三维空间中二次曲面的旋转与分类

三维空间中二次曲面的旋转与分类

随着数学的发展，非欧几何已经成为一个重要的数学分支。在非欧空间中，三维最小空间是研究最广泛的伪欧空间。因为它只有一个负指标，所以它有一个很好的对称性，与三维欧空间有很多相似之处。因此，欧空间的一些结论可以推广到三维最小空间。因为它有一个负指标，它与三维欧空间非常不同。在3d空间中，许多简单的结论是三维空间中的一种非常复杂的结构。在本文中，我们主要讨论了在三维空间中分类两个单元的问题。1预备知识1.1,3记:A=(aij)3×3,其中,aij=aji;i,j=1,2,3·β=(b1b2b3)Τ;γ=c;α=(xyz)[JX*4]⋅[JX-*4]则二次曲面可表示为f(x,y,z)=(αΤ,1)(AβΤβγ)(α1)=0[JX*4]⋅[JX-*4]1.2类时轴旋转的lorenz变换矩阵在E31空间中,Lorentz变换分为正交标架下和伪正交标架下的旋转变换·在正交标架下绕类空轴和类时轴旋转的Lorentz变换矩阵分别为R1(θ)=(1000coshθsinhθ0sinhθcoshθ),R2(θ)=(cosθsinθ0-sinθcosθ0001),在伪正交标架下绕类光轴旋转的Lorentz变换矩阵为R3(t)=(100t10-t22-t1)[JX*4]⋅[JX-*4]1.3lorenz变换记:α1=(x′,y′,z′)Τ,在E31空间中,若有α1=Ri(θ)α,(i=1,2,3),称f(x′,y′,z′)=0为二次曲面f(x,y,z)=0在E31空间中的Lorentz变换·经Lorentz变换有f(x′,y′,z′)=(αΤ11)(AβΤβγ)(α11)=(αΤ1)(Ri(θ)ΤARi(θ)Ri(θ)ΤβΤβRi(θ)γ)(α1)[JX*4]⋅[JX-*4](1)定义1若有Lorentz变换Ri(θ)(i=1,2,3),使得α1=Ri(θ)α,则称二次曲面f(x,y,z)和二次曲面f(x′,y′,z′)=0等价·定义2若有Lorentz变换Ri(θ)(i=1,2,3),使得B=Ri(θ)TARi(θ),则称对称矩阵A和对称矩阵B关于Lorentz变换Ri等价·2旋转变量中的不变量2.1lax3.2.3正交标架下,对称矩阵A绕类空轴旋转后,R1(θ)ΤAR1(θ)=(a11B12B13B21B22B23B31B32B33)[JX*4]⋅[JX-*4](2)其中,B12=B21=a12coshθ+a13sinhθ,B13=B31=a12sinhθ+a13coshθ,B22=a22cosh2θ+a23sinh2θ+a33sinh2θ,B23=B32=a22coshθsinhθ+?a23cosh2θ+a33coshθsinhθ,B33=a22sinh2θ+a23sinh2θ+a33cosh2θ[JX*4]⋅[JX-*4]记:S1=sign(a12+a13),S2=sign(a22+a33+2a23),S3=sign(a12-a13),S4=sign(a22+a33-2a23),Ι1=a11,Ι2=a22-a33,Ι3=|a22a23a32a33|,Ι4=|A|,Ι5=|AβΤβγ|,Ι6=a212-a213,Ι7=(a22+a23)a12a13-a23(a212+a213),Ι8=a22+a23+2a23(a12+a13)2(a12≠-a13),Ι9=a22+a33-2a23(a12-a13)2(a12≠a13),Ι10=2a12a13a23-a22a213-a33a212,Ι11=2a12a13a23-a22a212-a23a213[JX*4]⋅[JX-*4]定理1量S1～S4,I1～I11为二次曲面f(x,y,z)=0在正交标架下绕类空轴旋转的Lorentz变换下的不变量·2.2a.2a3a3正交标架下,对称矩阵A绕类时轴旋转后,R2(θ)ΤAR2(θ)=(B11B12B13B21B22B23B31B32B33)[JX*4]⋅[JX-*4](3)其中,B23=B32=a13sinθ+a23cosθ,B13=B31=a13cosθ-a23sinθ,B11=a11cos2θ-a12sin2θ+a22sin2θ,B12=B21=(a