中，优弧AB所在。0的半径为2,AB=2百.点P为优弧AB上一点（点

P不与A,B重合），将图形沿BP折叠彳导到点A的对称点A'.

⑴点（）到弦AB的距离是1；

当BP经过点0时,NABA'=60°.

⑵当BA'与。0相切时，如图⑵,求折痕BP的长.

⑶若线段BA'与优弧AB只有一个公共点B,设NABP=a，确定a的取值范围.

解:⑴160

⑵作OC_LAB于点C,连接0B,如图.

；BA'与。0相切,

，/0BA'=90°.

在RtAOBC中,OB=2,OC=1,

AsinZOBC^A

OB2'

AZ0BC=30°f

ZABP^ZABA)=i(ZOBA)+ZOBC)=60",

.,.NQBP=30°.

作OD±BP于点D,则BP=2BD.

/.BD=OB•cos300-V3.，BP=2VI

(3)：点乙\不重合,，£1>0。.

由⑴得，当a增大到30°时，点A'在优弧AB上，

当0。<a<30。，点A'在。0内，线段BA'与优弧AB只有一个公共点B.

由⑵知，当。增大到60°时,BA'与。。相切,即线段BA'与优弧AB只有一个公共点B.

当a继续增大时，点P逐渐靠近点B,但点P,B不重合，

.".Z0BP<90°.

•:a=Z0BA+Z0BP,Z0BA=30",

a<120°.

，当60°Wa<120。时，线段BA'与优弧AB只有T公共点B.

综上所述,a的取值范围是0°<a<30°或60°Wa〈120。.

2.如图，点M是以AB为直径的半圆（）上的一点（不与点A,B重合）,AB=4.沿着BM折叠半圆（）,点

A,0的对应点分别是点A',0',设NABM=a.

⑴如图⑴，过点A'作A'N〃AB,当A'N与半圆0相切时，求a的值；

⑵如图⑵，当点0,落在靛上时,求阴影部分的面积；

⑶如图⑶，当BA'与。。相切时,求折痕BM的长.

解：(1)由折叠易知,/A'BA=2NABM=2a,A'B=AB=4.

如图⑴，设A'N与半圆0相切于点D,连接0D厕OD1_A'N,0D=|AB=2.

过点A'作A'CLAB于点C,

YA'N〃AB,.\A'C=0D=2,，sinNA'BA=^-i

.".ZA，BA=30°,

故a=15°.

A'

图⑴图⑵

⑵如图⑵，连接00'.

由折叠的性质可知,BO'=0B=2.

V00,=0B,.\A00,B为等边三角形，

.,.Z0,0B=60o,

AS阴影=S扇形WXsin60。丹一遮.

36023

⑶如图⑶，连接AM,则/AMB=90°.

图⑶

当BA'与。0相切时,NABA'=90°,

/.ZABM=45",

又：AB=4,

BM=—AB=2V2,

即折痕BM的长为2V2.

3.[2020河北九地市联考一]如图⑴，扇形0AB的半径为4,ZA0B=90°,P是半径OB上f点,Q

是靠上一动点.

⑴连接AQ,BQ,PQ,则/AQB的度数为Q5。.

⑵当P是0B的中点，且PQ〃OA时，求阳的长.

⑶如图(2),将扇形OAB沿PQ折叠，折叠后的而恰好与半径0A相切于点C.若0P=3,求点0到

折痕PQ的距离.

C4

图⑵

解:⑴135。

⑵连接0Q.

VPQ/70A,

.\Z0PQ=180°-ZA0B=90o.

:扇形OAB的半径为4,P是0B的中点,

.1.OP=2,OQ=4,

/.OP-iOQ,

.•.Z0QP=30°,

.,.ZA0Q=Z0QP=30",

⑶如图作点0关于PQ的对称点()',连接0,0,0'P,0'C,0'0,0'C分别交PQ于点M,N,连接ON,

则0M=0'M,00'J_PQ,O'P=0P=3,0'N=ON,点O'是前所在圆的圆心,

.,.0'C=0B=4.

