arma控制图参数选择与分析

arma控制图参数选择与分析

1元控制图技术统计过程控制（spc）是20世纪20年代由韦勒斯特尔韦赫（websterhervist）提出的一种统计控制方法。主要统计工具是生产图。自1924年休哈特博士提出第一张控制图后,控制图技术在提高过程质量方面得到了广泛的应用。控制图技术在应用中获得重大效益后,很多专家学者在这一分支领域作了不少改进与发展。在一元控制图技术中,相继出现了由Page于1954年提出的累积和(cumulativesum,CUSUM)控制图,Roberts于1959年提出的EWMA(exponentiallyweightedmovingaverage)控制图。2000年,Wei.J在EWMA控制图的基础上,提出了ARMA(autoregressionmovingaverage)控制图,它充分利用了历史数据,而且对数据的处理更有特色。ARMA控制图既可以对IID过程也可以对自相关过程进行控制,本文仅对应用于IID变量的ARMA控制图的性能进行讨论2arma统计量的初始化假设Xi(i=1,2,…,N)是相互独立的随机变量序列,并且可以顺序得到,则ARMA控制图的统计量被定义为一般化的一阶自回归滑动平均形式:式中:θ、φ为待定常数,满足|β|<1,且|φ|<1,β三θ/θ0,θ0=1+θ-φ。ARMA统计量的初值Z0一般取为E(X)。根据式(1)可得ARMA控制图统计量Z的数学期望和方差分别为:3arma控制图权重的变化在一元控制图技术中,各种控制图的差异主要是由于统计量不同造成的,而对统计量理解的关键是如何利用从生产过程中陆续得到的数据,即对历史数据加权问题。以常规控制图中最简单的单值X控制图为例,其统计量即为观测值Xi。在最基本的判异准则“点出界就判异”的条件下,从历史数据的权重角度来看,质量控制仅依赖于对当前数据的控制,也就是说,当前数据的权重为ωn=1,而与历史数据无关,即历史数据的权重都为ωR-k=0,n-1≥k≥1。在“界内点排列不随机”的判异准则条件下,虽对历史数据进行了考虑,但因不随机排列所涉及的历史数据不确定,因此很难给出数值上的权重表示。图1(a)给出了常规单值X控制图的权重(点出界就判异的条件下)。同理可对CUSUM控制图、滑动平均(movingaverage)控制图、EWMA控制图的历史数据权重情况进行分析,结果如图1(b)～(d)所示。ARMA控制图的统计量Zi用所有数据加权平均形式表示为:式中:α=φθ0-θ。因此,除当前观测值以外,以指数形式递减,距离当前数据越远,权重越小。ARMA控制图的统计量给当前观测值Xi一个灵活的权重θ0,可以通过不同的参数组合θ、φ来获取不同的权重θ0。图1(e)～(f)给出了ARMA控制图中观测值的2种代表性的权重情况。从数据加权角度可以看出:ARMA控制图的统计量对历史数据的权重处理是最有特色、最灵活的一种。ARMA控制图对当前观测值的处理特点,使ARMA可以根据不同的情况来,选择不同的控制图参数来提高控制图检测异常原因的能力。而且其他控制图都可以看作是ARMA控制图的特殊情况。当θ=0,φ=1-λ时,ARMA控制图退化EWMA控制图,因此,ARMA控制图可被认为是EWMA控制图的延伸。对EWMA控制图,若λ=1,则EWMA控制图就完全退化为一张单值X控制图。若λ→0,则EWMA控制图的统计量接近于CUSUM控制图的统计量。ARMA控制图的统计量还可以向高阶形式发展,即给观测值Xi,Xi-1,Xi-2,…相当灵活的权重。但这也涉及相当多的参数问题,控制图的复杂程度将增加很多。4评价控制图的性能指标在一些复杂控制图中,2类风险概率α(第1类错误的概率)和β(第2类错误的概率)的含义不易定义,α、β的选取也比较困难。因而,学术界与企业界纷纷采用平均链长(averagerunlength,ARL)作为评价控制图的性能指标。平均链长是对某一个确定的质量特性水平,控制图从开始进行控制直到发出警报信号为止所抽取的样本数。4.1arma控制器图的界限通常希望过程处于稳态时,ARL长;而过程出现异常时,ARL短。