2021年中考数学综合题冲刺21 因动点产生的等腰三角形问题（拔高）（含答案及解析）

专题21因动点产生的等腰三角形问题（提优）

1.如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别是），轴正半轴，x轴正半轴上两动点，0A=2k,OB=2k+3,

2

以AO,BO为邻边构造矩形AOBC,抛物线），=-5x+3x+&交），轴于点D,P为顶点，轴于点M.

’•（1）求0。，P例的长（结果均用含&的代数式表示）.

（2）当时，求该抛物线的表达式.

（3）在点A在整个运动过程中，若存在△AOP是等腰三角形，请求出所有满足条件的女的值.

【分析】⑴点。在产-#+3x+k上，且在），轴上，即y=0求出点£）坐标，根据抛物线顶点公式，求

出即可；...*一.V.Vw

（2）先用人表示由相关的点的坐标，根据建立方程即可:二..二,、

（3）先用左表示出相关的点的坐标，根据△4。尸是等腰一角形，分三种情况，AD^AP,DA=DP,PA

=尸。计算；'','''»

【解答】解：（1）把x=0,代入产一%2+3户上

•：・y=k.

：.OD=k.

4ac-b24x(-^)/c-32

=攵+3,

4a4x(-}

：.PM=k+3；

(2)由抛物线的表达式知，其对称轴为x^2,

'll■♦.

：・0M=2,8M=O8-OM=2k+3-2=2k+l.

又・.・尸例=奸3,PM='BM,

*,•&+3=2k+11

解得k=2.

，该抛物线的表达式％\=-薪2+3犬+2；

.(35①当点P在矩形AOBC外部时，如图1,

,过P作。KJ_O4TT点K,砥AD=AP时，・

：：AD=AO-DO^2k-k=k,

，A£)=AP=A,KA^=KO-AO=PM-AO=k+3-2^=3-k.

,“1I”**/f.，，i；，*

KP=OM=2,在RtZ\KAP中，KA2+KP2=AP2

••.(3-&)2+2-2,解得上半

♦••

,应)当点P在矩形AOBC内部时

当PD=AP时,•过户作PHA.0A于H,‘'

Ab=k,HD=块,HO=DO+HD=,

4।1•

又,：HO=PM=k+3,

3k

一"=%+3,

2•-..

解得k=6..

,当DP=DA时，仓Z)作PQLPM于Q,

PQ=PM-QM=PM工OD=k+3-k=3

■«4

DQ=0M=2,DP=DA=k,

在RtADgP中，DP=JDQ2+PQ2=V22+32=V13.・

：.k=PD=4Y3,

菽仁里或6或vn：^.‘.''''

□

【谒评】此题是二次函数综A题，主量考查了软函数解析式的碓定，平面坐标系中求线段的长，等腰

a

三角形的性质，使定出函数解析式是解本题的关键，解(3)是本题的9点.

2.如图，在aABC中，A8=AC=2,ZB=40°,点。在线段BC上运动1不与点B,C重合)，连接A。，

作/4OE=40°,OE交线段AC于点E.

(1)当N8D4=115°时，ZCDE=25°,NAED=65°,当点。从点B向点C运动时，NCDE

逐渐变大(填''大"或“小”)；

(2)当。C等于多小时，△AB。丝ZWCE?请道明理由；

(3)在点。的运动过程中，是否存在△4£>E是等腰三角形？若存在，请求出此时NBZM的度数；：若不

存在，请说明理由."丁：1'九.

【分析】(1)根据等施三角形的性质求出NC,粗据平角的定义求出/。)自根据二角形的外角性质耒

出NAED,彳导至塔案；

(2»根据三角形全等的AAS定理证明△ABD四△DCE；»

(3)分D4=DE、AD=AE,EA=EZ7三种烤况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可..

【解答】解：(1/：AB=AC"/8=4O。"，'

.•.ZC=ZB=40°，

?ZBDA=115°,

.,.^CDE=1800-ZBDA-ZADE^25°,

.•.44ED=NEOC+)C=&5°,

当点D从点B而点、C运动时•，ZBDA逐渐变小，

.•.NCQE逐渐变大；.f.