:弧QB'恰好与0A相切于C点，

.,.O'CIAO,

AO'CZ/OB,

AZC0'M=NP00'=NP0'M.

又•.,NPMO'=NQMO'=90°,

/O'PM=ZMNO',

.'O'N=0'P=3,

.,.CN=O'C-0'N=4-3=l.

在RtZXONC中,()C10N2-CN2132-/-2VI,

在RtAOCO'中,00,"OU+OC2=J42+（2V2）2=2>/6,

；.O吟00"西

即点0到折痕PQ的距离为n.

4.[2020石家庄42中模拟]已知AP是半圆0的直径,AP=d，点C是半圆0上的一个动点（不与点

A,P重合），连接AC,沿直线AC翻折A0,将点0的对应点记为0“射线AOi交半圆0于点B,连接0C.

⑴如图⑴,请判断AB和0C的位置关系.

⑵如图⑵，当点B与点（八重合时，用d表示弧PC的长.

⑶过点C作射线A01的垂线，垂足为点E,连接0E交AC于点F.当d=10,0,B=l时，求雾的值.

解:⑴；点。与点0关于直线AC对称,

.,.ZOAC=ZO,AC.

：OA=OC,

.,.Z0AC=ZC,

.,.ZC=ZO,AC,

；.AB〃OC.

(2)如图⑴，连接OB.

图（I）

•••点B与点。重合，

.*.AB=AO.

又OA=OB,

.••△AOB是等边三角形，

AZBA0=60°.

VAB/70C,

ZP0C=ZBA0=60",

••・弧PC的长为鬻中.

(3)：AB〃0C,

.-.△OCF-AEAF,.-.^.

过点0作AB的垂线，垂足为点H,连接0B.

VOA=OB,OH±AB,

.".All-AB.

2

易证四边形0CE1I为矩形，

,,.HE=0C=-d=5.

2

分以下2种情况讨论.

①当点0,在线段AB上时，如图⑵.

图（2）

VA0l=A0^d=5,0iB=l,

.*.AB=A0,+0,B=6,

；.AH=3,

；.AE=AH+HE=3+5=8,

•..CF_OC_—5.

AFAE8

当点在线段AB的延长线上时，如图⑶.

图（3）

VAO^AO-d=5/0iB-l/

.'.AB=A0-0iB=4/

AAH=2f

.*.AE=AH+HE=2+5=7,

.CFOCS

@类型2旋转问题

5.［2020迁安二模］如图⑴、图⑵，在。0中,0A=l,AB=g，将弦AB与劣弧AB围成的弓形（包括边

界的阴影部分）绕点B顺时针旋转，旋转角为a（0°<aW360。），点A的对应点是A'.

⑴点0到线段AB的距离是_［；NAOB二」^。；点0落在阴影部分（包括边界）时,。的取

值范围是一：（）‘三a三6（）：.

⑵如图⑶，线段A'B交优弧AB于点D,当ZA'BA=900时，请说明点D在A0的延长线上.

⑶当直线A'B与。0相切时，求a的值及此时点A'的运动路径的长度.

解:⑴：12030°Wa<60°

解法提示:如图⑴，过点0作OH,AB于点H,则AH=：AB喙

图⑴

又0A=1,sinNAOI嘿喙

.".ZA0H=60°,

•••°H=°A.cos60»4

VOA=OB,OH±AB,

AZA0B=2ZA0H=120°.

在旋转过程中，当点。在A'B上时,a=Z0BA=30°.

在旋转过程中，当点0在QS上时，过点0作OMLA'B于点M,易得/0BM=30°,此时

a=ZHB0+Z0BM=60°,

a的取值范围是30°Wa<60°.

⑵如图⑵，连接AD.

VZA(BA=90°,

；.AD为。0的直径，

；.D在A0的延长线上.