21-a22)sinθcosθ+a12cos2θ,B22=a11sin2θ+a12sin2θ+a22cos2θ·记Ι¯1=a33,Ι¯2=a11+a22,Ι¯3=|a11a12a21a22|,Ι¯4=|A|,Ι¯5=|AβΤβγ|,Ι¯6=a132+a232,Ι¯7=(a11-a22)a13a23+a12(a132-a232),Ι¯8=a11-a22+2ia12(a13+ia23)2(a132+a232≠0),Ι¯9=a11-a22-2ia12(a13-ia23)2(a132+a232≠0),Ι¯10=2a12a13a23-a11+a232-a22a132,Ι¯11=2a12a13a23+a11a132+a22a232·定理2量Ι¯1～Ι¯11为二次曲面f(x,y,z)=0在正交标架下绕类时轴旋转的Lorentz变换下的不变量·2.3lorenz变换下的不变量伪正交标架下,对称矩阵A经绕类光轴旋转的Lorentz变换后的矩阵为R3(t)ΤAR3(t)=(B11B12B13B21a22-2a23t+a23t2a23-a33tB31a23-a33ta33)[JX*4]⋅[JX-*4](4)其中,B11=a11+2a12t+(a22-a13)t2-a23t3+a33t44,B12=B21=a12+(a22-a13)t-3a23t22+a33t32,B13=B31=a13+a23t-a23t22[JX*4]⋅[JX-*4]记:Ι˜1=a33,Ι˜2=a33+a13+a232,Ι˜3=|a22a23a32a33|,Ι˜4=|A|,Ι˜5=|AβΤβγ|,Ι˜6=a33|a12a13a31a33|+a23|a22a23a32a33|,Ι˜7=a332|a11a13a31a33|+2a23a33|a12a13a32a33|+a232|a22a23a32a33|[JX*4]⋅[JX-*4]定理3量Ι˜1～Ι˜7为二次曲面f(x,y,z)=0在伪正交标架下绕类光轴旋转的Lorentz变换下的不变量·2.4旋转变换相关的不变量记:α1=α+Δα,称f(x′,y′,z′)=0为二次曲面f(x,y,z)=0的平移变换·定理4二次曲面f(x,y,z)=0在3维Minkowski空间中旋转变换下的不变量S1～S4,I1～I11,Ι¯1～Ι¯11,Ι˜1～Ι˜7也是平移变换下的不变量·3lorenz变换s1等价的材料定理5对称矩阵A与对称矩阵B关于Lorentz变换R1等价的充分必要条件是对称矩阵A与对称矩阵B对应的I1,I2,I3,I4,I6,I7,I8,I9,S1,S2,S3,S4相等·其中对I8要满足a12≠-a13,对I9要满足a12≠a13·定理6对称矩阵A与对称矩阵B关于Lorentz变换R2等价的充要条件是两矩阵对应的Ι¯1,Ι¯2,Ι¯3,Ι¯4,Ι¯6,Ι¯7相等·定理7对称矩阵A与对称矩阵B关于Lorentz变换R3等价的充要条件是两矩阵对应的Ι˜1,Ι˜2,Ι˜3,Ι˜4,Ι˜6,Ι˜7相等且Ι˜1≠0·42次曲的分类4.1隐藏轴变换的分类(1)关于“i1”,把伊里里各起事单元2.2.2.2.2.3+0;b3>0;b30,54e,54e,54e;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0,5.2.3,53.2.3,53.2.3.2.3.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.2.3.3.3.3,5.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.3.3.2.3.2.2.2.3.2.3.2.3.3.2.3.2.3.2.3.3.3.3.3.2.3.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.2.3.3.3.3.2.3.3.3.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.