故答案为：：25；65：大：

(2)当OC=4B=2时，△ABD丝△£>€>£-

■♦♦,

•理由：VZC=40°■

：.ZDEC+ZEDC^140°,；a»>.>

VZADE=40°\

ZADB+ZEDC=\40°,

:.ZADB=/DEC,

»•［、,,•［、•・［、

,在△A3。和△£>&中，,.:

(/ADB=NDEC'

I«

'乙B=LC，

=DC

：./\ABD^ADCE(/LAS)；.

*(3)'当/BD4的度薮为110。或80。时，ZUbE的蓝状是等腰三角形，

当£>4=DE时：/加E=/DEA=70。「工、

：：ZBDA=ADAE+ZjC=1^°+40°=110°;f.

f—［."K,一

当AD=AE时，，NAED=NADE=40°.,

・・・NQAE=I(X)L,

■••

•-此时，点。与点M会合，♦不合题意；.■.-

当EA=EC时,.ZEAD=ZAD£=40°/C*t>'>

；.NAED=100>,.—:''.-；,

d——、.」-“J/J/.

；.EDC=ZAED-/C=60.，

.•./BD4=180。-40°-60°=80°

,.综上所述，‘当NBD4.的度数为“110°或80°时、ZXAQE/形状是等腰三僻..

【点评】本题老查的是全筹三角形的判定：,腰三角平的性质、三角形内角和定覆，掌握全等三角形的

判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键..

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a/+bx+c交x轴于点A(-4,0)、B(2,0),交y轴于点C

(0,6),在y轴上有点E(0,-2),连接AE.

(1)求二次函数的解析式；

(2)若点。为抛物线在x轴负半轴上方的个动点，设点。的横坐标为成，△AOE的面积为S,求S

关于，”的函数解析式，并写出机的取值范围；

(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若

不存在，请说明理由.

A

(2)由S=S^DHA+S^DHE=*xDHX0A,即可求解；

(3)分PA书PE、PA=PE.PE=AE三种状况，分别求解即可.

【解答】解：(1)设抛物线的表达式为y=a(产4)&-2),

将点C的坐标代入E式得：6=”(0+4)C0-2),解得“-1

4

故抛物线的养达式为，=―,(x+4)(x-2),

.*

即y=-1x2-1x4-6：

.(2)设直线AE的表达式为y=kr+/,则｛;二二产+。解得f=-2,

过点。作y轴的平行线交AE•于点H,

则S=S""A+S"〃£=2x£WX0A=*(一32—驯+6+排+2)X4=—1m2-2/w+16(-4</7?<O)；

(3)存在，P点的坐标为：(-1,1),(一1,±V11),(-1,-2±V19)；

由y=—-|x+6知，抛物线的对称轴型！=-1,.：，

设P(-1,〃)；又E(0,-2),4(-4,0),

可求PA=V9+n2,PE=Jl+(n+2)2,AE=:16+4=2瓜'

当24=PE时，V9+n2=Jl+(n+2)2,-

.解得，n=l,此时P(-1,，

当PA=PEH寸，V9+n2=V16+4=2西，.

解得，n=±VL此时点P坐标为(一1,±Vil),•'；.

当PE=AE时，Jl+(ri+2尸=V16+4=2收

解得，n=-2±V19,此时点P坐标为.-2土内)

(-1«,-2V19),»/•'•

综上正述，P点座标为：(7,1)或(-1,±711)或(-1,-2±V19).

【点评】本题考查的是二次函数综合运用：涉及到一次'函数的性质、等腰三角形的‘性质、面积的评算等，

其中(3),要注意分类求解，,避免遗漏.f.f.

4.直线AB：y=-x+b分别与x,)，轴交于A(8,0)、8两点，过点B的直线交x轴负半轴于C,且OB：

OC”3.

