oepliz算子和小hankel算子的刻画

oepliz算子和小hankel算子的刻画

1toeplitch算子请注意，d是复平面c上的一个开放单位圆，da（z）=1dxy，d是标准化的lebesgue，其表示为sobolev空间的lp，1（1p）是相关的。Sobolev空间L∞,1定义为其范数可表示为Dirichlet空间Dp是Lp,1中解析函数构成的闭子空间.令P表示从Lp,1到Dp的投影.P为积分算子,它可表示为其中Kw(z)=K(z,w)是Dp的再生核.直接计算得若φ∈Lp,1,Dp上以φ为符号的Toeplitz算子Tφ稠密定义为小Hankel算子Γφ稠密定义为其中U是Lp,1(D)上的酉算子(Uf)(z)=f(z);Hankel算子Hφ稠密定义为其中f为多项式,参见文献.为了方便,下文用Tub表示Bergman空间Lap上以u为符号的Toeplitz算子.若T∈B(D)(由Dirichlet空间D上的全体有界线性算子构成的Banach代数,下文均用D表示D2),T的Berezin型变换是D上的复值函数本文讨论Dirichlet空间D上的Toeplitz算子和小Hankel算子.利用Berezin型变换讨论了Toeplitz算子的不变子空间问题,具有Berezin型符号的Toeplitz算子的渐进可乘性以及Toeplitz算子的Riccati方程的可解性.应用Berezin变换得到了Toeplitz算子和小Hankel算子可逆的充分条件此外,还利用Hankel算子和Berezin变换刻画了算子2Tuv-TuTv-TvTu的紧性,其中函数u,v∈L2,12toeplitch算子Hardy空间和Bergman空间上Toeplitz算子的不变子空间的存在性仍然是一个公开问题,参见[2–4].Peller部分地解决了此问题.G¨urdal和S¨ohret给出了该问题的一些必要条件.本节将给出Toeplitz算子和小Hankel算子存在不变子空间的必要条件.若T∈B(H),其中H是Hilbert空间,PM是H的闭子空间M上的投影,则M∈Lat(T)(M是T的不变子空间:TM⊂M)当且仅当TPM=PMTPM,详见文献.定理1设u是L2+ϵ,1中的调和函数,其中ϵ是任意正数,Tu是D上符号为u的Toeplitz算子.若F是D的闭子空间,令Kw1,F=PFKw1(z),其中.若TuF⊂F,则当w沿非切线方向几乎处处趋于T=∂D时,其中是Tub的Berezin变换.证明若F∈Lat(Tu),即F是算子Tu的不变子空间.令PF是D到F上的投影,则于是对任意w∈D,有即因此,注意到∥kw1(z)∥L2,1=1且w→T时,kw1(z)在D中弱收敛到0,则w→T时可得由于因为映射L2+ϵ,1→L∞是连续的且由中定理5知,当w→T时I→0,于是当w→T时,故结论成立.实际上,定理1中u是调和的条件不是必需的.由Sobolev定理,若u∈L2,1,则u|T∈L2(T).于是对k∈Z,定义下面的定理粗略说明D上的Toeplitz算子仅依赖于符号的边界值.定理2令φ∈L2,1,则对任意n∈Z+,证明参见中的命题2.定理3设u在L2+ϵ,1中,其中ϵ为任意正数,在Dirichlet空间D上Toeplitz算子Tu=TU,其中U是u|T的调和扩张.证明用定理2即可得证.因此我们可以去掉定理1中调和的条件.定理4设u是L2+ϵ,1中的函数,其中ϵ是任意正数,Tu是D上符号为u的Toeplitz算子.若F是D的闭子空间,令Kw1,F=PFKw1(z),其中.若TuF⊂F,则当w沿非切线方向几乎处处趋于T=∂D时,其中是Tub的Berezin变换.3线性算子的建立本节将证明:若φ∈L2+ϵ,1,Tφ是Dirichlet空间D上的Toeplitz算子,S是D上的任意有界线性算子,则定理5设φ是L2+ϵ,1中的调和函数,其中ϵ为任意正数,S:D→D是有界线性算子,则函数在T上的非切向极限几乎处处为0.证明注意到且由中定理5,当|z|→1时,有定理6设φ是L2+ϵ,1中的函数,其中ϵ为任意正数,S:D(D)→D(D)是有界线性算子,则函数在T上的非切线极限几乎处处为0.