根据前面讨论知道方程能变换为a*11+a*22y2+a*33z2+c*=0,a*11a*22a*33≠0的二次曲面,必须有a12=a13=0,即a11x2+a22y2+a33z2+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0[JX*4]⋅[JX-*4]现在只讨论I1=a11>0的情形,对于I1=a11<0,两边同乘以-1·①I3>0(即I4>0),S2<0,变换为最简方程:λ1x2-λ2y2-λ3z2+Ι5Ι4=0,其中,λ1=Ι1=0,λ2=Ι22+4Ι3-Ι22＞0,λ3=Ι22+4Ι3+Ι22＞0·②I3>0(即I4>0),S2>0,变换为最简方程:λ1x2+λ2y2+λ3z2+Ι5Ι4=0,其中,λ1=Ι1＞0,λ2=Ι22+4Ι3+Ι22＞0,λ3=Ι22+4Ι3-Ι22＞0·③I3<0(即I4<0),I2<0,同时I22+4I3≥0,变换为最简方程:λ1x2-λ2y2+λ3z2+Ι5Ι4=0,其中,λ1=I1>0,λ2>0,λ3>0是方程x2+I2x-I3=0的两根·④I3<0(即I4<0),I2>0,同时I22+4I3≥0,变换为最简方程:λ1x2+λ2y2-λ3z2+Ι5Ι4=0,其中,λ1=I1>0,λ2>0,λ3>0是方程x2-I2x-I3=0的两根·以上4种情况还可以进一步对I5>0,I5=0,I5<0三种情况讨论分类·(2)s12y2+3z2,3z3z3根据前面讨论知道方程能变换为a*22y2+a*33z2+2b*1x=0,b*1a*22a*33≠0的二次曲面,必须有a11=a12=a13=0,且I3I5<0,即a22y2+a33z2+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0[JX*4]⋅[JX-*4]①I3>0且I5<0,S2<0,变换为最简方程:λ1x-λ2y2-λ3z2=0,其中,λ1=±2-Ι5Ι3,λ2=Ι22+4Ι3-Ι22＞0,λ3=Ι22+4Ι3+Ι22＞0[JX*4]⋅[JX-*4]②I3<0且I5>0,I2>0,同时I22+4I3≥0,变换为最简方程:λ1x+λ2y2-λ3z2=0,其中,λ1=±2-Ι5Ι3,λ2＞0,λ3＞0是方程x2-I2x-I3=0的两根·4.2轴变换时间的分类(1)x.4[jx-3][1.2.3]由前面的讨论可知能变换为最简方程为a*11x2+a*22y2+a*33z2+c*=0,a*11a*22a*33≠0的二次曲面有a12=a23=0,即a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2b1x+2b2y+2b3z+c=0[JX*4]⋅[JX-*4]现在只讨论Ι¯1=a33＞0的情形,对于Ι¯1=a33＜0两边同时乘以-1·①Ι¯3>0(即Ι¯4>0,Ι¯2>0,变换为最简方程:λ1x2+λ2y2+λ3z2+Ι¯5Ι¯4=0,其中,λ3=Ι¯1＞0,λ1＞0,λ2＞0是方程x2-Ι¯2x+Ι¯3=0的两根·②Ι¯3>0(即Ι¯4>0,Ι¯2<0,变换为最简方程:-λ1x2-λ2y2+λ3z2+Ι¯5Ι¯4=0,其中,λ3=Ι¯1,λ1＞0,λ2＞0是方程x2+Ι¯2x+Ι¯3的两根·③Ι¯3<0(即Ι¯4<0)变换为最简方程:λ1x2+λ2y2+λ3z2+Ι¯5Ι¯4=0,其中,λ3=Ι¯1＞0,λ1＞0,λ2＞0是方程x2-Ι¯2x+Ι¯3的两根·以上3种情况还可以再进一步对Ι¯5＞0,Ι¯5=0,Ι¯5＜0三种情况讨论分类·(2)b出合理的b3规则a*11a*22b*3≠0的二次曲面·由前面讨论可知变换为最简方程为a*11x2+a*22y2+2b*3z=0,a*11a*22b*3≠0的二次曲面有a13=a23=a33=0,且Ι¯3Ι¯5<0,即a11x2+a22y2+2a12xy+2b1x+2b2y+2b3z+c=0[JX*4]⋅[JX-*4]①Ι¯3>0且Ι¯5<0,Ι¯2>0,变换为最简方程:λ1x2+λ2y2+λ3z=0,其中,λ3=±2-Ι¯5Ι¯3,λ1＞0,λ2＞0是方程x2-Ι¯2x+Ι¯3=0的两根·②Ι¯3>0且Ι¯5<0,Ι¯2<0,变换为最简方程:-λ1x2-λ2y2+λ3z=0,其中,λ3=±2-Ι¯