,(1)写出点8,C的坐标：B(0,8)；C(-6,0)；

(2)求直线灰?的解析式;，

(3)在x轴上是否存在点"，使△BCM为等腰三角形？若存在，请求出加点坐标，；若不存在，请说明

【分析】(1)根据待定系数法，可得A8的解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值；根据O&OC

=4；3,可得OC的长，即可求解；

(2)根据待定系数9，/得函数解析式;.：*

'(3)根据等腰三编影的定义，分MC=BC、MC=MB.8c=BM三种僭说，分别求解即可.':'

【解答】解：(1)分别与x轴交了A邛、0),彳导：-8+6=0.解得匕=8；,

即函数解析式为y=-x+8,

当x=0时；j=8,

B点坐标是（0,右），

VOB：OC=4：3,。8=8,得8：OC=4：3,f

解得OC=6,"

即C（-6,0）,^

•故答案为0，8；V6T0；

.«_j•IR-**">■■—-3—*■I/d.j\■

（2）设直线8c的解析式为：，=履+6,图象经过点8,C,得已短，=o，

解得卜=百，~~

3=8

直线8c的解析式为忻如8；"w.v

（3）设M点巫标（m0）,点。（-6,O,），•♦:^.士

'J，tf.—*Mr--”

而BC=>JOB2+CO2=10,

①当MC=8C=10时，

•.则/M（4,0）或£-16,0）：,

②当MC=M8时;，“不二"伊，即（a+6）2=/+82,--…’

解得”♦..£T、、［./•・.，

ft

7

即M（-,0）；

③当BC=BM时，得0C=0Af=6,

故点M（6,0）.■一

7

绘上所述：点血的坐标为,（4,0）或（-1日0）或,（-，0）或（6,%）.

3

【‘点评】考查/一次函数综占题，（1）利用待定系数法条函数解析式，自变量的值£函数值的对应关系;

«•'

（2）利用待定系数求函数解析式；（3）利用等腰三角形的判定，.分类讨论是解题关键.?

5.如图所示，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2,0）,点B坐标为（3,1）,将直线AB沿x轴向左平

移经过点C（l,1）「

（1）求平移后直线乙的解析式；

（2）若点P从点C出发，沿（1）中的直线L以每秒1个单位长度的速度向直线L与x轴的交点运动,

点。从原点。出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向点A运动，两点中有任意一点到达终点运动即停

止，设运动时间为人是否存在3使得△0P。为等腰三角形？若存在，真接写出此时，的值；若不存在,

请说明理由.

【分析】（1）求出直线AB的表达式为y=x-2,则设抛物线抛物线的表达式为丫=工+5,将点C的坐标代

入上式得：l.=l+s,解得s=0,即可求解；

♦♦•♦

-（2）分OP=OQ、OP=PQ、OQ=PQ利用等腰三角■形的性质，分别求解即可J

,［解答］解：（7J没直线AB的表达式为yJlr+4则｛:1;C解露

f.故直线AB的表达式为y=x.2,

设抛物线抛物线的表达式为y=x+s,

将点C的坐标代入上式得：1=l+s,解得s=0,

••♦•

；,•"故直线L的表达式为勺=；；

•.①WoP=OQ时，即/一f=2z,解得/=¥；_

当OP=PQ时,,则点P在。。的中垂线上,,故点P的坐标为（r，力.）»

则.0P=y［2t=V2-t,解得t三2-五：

当OQ=PQ时，则△OP。以/P。。为•直角的等腰直角三角形，’

则0P=\[2OQ=Q,y[2t=V2T,解得/=写2,

>/2-4-V2

故”的值为—、2—鱼、----•.

37

【点评】本题考查的是一次函数综合运论，涉及到一次函数的性质'、等腰三角形的性质、图形拓平移等，

其中(2),要注意分类求解，避免遗漏..

6.如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上任意一点(点尸不与8、C重合)，连接”，作P。，"，衣

CD于点、Q,若A6=6,8c=8.

(1)试证明：XABPsMCQ；

(2)当8P为多少时，CQ最长，最长是多少？

(3)试探究，是否存在一点P,使△AP。是等腰直角三角形？

【分析】(1)证明NAP8=/PQC,即可求解；

-(2)XABPs4pc?、则而=而，则CQ=-#+Jr，进而求解；

(3)ZXAPQ是等飕直角三为形，则以=PQ,、故△ABg/XPCQ(44S),进而求解.