如果令E(X)=μ,D(X)=σ2,则ARMA控制图的界限可设为:ARMA控制图的设计本质是寻找最优参数组合(θ,φ,K)的过程,所依据的原则是:对给定的稳态ARL(0),使过程出现设定偏移量的偏移时具有最小失控ARL。最优参数组合是指对于固定的稳态ARL(0),使设定偏移量的偏移时具有最小失控ARL最小的参数(θ,φ,K)组合。总的来说,最优参数(θ,φ,K)的选择要依赖于偏移量的幅度。4.2不同arl0值的比较,有以下简称设计ARMA控制图以达到检测过程给定偏移的目的,其步骤如下:(1)选择过程稳态时可接受的一个较小的ARL(0);(2)决定必须迅速检测出的偏移程度,并确定对此偏移量使ARL最小的(θ,φ);(3)利用步骤(2)中得到的(θ,φ),寻找满足步骤(1)要求ARL(0)的控制界参数K;(4)将上述得到的最优参数(θ,φ,K)组合的失控ARL与相同ARL(0)对应的其他(θ,φ,K)组合的失控ARL比较,从这些不同的(θ,φ,K)组合中,比照失控ARL最小的(θ,φ,K)组合。步骤(1)中要选择一个可接受的ARL(0),往往要基于经济上的考虑:虚发成本和过程滞后的成本。步骤(2)中要确定的过程偏移幅度对设计快速检测的ARMA控制图十分重要,偏移幅度的选择往往依赖于过程能力和调整过程的成本。本文所考虑的ARL(0)值,取3种最常用的数值,即ARL(0)=300,500,1000。对ARL的求解,采用蒙特卡罗模拟方法获得,模拟次数为50000次。模拟得出的ARMA控制图最优参数范围如表1所示。5在ara控制平面上的设计中应用信噪比5.1arma控制图信噪比在稳健设计中常被用以度量产品质量特性稳健程度的指标,可用R=μ/σ来表示。对ARMA控制图,定义暂态RT和稳态RS信噪比如下:假设原始过程Xt的均值在T时刻发生偏移δσ,那么相应统计量的均值变化为:对式(10)迭代整理,则在T时刻后的均值的偏移形式可统一由下式表示:将上述的过程均值变化代入式(7)～(8),可得两信噪比表达为:5.2过程均值偏移的观测方法如果过程均值发生偏移时,统计量Zt在t时刻位于控制限内的概率为:式中:U表示标准正态随机变量,由式(14)可知,概率Pt与t时刻的信噪比Rt大小有关。Rt值越大Pt值越小,则检出概率1-Pt值越大,对异常原因的检测能力也越强,ARL也越小。若式(12)采用3σ控制方式,当信噪比R=4、5时,控制图分别有84.1%、97.7%的概率立即报警。RT用来衡量过程均值发生偏移T时刻,ARMA控制图检测偏移的能力。过程均值出现大偏移时,RT起关键作用。如果控制图在最初均值发生偏移时未能检测到,则随后的信噪比Rt的变化趋势及稳态时信噪比RS对随后是否能有效地检出过程均值偏移将起重要作用。因此,可以通过观测在相同偏移量时不同控制图参数的信噪比变化趋势,就能粗略判断控制图的ARL性能。即通过观测ARMA的信噪比的变化趋势,来获得最优参数(φ,θ)的大致范围,然后再通过蒙特卡罗仿真模拟来获得精确的ARL值及参数(φ,θ),可避免大范围的参数模拟。例如,对于过程均值发生δ=0.5倍标准偏差的偏移,参数选择分别为φ=0.95、0.85、0.75、0.35,θ=-0.4、-0.2、-0.1、-0.05、0.1时信噪比的变化趋势,如图2所示。从图中可以看出,随着φ的逐渐减少,信噪比逐渐降低,φ=0.95时,信噪比高于其他参数值的信噪比。当φ=0.95时,θ=-0.1～0.1范围的信噪比性能要强于其他参数值下的信噪比。因此,根据信噪比的变化趋势,可可以得出在参数φ=0.95,θ=-0.1～0.1条件下,ARMA控制图的ARL性能最优,这一点也可以从模拟得到的ARL数值中得到印证(见表2)。同时,表1的最优参数是包括在由信噪比得出的参数选择范围内。对于其他过程均值的偏移,可以仿照上述方法获得ARL最小值的参数选择范围,这里不再赘述。通过上述分析,可以得出信噪比是控制图ARL性能的一个良好指标。通过对比不同参数下信噪比的变化趋势图,可以直观得到使ARMA控制图的ARL最小化的参数取值范围,并在这个范围内,通过仿真模拟可以得到使ARL最小化的参数的最优值。信噪比方法在求控制图最优值时可减少仿真计算量,避免了大范围的参数模拟。6两组arma控制图比较从历史数据加权角度对ARMA控制图统计量的分析表明