(3)由⑴易知N0BA=30°.

①当A'B与00相切，且点A,在直线AB上方时,/0BA'=90°,

a=90°+30°=120°,

..•点A'的运动路径的长度为^^==卓.

loUD

②当A'B与00相切，且点A'在直线AB的下方时，

a=120°+180°=300°,

••・点A’的运动路径的长度为噌红-卓.

lol)5

6.[2019唐山路南区一模]在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,0是AD的中点，以点0为圆心，在AD的下

方作半径为3的半圆。，交AD于点E,F.

⑴思考:如图⑴，连接BD,交半圆0于点G,H,求GH的长.

⑵探究如图⑵，将线段AF连带半圆。绕点A顺时针旋转，旋转角为a(0°〈a〈180°).

①设点F到直线AD的距离为m,当m>：时，求a的取值范围；

②当半圆0与线段AB或线段BC相切时，设切点为R,求弧FR的长.（结果保留n.参考数据:sin

49°衿cos410qtan37。乏）

图（1）图（2）

备用图

解:⑴如图⑴，过点0作ON1BD于点N,连接0H,

.E0FD

II1/1

图（1）

则HN=GN.

:四边形ABCD是矩形，

；.AD=BC=8,NBAD=90°,

又•；AB=6,，BD=10.

•.,ZBAD=Z0Nl)=90",ZADB=ZND0,

.,.△ADB^ANDO,

.BDAB.106.„12

..—二—,..—~—v—.

ODON4ON5

XV011-3,AHN-JOH2-ON2^32-(^)2-1,

.•.GII=2UNT

5

⑵①过点F作FQLAD于点Q.

当点Q在线段AD上，且点F到直线AD的距离为狎，有FQ],如图⑵，此时sina3得二a=30。.

当点Q在线段DA的延长线上，且点F到直线AD的距离为弱寸，有FQ],如图⑶，易得a=1502.

故当m>狎La的取值范围为30°〈a<150°.

②如图⑷,当半圆（）与AB相切于点R时，连接0R,则NORA-90°,OR=3.

,.,sinZ0AR=^,/.Z0AR^49°,/.ZF0R=90°+49°=139°,

图（4）图（5）

如图⑸，当半圆0与BC相切于点R时，连接OR,过点0作0PXAB于点P,则0R=3,0R±BC.

易得四边形PBRO是矩形，

3

JBP二OR二3,•二AP=3,・・・cosZPAO-J

；・ZPA0=41°ZR0F=411弧FR的长为/nX3=^n.

18060

综上所述，弧FR的长为哈"或共n.

7.如图,4ABC为等边三角形，边长是4,00为圆形纸片，点P是AABC的高AD的中点.

⑴当点0与AABC的外心重合时，求0P的长.

⑵先将圆形纸片在点P处固定，再将圆形纸片绕点P逆时针旋转，每秒旋转30°.设旋转时间

为t（t=O时点0与4ABC的外心重合），当t=ls时，圆形纸片正好与AC相切.

①求圆形纸片的半径.

②在旋转过程中，圆形纸片被AABC的边AC截得的最大弦长是多少？

③在。0旋转第一周的过程中，请直接写出其与AABC的边有公共点的时长.

解:⑴连接0B,由题易得BD=2,0D=BD•tan30°=|V3.

在RtZXABD中,AD=AB•sin60°=2百.

:点P是AD的中点,•MDS,

.,.OP=PD-ODV3-|V3y.

⑵①当t=ls时,NDP0=30。，如图⑴.设。。与AC相切于点G,连接OPQG,过点P作PH1AC于

点H.

VAP-PDV3,ZPAH=30°,APH^AP-y.

VZDP0=30°=NDAH,；.OP〃AC.

又OG_LAC,PH_LAC,

OG=PH=f,即圆形纸片的半径是今

AA

图(1)图(2)

②如图⑵，当P01AC时，圆形纸片被AABC的边AC截得的弦长最大.