【解答】解：(1)-：PQLAP,

/4PB+NQPC=90°,

而NQPC+/PQC=90°,

/./APB=NPQC,

；NA5P三/尸。2=90°,

4ABPs盘垃；

(2)V/^ABP^^PCQ,

.CQPCCQ8-x

..—=—,艮］—=----,*

BPABx6

则CQ=一*+%=一"(x-4)2+|>

8

故当x=4时，CQ的那大值为1

即8P为4时,，GQ年长，单长是*

（3）•••△AP。是等腰直角三角形，则，弘=PQ,

而△A8P3△PC。，

.贝以8。丝△PC。（AAS）,

：.AB=PC^6,.

则8尸=8-6=2,

即BP=2时，是等腰直角三角形.

【点评】本题超三角形相似综合题，涉及我等腰三角形的性质、二角作全等等，看一定综合'性；度适

中.•

7.综合与实践：如图1,ZVIBC中，A8=AC,BDJ_AC于点。，BD-=Scm£CD：AD=2：3；如图2,在

图1的基础上，动点P从点A出发以每秒2c〃?的速度沿线段A8向点8运动，同时动点。从点C出发以

相同速度沿线段CA向点A运动，当其中一点到达终点时另外一点也随之停止运动，设点P运动的时间

为f秒.

（1）请直接写出AB的长：AB=10cm；

（2）当△PCQ的其中一边与8c平行时（。与。不重合），求f的值；

（3）点P在线段A8上运动的过程中，是否存在以为腰的△孙。是等腰三角形？若存在，请直接写

出/的值：若不存在，请说明理由.

【分析】（O设AB=4C=5x,根据勾触定理列出方程,解方程窿到答案；

（2），分PD/IBC、PQ〃BC两种情况，根据平行线的性质计算；

73）分AP=AD、两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算;

【解答】解：（1）设A3=AC=5工，

,-•■

VCD：40=2：3,

:•CD=2x,AD=3xr

在RtAABD中，，，82=802+4。2,即，㈠X)^=82+-(3%)2

M得，x=2,1

•*•AB=5x=10,

故答案为：10;

(2)由(1)•可知，A£>=6,CZ)=4,

由题意得，AP=2f,"c2=Z,

：.AQ=J0-2t；.'

当，PQ〃8c时，AP=A£>=6/

：.t=3),

当股〃BC时，枭=塞喘=10-2t

10

解得，仁宏

综上所述，当也「。。的其中丁边与8c平行时，f=3或1

(3)当AP=AD=6时，t—3,

当OP=D4=5时，如备用图，作£>E_LA8于E,

.则AE=EP=t,

在Rt^AED中，AD1-4/=正，•

在RtZ\BEO中，BD2-B^=DE2,

：.Arr-AE1=BD2-BE2,即62-?=82-(10-t)2,

解得，/=3.6,〜

综上所述，尸3或3.6时，△布。是以A£>为腰的等腰三角形.

【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质、灵活运用分情况讨论思

加是解题的关竟「

8.已知：二次函数丫=/+公+。的图象与x轴交于A,B两点，其中A点坐标为(3,0),点C的坐标为

（-2,-3）,且在抛物线上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在动点M,使△MAC是等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标，若

不存在，请说明理由.

【分析】（1）.用待定系数法即可求解：

（2）'分AM=CM、AM^AC.CM=AC三种t嬴，列出函数表达式即可嬴军.

■■—*（

【解答】解：⑴将点A、C的坐标代入钿物线表达》得：纥；，■

解得：9二2〜'，'、'

lc=—3

...抛物线的表达式为：y=）+2r-3；

••♦.»

（2）存在，理由；•,­,

由（1）知，抛物线的对称轴为X=-1,

设点M（-1,加），，&4、C的坐标分别为：（-4,0）、（-2,-3）,

则4庐=4+/，CM2=1+（利+3）2,AC2云1+9=10,

•当4M=CM时，4+川=1土（/3）2,.解得：m=-1；，

•一/j*J*...FP*J•

当AM=AC时，.同理可得：m=网或一显；

，当CAf=A。时，同理可得：〃7=0或-6（-6）；.r

综i,点M坐标为：T-1,-I）或（-I,V6X或（-I,-V6）或（-1,0）.

