北京市2022-2023学年上学期高一期末数学试题汇编-13基本不等式及其应用（含解析）

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一、单选题

1．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知，则的最小值是（）

A．3B．4C．5D．2

2．（2023秋·北京西城·高一统考期末）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C（单位：万元）与仓储中心到机场的距离s（单位：）之间满足的关系为，则当C最小时，s的值为（）

A．20B．C．40D．400

3．（2023秋·北京东城·高一统考期末）已知，则的最小值为（）

A．2B．3C．4D．5

4．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知，则的最小值为（）

A．B．2C．D．4

5．（2023秋·北京·高一校考期末）已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为()

A．B．C．D．

6．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）若，则下列各式一定成立的是（）

A．B．C．D．

7．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）下列结论正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

8．（2023秋·北京·高一校考期末）如果，且，那么以下不等式正确的个数是（）

①；②；③；④.

A．B．C．D．

9．（2023秋·北京门头沟·高一校考期末）已知实数，若，则下列结论正确的是（）

A．B．

C．D．

二、填空题

10．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），那么f（Q）的最小值是．

11．（2023秋·北京·高一校考期末）已知函数且的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为.

12．（2023秋·北京怀柔·高一统考期末）已知，则的最小值为.

13．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）设且，，则的最小值为.

14．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知对于实数，，满足，，则的最大值为.

三、解答题

15．（2023秋·北京·高一清华附中校考期末）已知二次函数，其中．

(1)若的最小值为0，求m的值；

(2)若有两个不同的零点，求证：．

16．（2023秋·北京石景山·高一统考期末）有这样一道利用基本不等式求最值的题：

已知且求的最小值.

小明和小华两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同.

小明的解法：由于所以

而那么则最小值为

小华的解法：由于所以

而则最小值为

（1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？

（2）请说明你判断的理由.

17．（2023秋·北京大兴·高一统考期末）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；

(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论；

(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由．

四、双空题

18．（2023秋·北京通州·高一统考期末）已知，则的最大值为，最小值为．

19．（2023秋·北京大兴·高一统考期末）若直角三角形斜边长等于12，则该直角三角形面积的最大值为；周长的最大值为．

参考答案：

1．B

【分析】根据基本不等式即可求解最值.

【详解】由于，故，所以，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，

故选：B

2．A

【分析】根据均值不等式求解即可.

【详解】因为，

当且仅当，即时等号成立，

所以当C最小时，s的值为20.

故选：A

3．D

【分析】利用基本不等式的性质求解即可.

【详解】因为，所以.

当且仅当，即时等号成立.

所以的最小值为.

故选：D

4．C

【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.

【详解】因为，则，当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值为.

故选：C

5．A

【分析】根据基本不等式可得到a＝2，b＝1，得到g(x)＝2|x＋1|，该函数图象可看做y＝2|x|的图像向左平移1个单位得到，从而求得结果.

【详解】因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，

所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，

当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，

所以a＝2，b＝1，

此时g(x)＝2|x＋1|＝

此函数图象可以看作由函数y＝的图象向左平移1个单位得到．

结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值和指数函数的图像和性质，利用基本不等式求出a＝2，b＝1是本题的关键，考查学生的逻辑推理能力和综合分析能力，属中档题.

6．C

【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.

【详解】AD选项，，则，但，所以AD选项错误.

B选项，若，则，所以B选项错误.

C选项，若，由于在上递增，所以，所以C选项正确.

故选：C

7．B

【分析】根据不等式的性质确定正确答案.

【详解】A选项，若，则，所以A选项错误.

B选项，若，两边平方得，所以B选项正确.

C选项，若，则，所以C选项错误.

D选项，若，如，则，所以D选项错误.

故选：B

8．C

【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．

【详解】由知，．又，∴，

∴，即．

又，∴，

，∴，

故①正确，③正确，④也正确，

又，，故②错误．

故选：C．

9．C

【分析】对ABD选项采用取特殊值验证即可，对于C，首先构造指数函数，利用单调性即可.

【详解】因为，则对于A，取，，则，A错误；对于B，取，，此时，故B错误；对于C，构造指数函数，则单调递减，因为，所以有，即，故C正确；对于D，取、，则，故D错误.

故选：C

10．1600

【分析】由题意得到年产量为Q时的平均成本为，再利用基本不等式求解.

【详解】解：因为某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．

所以年产量为Q时的平均成本为，

当且仅当，即时，取得最小值，最小值为1600，

故答案为：1600

11．/0.5

【分析】根据对数型函数的过定点，代入方程中，根据基本不等式即可求解.

【详解】过定点，

所以，

又点的坐标满足方程，

所以，

故，

当且仅当即时取等号.

故答案为：.

12．

【分析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

13．2

【分析】对利用对数运算公式，得到，再由基本不等式以及条件中的，得到答案.

【详解】因为且，

所以且

而，且

所以由基本不等式可得

，

当且仅当，即时，等号成立.

【点睛】本题考查对数运算公式，基本不等式求和的最小值，属于简单题.

14．7

【分析】由题意可得，，且，利用不等式的性质即可求解

【详解】由，可得，，

因为，，

所以，故，则的最大值为7，

故答案为：7

15．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据二次函数的性质即可得到，再解方程即可.

（2）首先根据题意得到，再利用基本不等式的性质求解即可.

【详解】（1），

因为，，解得.

（2）因为有两个不同的零点，所以，

又因为，所以.

因为，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

因为，所以，即证.

16．（1）小华的解法正确；小明的解法错误；（2）理由见解析.

【分析】（1）小华的解法正确；小明的解法错误；

（2）根据等号成立的条件判断.

【详解】（1）小华的解法正确；小明的解法错误

（2）在小明的解法中，，等号成立时；

，等号成立时，

那么取得最小值时，，

这与已知条件是相矛盾的.

在小华的解法中，，等号成立的条件为，即，

再由已知条件，即可解得满足条件的的值，都是合理的.

17．(1)“上位点”为，“下位点”为；

(2)是，证明见解析

(3)

【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标.

（2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”.

（3）借助（2）的结论证明点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值.

【详解】（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个“下位点”坐标分别为和；

（2）点是点的“下位点”，

证明：点是点的“上位点”，

又均大于，，

，即，

所以点是点的“下位点”.

（3）可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，

证明：点是点的“上位点”，

均大于，，

，

即，所以点是点的“上位点”，

同理可得，即，

所以点是点的“下位点”，

所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”．

根据题意知点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对时恒成立，

根据上述的结论可知，当，时，满足条件.

故：

【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键.

18．

【分析】由可推出，即得，即可得到最值.

【详解】因为成立，当且仅当时，