设P0的延长线与AC交于点F,。0交AC于点M,N,连接0M,由⑵可知PF=f,OF=PF-OP=^-^-^.

在RtAMOF中,MFJ()M2-OF2J(f)2_(?)2T

由垂径定理可知MX-2MFjV6,

即圆形纸片被△ABC的边AC截得的最大弦长是|V6.

③在00旋转第一周的过程中，其与△ABC的边有公共点的时长为10s.

解法提示:分析题意，可知O0分别与AC,AB有2次相切.

由①可知。。第1次与AC相切时，旋转角为30°,t=ls,

根据对称的性质可知。。第2次与AB相切时,/DP()=3O°,此时旋转角为330°,1=11s.

ll-l=10(s),

故在。。旋转第一周的过程中，其与aABC的边有公共点的时长为10s.

8.[2019张家口桥东区一模]如图⑴，在△OAB中,OA=OB=1O,点P在0A上，且0P=6以点0为圆心、

0P的长为半径画弧，交0B于点P'.

将扇形POP'绕点0逆时针旋转，旋转角为a(0。WaW360。)，连接AP,BP',如图⑵.

发现:直接写出AP,BP'的数量关系.

探究:若/A0B=80°.

⑴当扇形POP'旋转到点0的左侧，且0P〃AB时旋转角a=31()°.

⑵当扇形POP'旋转到点0的右侧，且AP与即'相切时，求BP'的长.

⑶若点Q是於'上任意一点，在扇形POP'绕点0逆时针旋转的过程中，当aAQQ的面积最大时,

直接写出/BOQ的度数.

延伸:若NA0B=90。，当A,P,P'三点共线时，请直接写出线段BP'的长.

解:发现:AP=BP'.

解法提示:当a=0。或180°时，点A,P,0共线，易得AP=BP'.

当aWO。或180°时，由旋转的性质可知/AOP=NBOP',OP=OP',

又OA=OB,AAOP^ABOP',.\AP=BP，.

探究:⑴310

解法提示:如图(l),：0P〃AB,；./A0P=N0ABqa80°-NAOB)=50°,故旋转角

a=360°-50°=310°.

(2)如图(2),TAP与G相切,；.APJ_OP,即△AOP是直角三角形,；.AP=JOA2-OP2=8,，BP'=8.

(3)10°或170°.

解法提示:由题意可知点Q是O0(以点()为圆心、0P的长为半径)上的点，

如图⑶，当0Q10A时,ZXAOQ的面积取最大值，

当点Q在点0的右侧时，记为Q',OQ」AO,NAOQ'=90。，

AZBOQ'=ZA0Q，-ZA0B=10°；

当点Q在点0的左侧时，记为Q"±AO,ZBOQW=ZAOB+ZADQ"=170".

延伸:限-3或或我23V2.

解法提示:如图⑷，当点A,P,P'共线,且扇形POP'在0A右侧时，过点0作OCLAP',垂足为点C,

易知OC=PCgpP'=3夜.

由勾股定理得OAWK^+AC2,

即10=(3近)+(AP+3企)：

解得；\上假-3或(负值已舍).

.*.BP'-V82-3V2.

如图(5),当点A,P',P共线,且扇形POP'在0A左侧时，同理得AP'=短-3短则AP=AP'+PP'=

V82-3V2-6V2V82+3V2,

.,.BP'V82+3V2.

p

⑥类型3动点、动线、动圆问题

9.[2018河北25]如图，点A在数轴上对应的数为26,以原点(记为0)为圆心、0A的长为半径作

优弧AB,使点B在点0的右下方，且tanNA0B=|在优弧AB上任取一点P,且过点P作直线1//0B,

交数轴于点Q,设点Q在数轴上对应的数为x,连接0P.