*•■

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、待定系数法求函数表达式等，其中（2）,

要注意分类求解，避免遗漏..

9.已知抛物线y=aP+〃x+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，直线/是抛物线的对称轴.

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点尸是直线/上的一个动点，当△BAC的周长最小时，求点尸的坐标以及这个最小周长；

（3）在直线/上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐

标；若不存在，请说明理由.

(2)点A先于函数对称轴的对称点为戌B,连接BC交函数对称轴于点P,则点P为所求点，即可求解;

(3)分AC=CM、1C=AM、CM=AM三种襦灰,分别求解即可.:

【解答】解：⑴嘴4(-1,0)、.B(3,09、、C(0,3)代入抛物线户”+灰+i•中，

(a—b+c=0♦(a=­1

则9Q+3b+c=0,解得b=2

c=3(c=3

故理物线的解析式是y=-f+3+3；

'⑵由抛物线的就i式知；函数的对称轴为这线后-点=1；

点)关于函数对称轴的对称&为点B,连接BC交函数对称轴于点P,则点,P为所录点,

I,

理由：ZiBAC^]J^^:=AC+PA+PC=AC+PB+PC=AC+BC为最小,

设直线BC的表达式为y=sx+f,则｛;[j+t,婵得｛；1『，

故直线BC的表达式为y=-x+3,

当x=1时，y=:1+3=2,故点P(1,2)；

则△必C的周长城小值=AC+8C="2+3233位=V10+3V2：

由点4、C、M的坐标知，4c2『］o,CM2=?n2-6w+10,AM2=4+m2

①当AC=CM时，10=zn2-6/n+10,解得：zn=O或团=6(舍去)，

②当AC=4W'时：；0=4+/，解得：m=或nz=-A/6,

③当CM=AAf时，加2-6〃z+i0=4+〃/，解得：“7=1,

检验：当加=6时，M、A、C三点共线，不合题意，故舍去：＞•

综上可知，符吝条件的M点有4个，.

•,,■»・»•

M坐标为(1,0)、n,V6),(1,-V6)."

【点评】考查了：次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确鼠噂腰三箱形的判定等知效，在

判定等腰三角弦时，:定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解.

,力/*力

10.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A,8分别在x轴与y轴上，已知

OA=2,08=4,点。为y轴上一点，其坐标为(0,1),点P从点A出发以每秒I个单位的速度沿线段

AC-CB的方向运动，当点P与点8重合时停止运动，运3)时间为f秒.

(1)当点尸经过点C时，求直线QP的函数解析式；

(2)①求△OPD的面积S关于r的函数解析式；

②当点。关于OP的对称点落在x轴上时，求点P的坐标;

(3)点P在运动过程中，是否存在某时刻使△BQP为等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标，

若不存在，请说明理由.

【务析】⑴设直线分尸解析式为y=5+b,将力与B4标代入率出人与人的值，亩可确定中解析式;'

(2)①当尸在AC段时，=角形底。。与高为固比值，求出此时面积；当日在8c段时，底边。。

为固定值，表示出高，即可列出S与/的关系式；.,

②当。关于0P的将称点落在x轴上一时，直线为,y=x,求出此时P星标即质；

'(3)存在，分别以、BD,DP,BP为底边二种情况考虑，利用勾股定理坡囱形与坐标性质求出P坐标即

可：，，二,「；,二，‘，

【解答】解：(1)设此时直线DP解析式为y=kx+h,

3•,

(k=；2,

则此时直线DP解析式为产|x+l；

'frziz'