证明用定理2即可得证.4算子的ricctori方程的可解性Toeplitz代数T是由{Tg:g∈H∞,1}生成的B(D)的C*-子代数,其中H∞,1是由L∞,1中解析函数构成的子空间.本节主要讨论代数T上Riccati方程的可解性.Riccati方程形式如下:其中A,B,C和D是Dirichlet空间D上的有界线性算子.Toeplitz算子的Riccati方程的可解性是算子理论的重要问题之一.如,若PH表示从Hilbert空间H到它的闭子空间上的正交投影集,A∈B(H),则Riccati方程在PH中非平凡解的存在性等价于Hilbert空间H中的不变子空间问题.引理7若u是L∞,1中的调和函数,则在T上的非切线极限几乎处处为0.证明注意到由kz1(w)在D中弱收敛到0和Sobolev定理知在T上的非切线极限几乎处处为0.再由文献,可得在∂D上的非切线极限几乎处处为0.定理8令B=(Tu)*,C=Tv是D上的算子,其中u,v∈H∞,1,令A,D是Dirichlet空间D上的有界线性算子,令Tφ∈B(D)是Toeplitz代数T中的Toeplitz算子.(1)若Tφ是Riccati方程(4.1)的解,则函数在T上的非切线极限几乎处处为0.如果Tφ满足Riccati方程(4.1),那么对几乎处处ζ∈T,证明(1)如果Tφ∈B(D)是方程(4.1)的解,那么对任意z∈D,有5．dirc药函数的可逆定理本节讨论Toeplitz算子Tu的可逆性.通过Berezin变换给出Dirichlet空间D上的Toeplitz算子Tu可逆的一个充分条件.让我们回顾一下Karaev的可逆定理.引理9令L=L(X)是由定义在非空集X上的复值函数构成的Hilbert空间,正交基为{en(z)}∞n=1,令T是L上的有界线性算子满足:(ii)存在序列W={wn}∞n=1⊂X使得其中是Hilbert空间L上算子T的Berezin变换.如果δ>max{δTW,δTW*},那么T可逆且由上述引理,我们可以得到Dirichlet空间D上的Toeplitz算子Tu可逆的一个充分条件.是Dirichlet空间D的正规化再生核,在D中存在点列W={wn}∞n=1使得类似可得6tuv-tutv-tvtu在[11,引理4.2]中,作者讨论了两个调和函数的积何时也是调和函数的问题.他们利用了Bergman空间La2上的算子2Tuv-TuTw-TvTu的紧性(见[11,定理4.5]).特别地,在这里我们给出了Dirichlet空间上算子2Tuv-TuTv-TvTu紧性的判断条件.给定u∈L2,1,符号为u的对偶Toeplitz算子Su(D⊥→D⊥)和符号为u的对偶Hankel算子Ru(D⊥→D)分别定义如下:定理12设u和v是L2,1中的调和函数,Tu和Tv是Dirichlet空间D上的有界Toeplitz算子.则2Tuv-TuTv-TvTu是紧的当且仅当对每一酉算子U:D→D,当w沿非切线方向趋于T时几乎处处有证明由Toeplitz算子,Hankel算子与对偶Hankel算子的定义,对f,g∈D,有于是Tuv-TuTv=RuHv.同理可得Tuv-TvTu=RvHu.故考虑到,w∈D在D中弱收敛到0(D是文献中的标准函数Hilbert空间),再由Nordgren和Rosenthal的结论知,2Tuv-TuTv-TvTu是紧的当且仅当对每一酉算子U:D→D,当w沿非切线方向趋于T时,几乎处处有定理13设u和v是L1,1中的函数,Tu和Tv是Dirichlet空间D上的有界Toeplitz算子.那么2Tuv-TuTv-TvTu是紧的当且仅当对每一酉算子U:D→D,当w沿非切线方向趋于T时,几乎处处有证明由定理3和12可得证.因为对每一解析函数u,Hu=0,所以由定理12易得以下推论.推论14令u,v是L1,1中的解析函数,Tu与Tv有界,则TuTv-TvTu紧当且仅当对每一酉算子U:D→D,几乎处处有考虑I,II,III,IV,可得注意到其中K1是D上的紧算子,参见,因此其中K2是D上的紧算子,参见;由可知,如果以下极限存在则由k1z(w)在D中弱收