⑴若优弧AB上行的长为13n，求NA0P的度数及x的值；

⑵求x的最小值，并指出此时直线1与知所在圆的位置关系；

⑶若线段PQ的长为12.5,请直接写出此时x的值

备用图

解:⑴由题意知,0A=26,设NA0P=aJjH|瑞X26=13",解得a=90°,

.,.ZA0P=90°.

；PQ〃0B,，Z0QP=ZA0B,Z.tan/0QP二言急，

解得0Q音,，x哆

⑵易得当直线1与。0相切，且切点在数轴下方时,x的值最小，如图(1).

解得PQq,；•0Q力OP?+PQ2=拈2+号)2号,

.-.X的最小值为一果此时直线1与a所在圆相切,且切点在数轴下方.

(3)x的值为31.5,-16.5或-31.5.

解法提示:分以下三种情况讨论.

①如图⑵，当点P在点0右上方时，过点P作PM±OQ于点M,

图⑵

x=-16.5.

③如图⑷，当点P在点0左下方时，过点P作PM1OQ于点M,

PM4

•・•PQ//OB,・•・ZMQP=ZAOB,AtanZMQP=——

MQ3(

型/芈PM=10,MQ=7.5,

PQ5'PQ5'''

Z.OM-JOP2-PM2-24,/.OQ=OM+MQ=24+7.5=31.5,

x=31.5.

②如图⑶，当点P在点0左上方时，过点P作PMJ_OQ,垂足为点M.

PM4

・・•PQ//0B,・・・ZMQP-ZAOB,・'・tanNMQP二

・•・型-丝旦二„战二7.5,

PQ5'PQ5'

/.0M--IOP2-PM2=24,/.OQ=OM-MQ=24-7.5=16.5,

•・・PQ〃OB,・・・NMQP=NAOB,

.,.PM=10,MQ=7.5,.\0M=OP2-PM2=24,

・・.0Q=OM+MQ=24+7,5=31.5,.・.x=-3L5.

10.［2019河北,25］如图，在。ABCD中,AB=3,BC=15,tan/DAB=g.点P为AB延长线上一点，过点A

作切CP于点P,设BP=x.

⑴如图⑴,x为何值时，圆心0落在AP上?若此时。。交A1）于点E,直接指出PE与BC的位置关

系.

⑵当x=4时，如图⑵,。0与AC交于点Q,求/CAP的度数，并通过计算［:瞰弦AP与劣弧PQ长度

的大小.

⑶当。0与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围.

解:⑴。0切CP于点P,圆心0在AP上,

.,.OP1PC,BPZCPB=90°.

•••四边形ABQ)是平行四边形，

，AD〃BC,；.ZCBP=ZDAB,

4

tanZCBP-tanZDAB--.

3

设POlkMFk厕BC=，PC?+BP2=5k,

・・・5k=15,BPk=3,.\BP=9.

故x=9时，圆心0落在AP上.

PE1BC.

解法提示:..•圆心。落在AP上，

・・・AP是。。的直径,NAEP=90°,即PELAD,

又・.・AD〃BC,

.,.PE1BC.

⑵如图⑴，连接0P,如，分别过点C,o作AP的垂线，垂足分别为点K,H,

易得CK=12,BK=9.

VAK=AB+BK=12,ACK=AK,

AZCAP=ZACK=45°.

I7

-Al"-.

'22

VPK=5,CK=12r

APC=13.

VZH0P+Z0PH=90o=NCPK+NOPH,

:.ZH0P=ZCPK,

又/OHP二NPKC=90°,・,・RtZxH()PsRt^KPC,

7

.£聋即生=J_,；.0P空

PCCK131224

91

907TQI-rr

：/P0Q=2NPAQ=90。，；♦尻二苛罟

图⑵

(3)x>18.

解法提示如图⑵，当OOWAD于点A时，连接0AQP厕OA±AD,.\Z0AD=90°,

/.Z0AP+ZDAP=90°,

又•..N0PC=90°,，N0PA+NCPA=90".

,/OA=OP,.,.ZOAP=ZOPA,

/.ZDAP=ZCPA.