(2)①当点P在线段AC上时，0。=1,高为。1=2,5=~xlX2=l；

当点P在线段8C上时，0。=1,高为2+47=6-3S=^xlX(6.)=-%+3,

1(0<t<4)-

收S=|+I(4〈t46)]♦：)，(».二》「

②当点。关于。尸的对称点落在x轴上时，。对称点为,(1,0),此时直线。「为丫=工，

当x=2时，y—2,

则此时点尸的坐标是(2,2)；

,(3)存在，理由为？

①当BD=BPi=OB-。。=4-1=3,

在RSCPi中，BD=3,BC=2,

根据勾股定理得：CPi=V勾-22=四,

；.APi=4一前，即尸i'(2,4-V5)；

②当8P2=Z)P2时，此时P2(2,2.5)；

③当DB=DP3=3时，

在Rt2\DEP3中，DE=2,

根据勾股定理得:尸3E=呼=斗=、

.".'AP3=AE+EP3=V5,+1,即,0(2,V5+1),.J*.'/<f,

综上，满足题意的尸坐标为(2,2.5)或(2,西+1)或(2,4-V5).

【点评】此题属学一次函数综合题，涉及的“知识有：待定系数法确定:次函数解析式，坐标与图疝生质，

'等腰三角形的性质，幻股超理，利用了分类讨论的思:想，熟练掌握待定系数法庭解本题第一问的关键t

11.如图，把矩形0ABe放入平面直角坐标系xOy中，使OA、0C分别落在X、)，轴的正半轴上，对角线

AC所在直线解析式为)，=—|x+15,将矩形0A8C沿着B£折叠，使点A落在边。。上的点。处.

(1)求点E的坐标；

(2)在y轴上是否存在点尸，便APBE为等腰三角形？巷存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请

说明理由.

【分析】(1)由直线解析式求出点A,C的坐标，可由勾股定理求出CC的长，设力E=A£=x,'在RtA

DE。中，得出/=32+(9-%)2,解方程求出4E=5,则点E的坐标可求出；

(2)aPBE为等腰三角形，可分三种情况：PB=BE或PB=EP或BE=EP,分别建立方程求解即可.

【解答】解：(1)../C所在直线解析式为y=：|r+15,

，.令x=0,>'=15,*4,y=0.P!iJ-|x+15=.0；解得x=9.

.•.月(9.0),C(0,15),夕(9,15),.J/*/z

•将矩形QABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处.

...在RtZ\BC。中，BC=9,BD=AB=\5,

­______________

・・・CD=y/BD2-BC2=V152-92=12,

：.0D=\5-12=3,'

设DE=AE=x,

在Rt/\DEO中，•/DE?=OD2+OE2,

.,.^=32+(9-x)2y

：x=5,

：.'AE=5,,

*jp**

・・・0E=4,

：.E(4,0)..

••⑵设P(0,w),***V

：：B(9,15)；©(4,0),,

：.PB2-(9-0)2+(15-in).2=〃/-305+306,B£2=52+152=250,E户=16+"P”

Jr#*Vw.♦•

•：/\PBE为等腰三角形，

①当PB=8E时，

_-APB2=BE2..•".1’.

,,.'.m2-30/n+306=250.

---»•」•'」

：.m—2或m—28,

：.P(0,2),或(0,28),.

②当P8=EP时，

:.PB2^EP2,

))r-30n7+306=16+m2,

③当8E=EP时，BEi-=EP1,

♦<♦*«.广:r:♦

一**250=16+/w2,ww.v

；.m=+3V26,'•.\•,.\■,

.•.尸(0,3V26)或(0,-3俄)，

综合以上可得，点P的坐标为(0,2)或(0,28)或(0,—)或(0,3V26)或(0,-3V26).

3

【点评】此题是二次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征；两点间距离公式，折叠的存质，

勾股定理，等腰性角形的性质,.用方程的谢以解决问题是解本题的荚键：

1C

12.如图，已知抛物线)，=一#2+法+4与X轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为

A(-2,0).

.(1)求抛物线的解析式；

•/»*x•x•MT*♦.♦

(2)求线段BC所在直线的解析式；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点尸，使aACP为等腰三角形？若就在，求出符合条件的尸点正标:

若不存在，请说明理由.

【分析】(将代入抛物线的解析式即可求得答案；.

>1).A(-2,0)>>♦

(2)先求得点8、点C痴9标，利用待定系数袪即可求得直线BC的解析式；’

•(3)设2(2,”二然后表示出△ACP的三加长•度，分三种情况计论，，根据腰相等得出方程，求解助可.

