关于概率计算中的一个错解分析

关于概率计算中的一个错解分析

在计算概率时，通常会出现这样的问题：亲水是一个杂合体，产生一个具有显示特征的个体。当一个体与另一个体混合时，可以得到后代的表现式概率。针对这一问题,在计算中可能会出现各种错误,下面对其进行具体讨论。例1某种常染色体上的隐性遗传病在人群中的发病率为1/2500。有1对夫妇均正常,其中一方的母亲是该病患者,请问,这对夫妇的子女患该种遗传病的可能性有多大?A.1/25B.1/50C.1/100D.1/102错解1根据“一方的母亲是该病患者”可知一方一定是杂合子如甲方是杂合子,剩下问题的关键就是求乙方为杂合子的概率,在整个人群,设每个人携带该致病基因的概率是n,那么这种病在人群中的发病率为n×n×1/4=n2/4,据题意知n2/4=1/2500,则n=1/25。所以这对夫妇生病孩的概率为:1/25×1/4=1/100。错解分析上述解法之所以错误,在于没有搞清楚人群中发病率1/2500是病人占整个人群(正常人和病人)的比例,即人群中的这一发病率是由Aa×Aa,Aa×aa,aa×aa3种婚配方式所生病孩的总和,而不是只有Aa×Aa才会生病孩,用n×n×1/4=1/2500算出的人群中Aa的概率n=1/25,由于只考虑Aa×Aa生病孩,使正常人群中Aa的概率变大(应为2/51)。虽然Aa×aa、aa×aa婚配方式极少,如不考虑,对数据影响也不大,但如果人群中aa频率较高,杂合子频率也高,按第1种算法误差就变大了。错解2一般人群中发病率为1/2500，设其病人基因型为aa,则a配子频率=1/50,A配子频率=1-1/50=49/50,由上表知人群随机婚配时基因型Aa的频率为:Aa=2×49/50×1/50=98/2500,所以这对夫妇生病孩的概率为:98/2500×1/4=49/5000错解分析这一解法明显错误,这是由于98/2500这一数据,是杂合子占整个人群中的比例,而现在夫妇双方都没病,所以一定要排除病人,求在正常人群中是杂合子的频率,即统计总体是正常人,而不是所有人。正确解法为一般人群中发病率为1/2500,设病人基因型为aa,则a配子频率=1/50,A配子频率=1-1/50=49/50。由上表知人群随机婚姻配时基因型AA和Aa的频率分别为:AA=(49/50)2、Aa=2×49/50×1/50,则在正常人群中是Aa的概率=,即这对夫妇的乙方基因型为Aa的概率是2/51,所以这对夫妇生病孩子的概率应为:2/51×1/4=1/102。例2下图为一患白化病的家族系谱图。在正常人群中杂合子概率为1/70,预测一下,9、10号婚配后子代发病概率。错解1由系谱图可知,3号患病,故1、2号皆为杂合子。因4号不患病,所以4号为纯合子AA的概率为1/3,为杂合子Aa的概率为2/3。又已知5号不患病,所以5号为纯合子AA的概率为69/70,为杂合子概率为1/70(5号与4号是社会关系)。4、5号婚配方式及其后代基因型比例如下:其所生后代9号为杂合子的概率为:1/420+69/210+2/420=141/420,同理10号为杂合子概率亦是141/420,所以9、10婚配后代患病率为:1/4×141/420×141/420=19881/705600。错解分析上述计算9号为杂合子的方法,错误在于141/420是Aa在整个后代中的比例,而9号表现正常已不可能为病人,只能为AA或Aa,故所求9号为杂合子的概率应该用如下求法:,同理10号杂合子概率亦为141/419,所以9、10婚配后代患病率为1/4×(141/419.)2=19881/702244。错解2由系谱图可知,3号患病,故1、2号皆为杂合子,因4号不患病,故4号为杂合子的概率为2/3。又已知5号不患病,且5号与4号是社会关系,由题干可知5号是杂合子的概率为1/70,故4、5号婚配所生后代9号为杂合子的概率为:2/3×(2/3×1/70)=2/315,同理10号为杂合子的概率也为2/315,所以9、10号生病孩概率为:1/4×2/315×2/315=1/99225。错解分析首先4号与5号婚配方式有4种:①AA×Aa。②Aa×AA。③Aa×Aa。④AA×AA。以上解法中的错误在于不了解4、5号(7、8号同理)哪种婚配方式可以产生杂合子,认为只有Aa×Aa可能产杂合AA×Aa和Aa×AA不产生杂合子,从而丢失了2种产生杂合子的情况。那么沿着错解2分析的思路,在求4号为杂合子的概率时,再把以上2种婚配方式产生的杂合子的概率加上又如何呢?即Aa=1/420+69/210+2/315=1785/5292。这样计算肯定错误,又错在哪里呢?在4号与5号的4种婚配方式中,只有②③④婚配方式会产生Aa,而1/420+69/210是②③组合产生的Aa占4号与5号所生全部后代的比例,而2/315是④组合中产生的正常后代(正常只能为Aa或AA,不可能为aa)为杂合子的概率,由此这3个数据不能一起相加。此外,本题还有另外一种解法,其具体思路是,先求4、5、6、7形成配子种类及比例,然后列棋盘格再求出9、10是杂合子的概率。①由系谱图可知,3号患病,故1、2号皆为杂合子。因4号不患病,所以4号为纯合子AA的概率为1/3,为杂合子Aa的概率为2/3。又已知5号不患病,所以5号是为纯合子AA的概率为69/70,为杂合子概率为1/70(5号与4号是社会关系)。4号产生的配子分别为:1/3AA→1/3A2/3Aa→2/3(1/2A+1/2a)=1/3A+1/3a两种基因型形成的配子相加得4号形成的配子种类及比例:A配子为2/3,a配子为1/3。②5号为杂合子概率为1/70,同理其形成配子如下:69/70AA→69/70A1/70Aa→1/70(1/2A+1/2a)=1/140A+1/140a两种基因型形成的配子相加得5号形成的配子种类及比例:A配子为139/140,a配子为1/140。③