又,:ZCBP=ZDAP,.,.ZCBP=ZCPB,

?.BC=PC.

过点C作CK±AP于点K,则KP=BK,易得BK=9,

.■.BP=2BK=18,gpx=18.

故当x218时,。0与线段AD只有一个公共点.

11.[2020石家庄桥西区质量监测]已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,OC与对角线BD相切，点P

为。C上一个动点.

⑴如图⑴，求。C的半径；

⑵如图⑵，连接AP,PC,AC,AP交OC于点Q,若sin/PAC=^，求NCPA的度数和劣弧PQ的长

⑶设点P到直线AC的距离为d,当0<dW?时，请直接写出ZPCA度数的取值范围.

图⑴图⑵备用图

解：(1)在矩形ABCD中,CD=AB=4,BC=AD=3,/BCD=NA=90°.

如图，设OC与BD的切点为H.连接CH,则CH1BD.

在RtAABD在由勾股定理得,BDRAD2+AB2=5.

,・c_CHBDCDBC

•、△仲I--------,

A5CH=4X3,

.•.CH吟即。('的半径为蓝.

⑵连接CQ,过点C作CMLAP,垂足为点M.

易知AC=5,

...sinZPAC=~CM~CM=——6>/3,

AC525

/.CM--.

5

6-

在RtACPM中,sinNCPM普号亭

ZCPM=60°,gpZCPA=60°.

又〈CP=CQ,

AACPQ是等边三角形，

AZQCP=60°,

，劣弧PQ的长为瞥片.

loU5

(3)0°〈/PCAW60。或120°WNPCA<180".

12.如图，扇形A0B的圆心角是直角,0B=7,点C是弧AB上一点，点D是射线0B上一点，连接

CD,0C,CD=4,以CD为直径在CD左侧作半圆E.

⑴当半圆E与0B相切时,0D=_博_；

⑵当半圆E与射线0B有两个交点时，设另一交点为点F,当弧FD的长度等于x时，求点C到

0B的距离；

⑶当等腰三角形0CD的内心、外心与其一个顶点在同一条直线上时，求cos/COD的值.

解:⑴原

解法提示:分析可知，当半圆E与0B相切时,CD_LOB,

.•.()【)=JoC2-CD2j72-42V33.

⑵连接EF,则EF=2.

设NFED=a，则甯=n,

a=90°,即NFED=90°.

XVEF=ED,.,.ZEDFM5e.

连接CF,则/CFD=90°,

.•.ZFCD=ZFDE=45°,

.,.CF=DF=-yCD=2V2,

故点C到OB的距离为2y[2.

⑶根据等腰三角形的内心、外心与其顶角顶点在同一条直线上，讨论即可.

VOC^CD,

..•分两种情况讨论.

①如图⑴，当0D=0C=7时，点D与点B重合，此时等腰三角形OCD的内心、外心与顶点0在同一

条直线上.

连接CF,则NCFD=90°.

设()F=x,则BF=7-x.

,.,OC--OF-=CD2-BF2,

7"-X2：=42-(7-X)2,

解得x哼

.•.cosNCOD嘿合

②如图⑵，当OD=DC=4时，此时等腰三角形OCD的内心、外心与顶点1）在同一条直线上.

设半圆E与OC交于另一点H,连接HD厕/DHC=90°,

OH=CH=iQC=^,cosZC0D=^=^.

22OD8

综上所述,cosNCOD的值为9或（

498

13.[2020唐山路北区三模]已知在扇形AOB中,/AOB=120°,半径0A=0B=8.

⑴如图⑴，过点0作OEJ_OB,交弧AB于点E,过点E作EF10A于点F,则F0的长为

ZFE0的度数为60。.

⑵如图⑵，点P为弧AB上的动点，点M,N分别在半径OA,0B上，且PM，OA,PN_LOB,连接MN.

①求点P运动的路径长.

②MN的长度是否为定值?若是，请求出这个定值;若不是，请说明理由.