【解答】解：(1)将点A(「2,0)代入)，=-y+bx+4.中，，，

得一Qx(-2)2+(―2)b+4=0,

解彳期b=a,

3--

二抛物线的解析式为产-!?+Jr+4；

(2)当x=0时，y=yh,-•,

二点。的坐标为(0,4),

14

当y=0时，­孑1o"+f+4=0，

解得：X1=-2,JC2=6,

.•.点B的坐标为(6；0),'

设直线BC的解析式次.

将点B(6.0),点C(0,4)代入解析式y=)U+”，得：

[6/c4-n=0

U=4，.,：,

解得：卜"一"'

tn=4

二直线BC的解析式为y=-|x+4；

⑶：抛物线产-船+黑+4与x轴相交于A(-2,OXB(6,0)两点,

,.*3

抛物线的对称轴为X=串0=2,.•.

假设存在点P，设P(2」)，.

则AC=V22+42=V20,

AP=，2-(-2)]2+t2=V16+t2,

CP=y/22+(t-4)2=Vt2-8t+20,

,••△ACP为等腰J角形；

故可分三种情况：

①当AC=AP时，V20=V16+t2,,-

解得：r=±2,,

.♦.点P的坐标为.(2,2)菖(2,-2)；

②当AC=CP时，V20=Vt2-8t+20,:

融得：f=0或f=g,

.二点。的坐标为(2,，0)或(2,8),

/*IJ<11

设宜线AC的解析式为y=〃tr+〃，

将点A(-2,0)>C(0,4)/弋入得｛二驾+"=°,

解得：1二，，.

・•.直线AC的解析式为y=2x+4,

当x=2时，y=4+4=8,

二点(2,8)在直线AC上，

；.A：C、P在同一直线匕点”(2,8)，应舍去：

,V/・.，

③当AP=CP时，V16+t2=Vt2-8t+20，

,«*♦、

解件：T，•

.,K4,“J”，'.中

1••

，点尸的坐标为(2,-)；

2

1

综上可得，符合年年的点。存在，点的坐折为：（2,2）或（2,-2）平，（2,0）或（2,-）.s

【:点评】本题是二次函数综育题，主要考查了二次函数?诙函数的图象与性质、.待定系数法、,勾股定

理、等腰一角形的判定等知识点，理解坐标与图:形的性质，熟练运用方程而想和分类讨论思想是解题而

关键.

13.如图，平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上（点4在点8的左侧），点C在第二象限，满足N4C8

为直角，且恰使△OCAS^OBC,抛物线y=o?-8依+12“（a<0）经过A、B、C三点.

（1）求线段08、OC的长.

（2）求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；

（3）在x轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不

存在，请说明理由.

【分析】⑴,刍/-8avH2a=a(x-6)CJC-2),OA=2,08=6，AOCA^AOBC,OC2=OA'OB,

即可求解：

(2)过点C作。)_Lx轴于点。，设AC=2x,则8c=2恁，而A8=4,故16=.(2x)2+«2VIr)2,

解得：x=],故AC=2,8C=2百，即可求解；

•(3)济BC=PB、BC=PC、P8=PC三种情况建立方羹分别求解即可.--

【解答】解：(■b1)■,,归Aa?-8ax+12a=a(x-6).,(x-2),、、、、

故0A=2,OB=6,

OCOA、

△OCAS^OBC,则一=—,CP：OC-=OA^OB,

OBOC

,（2）过点。作CQLx轴三点Q,

故16=(2r)2+(2V3x)2,解得：x=l,.

故4C=2,BC=2W，

«.-,

S&ABC=\xABXCD=|xACXBC,解得/CD=V3,

故09=3,

故点C(3,V3)；''

将点C的坐标代入抛物线表达式并解得：a=-孚，

♦♦_

••叔抛物线的表达式为：y=-茅2+竽”4点;-

(3)设点PCm,0),而点8、C的坐标分别为：(6,0)、(3,V3)；,

则8。2=[2,PB