⑶在⑵的条件下，若点D是△PMN的外心，直接写出点D运动的路径长.

解:⑴4百60°

解法提示•••OE±OB,.IZB0E=90°.

XVZA0B=120°,

AZAOE=30°.

VEF10A,

，NEF0=90°,

AZFE0=90e-30°=60°.

•.•0E=0B=8,

A0F=0E•cos300=4代.

⑵①点P在弧AB上运动，其路径也是一段弧，由题意可知，

当点M与点0重合时,NPMB=30°,

当点N与点0重合时,NPNA=30°,

；•点P运动的路径所对的圆心角是120°30°-30°=60°,

•••点P运动的路径长为誓子.

loU5

②是定值.

连接P0,取P0的中点H,连接MH,NH.

在RtAPMO和RtAPXO中，点H是斜边P0的中点，

.,.MH=NH=PH=OH=ipO=4,

2

.♦.点P,M,0,N在以点H为圆心,4为半径的圆上，

.,•ZMPN=180°-ZM0N=180°-120°=60°,

/.ZMHN=2ZMPN=120".

过点H作IIKLMN于点K,

由垂径定理得MK-K\-抑.

在RtAHMK在NMHK=i/MHN=60。，MH=4,

.,.MK=2V3,

/.MN-2MK-4V3,

•FIN的长度是定值.

⑶由⑵易知，点D为0P的中点

.\0D=PD=4,

•••点D的运动路径是以点0为圆心,4为半径的一段弧.

•••点P运动路径所对的圆心角度数是60°,

二点D运动路径所对的圆心角度数是60°,

•••点D运动的路径长为誓一?.

14.如图,AB=4,BC=6,BC_LAB,以BC为直径作半圆0,使半圆0与点A在BC的异侧，射线PQ从点P

与点A重合的位置开始沿射线AB方向移动，已知/APQ=60°（点P与点A重合时除外）.

⑴在前上取一点M,则点M到点A的最小距离是i,最大距离是8；

⑵已知点D为航的中点,当射线PQ经过点D时，求或被射线PQ截得的你的长；

⑶设AP=x,若射线PQ与前有且只有一个公共点，求x的取值范围.

解:⑴48

解法提示:当点M与点B重合时,MA最短，为4；当M,O,A三点共线时,MA最长，此时

MA=0A+0M=A/42+32+3=8.

⑵如图⑴，连接OD.OE.

图⑴

为优的中点，

.,.ZC0D=ZB0D=90°.

VBC1AB,

；.OD〃AB,

,•.Z0DE=ZAPQ=60°.

又•；OD=OE,

.'.△ODE是等边三角形，

.,.ZD0E=60°,

.・库的长为喏f

⑶如图⑵,当射线PQ过点B时,AP=AB=4.

如图⑶，当射线PQ过点C时在RtABPC中,BpqBC=2VI,

；.AP=4+2百.

如图⑷，当射线PQ与R相切时，设切点为'连接()\()P,则0N=0B,Z0NP=90°=Z()BI),

又OP=OP,ARtAOBP^RtAONP,

二/BP*/BPQ=3O°.

2

在RtABOP中,BP-b()B=3百，

.".AP=4+3<3.

故当射线PQ与仅有且只有一个公共点时,4Wx<4+2g或x=4+3V3.

15.[2020石家庄一模]如图⑴，在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点P是线段AD上的一个动点.以点

P为圆心,PD的长为半径作。1>,连接CP.

⑴当OP经过PC的中点时,PC的长为」百_；

⑵当CP平分/ACD时,试探究AC与0P的位置关系,并求出PD的长；

⑶如图⑵，当。P与AC交于E,F两点且AF=9.6时，求点P到AC的距离.

BC

图⑴图⑵

解:⑴6追

解法提示：：OP经过PC的中点,.-.PC=2PD.

设PD=x，则PC=2x.

在RtACDP中,PCJPD'+